概率論-浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系4
第四節(jié) 條件概率與事件的獨(dú)立性
§4 條件概率與事件的獨(dú)立性
一、條件概率二、全概率公式，貝葉斯(Bayes)公式
三、事件獨(dú)立性四、貝努里概型補(bǔ)充和注記
習(xí) 題一、條件概率
任一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在某些基本條件下進(jìn)行的，在這些基本條件下某個(gè)事件
的發(fā)生具有某種概率. 但如果除了這些基本條件外還有附加條件，所得概率就可能不同.這些附加條件可以看成是另外某個(gè)事件
發(fā)生.
條件概率這一概念是概率論中的基本工具之一. 給定一個(gè)概率空間
，并希望知道某一事件
發(fā)生的可能性大小. 盡管我們不可能完全知道試驗(yàn)結(jié)果，但往往會(huì)掌握一些與事件
相關(guān)的信息，這對我們的判斷有一定的影響. 例如，投擲一均勻骰子，并且已知出現(xiàn)的是偶數(shù)點(diǎn)，那么對試驗(yàn)結(jié)果的判斷與沒有這一已知條件的情形有所不同. 一般地，在已知另一事件
發(fā)生的前提下，事件
發(fā)生的可能性大小不一定再是
.
已知事件
發(fā)生條件下事件
發(fā)生的概率稱為事件
關(guān)于事件
的條件概率(conditional probability)，記作
.
在某種情況下，條件的附加意味著對樣本空間進(jìn)行壓縮，相應(yīng)的概率可在壓縮的樣本空間內(nèi)直接計(jì)算.
例1 盒中有球如右表1-2. 任取一球，記
={取得藍(lán)球}，
={取得玻璃球}， 顯然這是古典概型.
包含的樣本點(diǎn)總數(shù)為16，
包含的樣本點(diǎn)總數(shù)為11，故
.
表1-2
玻璃 木質(zhì)
總計(jì)
紅
藍(lán)
2 3
4 7
5
11
總計(jì)
6 10
16
如果已知取得為玻璃球，這就
是發(fā)生條件下
發(fā)生的條件概率，記作
. 在
發(fā)生的條件下可能取得的樣本點(diǎn)總數(shù)應(yīng)為“玻璃球的總數(shù)”，也即把樣本空間壓縮到玻璃球全體. 而在
發(fā)生條件下
包含的樣本點(diǎn)數(shù)為藍(lán)玻璃球數(shù)，故
.
一般說來，在古典概型下，都可以這樣做.但若回到原來的樣本空間，則當(dāng)
，有
.
這式子對幾何概率也成立. 由此得出如下的一般定義.
定義1 對任意事件
和
，若
，則“在事件
發(fā)生的條件下
的條件概率”，記作P(A | B)，定義為
. (1)
反過來可以用條件概率表示
、
的乘積概率，即有乘法公式
若
，則
, (2)
同樣有
若
，則
.
從上面定義可見，條件概率有著與一般概率相同的性質(zhì)，即非負(fù)性，規(guī)范性和可列可加性. 由此它也可與一般概率同樣運(yùn)算，只要每次都加上“在某事件發(fā)生的條件下”即成.
兩個(gè)事件的乘法公式還可推廣到
個(gè)事件，即
(3)
具體解題時(shí)，條件概率可以依照定義計(jì)算，也可能如例1直接按照條件概率的意義在壓縮的樣本空間中計(jì)算；同樣，乘積事件的概率可依照公式(2) 或
計(jì)算，也可按照乘積的意義直接計(jì)算，均視問題的具體性質(zhì)而定.
例2
張彩票中有一個(gè)中獎(jiǎng)票.
① 已知前面
個(gè)人沒摸到中獎(jiǎng)票，求第
個(gè)人摸到的概率；
② 求第
個(gè)人摸到的概率.
解 問題 ① 是在條件“前面
個(gè)人沒摸到”下的條件概率. ② 是無條件概率.
記
={第
個(gè)人摸到}，則 ① 的條件是
. 在壓縮樣本空間中由古典概型直接可得
① P(
)=
；
② 所求為
，但對本題，
, 由(3)式及古典概率計(jì)算公式有
＝
(
)
＝
.
這說明每人摸到獎(jiǎng)券的概率與摸的先后次序無關(guān).
例3 甲乙兩市位于長江下游，根據(jù)一百多年的記錄知道，一年中雨天的比例，甲為20%，乙為18%，兩市同時(shí)下雨的天數(shù)占12%. 求：
① 乙市下雨時(shí)甲市也下雨的概率；② 甲乙兩市至少一市下雨的概率.
解 分別用
，
記事件{甲下雨}和{乙下雨}. 按題意有，
，
，
.
① 所求為
.
② 所求為
.
二、全概率公式，貝葉斯(Bayes)公式
對于較為復(fù)雜的事件，需要綜合運(yùn)用上面提到的一些基本公式. 先介紹一個(gè)基本概念.
定義2 若事件組
滿足下列兩條件：①
，
，兩兩互不相容，且
；②
， 則稱
是
的一個(gè)完備事件組，也稱是
的一個(gè)分割.
最簡單的完備事件組是
，
.
全概率(total probability)公式 設(shè)
是一個(gè)完備事件組，則有
. (4)
證 注意到
，故
，
，
，
=1，2，…. 因此由可列可加性得
.
公式(4)意味著“全”部概率
被分解成了一些部分之和. 如果在較復(fù)雜的情況下不易直接計(jì)算
，但
總是隨某個(gè)
伴出，而
和
又易于計(jì)算，我們就可應(yīng)用全概率公式去計(jì)算
.
例4 有5個(gè)乒乓球，其中3個(gè)新的2個(gè)舊的. 每次取一個(gè)，無放回地取兩次，求第二次取時(shí)得新球的概率.
解 記
={第一次取時(shí)得新球}，
={第二次取時(shí)得新球}，因?yàn)榈诙蔚眯虑蜻@事件的概率與第一次是否得新球有關(guān)，即事件
可以與完備事件組
，
聯(lián)系起來. 又
，
，且
，
，故由從公式(4)有
.
例5 播種用的一等小麥種子中混合2 % 的二等種子，1. 5 %的三等種子以及1%的四等種子. 用一、二、三、四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別是0. 5，0. 15，0. 1，0. 05. 任選一顆種子，求它所結(jié)的穗含50顆以上麥粒的概率.
解 記
={所選種子結(jié)穗含50顆以上麥粒}，
={所選種子是第
等}，
=1，2，3，4.
構(gòu)成一完備事件組，已知
，
，
，
，
，
，
，
， 故
.
例6 求上例中“任選一顆種子，發(fā)現(xiàn)其所結(jié)穗確含有50顆以上麥粒，求它是第一等種子”的概率.
解 這相當(dāng)于求
. 按條件概率定義，并利用公式
和(4)，可得
.
同理可求出它是第二等、第三等、第四等種子的概率.
從這個(gè)例子引出一個(gè)與全概率公式密切相關(guān)的公式——貝葉斯公式. 設(shè)
是一個(gè)完備事件組，則
，
=1，2，… (5)
是在沒有進(jìn)一步的信息（不知
是否發(fā)生）的情況下人們對
發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)，稱為先驗(yàn)(Priori)概率；現(xiàn)在有了新的信息（知道
發(fā)生），人們對
發(fā)生的可能性大小有了新的估計(jì)，得到條件概率
，稱為后驗(yàn)(Posteriori)概率.
如果把
看成“結(jié)果”，
，
看成導(dǎo)致這一結(jié)果的可能的“原因”. 則全概率公式可以看成為“由原因推結(jié)果”，而貝葉斯公式正好相反，可以看成是“由結(jié)果推原因”. 現(xiàn)在一個(gè)結(jié)果
發(fā)生了，那么導(dǎo)致這一結(jié)果的各種不同的原因的可能性大小就可由貝頁斯公式求得.
例7 用血清甲胎蛋白法診斷肝癌. 用
表示被檢驗(yàn)者確實(shí)患有肝癌的事件，
表示判斷被檢驗(yàn)者患肝癌的事件，已知
，
，
.
現(xiàn)若有一人被此法診斷患有肝癌，求此人真正患肝癌的概率.
解 所求為
. (6)
因
，
，
將這些數(shù)值與已知值代入(6)式，得
.
條件中
表示確實(shí)患肝癌的人被確診有肝癌的概率，
=0.95，及
兩式表明這檢驗(yàn)法還是相當(dāng)可靠的. 但若有一人被診斷患肝癌，而實(shí)際上他真患肝癌的概率
并不大. 如果在分析問題時(shí)不運(yùn)用概率論的思想，是很難理解這一結(jié)論的. 事實(shí)上因?yàn)槿巳褐姓嬲几伟┑娜撕苌?div id="moiyehiw" class='imgcenter'>
，由于檢驗(yàn)方法并不完全準(zhǔn)確，在大批健康人中還會(huì)有一定數(shù)量的人被誤診為肝癌. 另一方面，真正肝癌患者在全人口中占很小比例，即使全部被檢出，在這兩部分被檢驗(yàn)為患肝癌的總?cè)藬?shù)中也只小部分.
例8 為判斷某木材是樺木還是桉木，先考察它們的某一特征(例如平均亮度)的某個(gè)值
，以
，
分別表示該木是樺木還是桉木，事先掌握了
,
,
，
，由公式(5)得
,
=1，2.
若
，則認(rèn)定該木是樺木.
上述方法稱為貝葉斯決策，在模式識(shí)別等學(xué)科中這種方法有重要的應(yīng)用, 并有很好的發(fā)展前景.
三、事件獨(dú)立性
1. 兩個(gè)事件的獨(dú)立性
事件
發(fā)生與否可能對事件
發(fā)生的概率有影響，但也有相反的情況，即有時(shí)有
. (7)
這時(shí)，
. 反過來，若
, (8)
則
.
這種情況稱
與
統(tǒng)計(jì)獨(dú)立(statistical independence)，或
與
獨(dú)立.
與
不獨(dú)立也叫
與
統(tǒng)計(jì)相依(statistical dependence). 當(dāng)
時(shí)，(7)式與(8)式是等價(jià)的，一般情況下獨(dú)立的定義來用(8)式，因?yàn)樵谛问缴纤P(guān)于
與
對稱，且便于推廣到
個(gè)事件. (8)式也取消了
的條件. 事實(shí)上，若
, 則
, 同時(shí)就有
，此時(shí)不論
是什么事件，都有(8)式，亦即任何事件都與
獨(dú)立. 同理任何事件也與必然事件
獨(dú)立.
例9 口袋中有
只黑球
只白球，連摸兩次，每次一球. 記
={第一次摸時(shí)得黑球}，
={第二次摸時(shí)得黑球}. 問
與
是否獨(dú)立？就兩種情況進(jìn)行討論：① 有放回；② 無放回.
解 因?yàn)?div id="moiyehiw" class='imgcenter'>
，我們可以用
是否等于
來檢驗(yàn)獨(dú)立性. 對于情況 ①，利用古典概型，有
，再利用全概率公式，得
.
故
，
與
相互獨(dú)立.
對于情況 ②，此時(shí)
，
， 再利用全概率公式，有
，
與
不獨(dú)立.
例10 求證：若
與
互不相容，且
, 則
與
一定不獨(dú)立.
證
與
不相容，則
, 故
與
不獨(dú)立.
反之，當(dāng)
與
相容時(shí)，
與
可能獨(dú)立，也可能不獨(dú)立.
例11 已知
與
獨(dú)立，求證
與
,
與
，
與
也獨(dú)立.
證 設(shè)
與
相互獨(dú)立，則
, 從而
,
所以
與
也獨(dú)立. 利用這個(gè)結(jié)果，則
與
的逆事件
也獨(dú)立；同理
與
獨(dú)立.
很多實(shí)際問題中，利用(7)或(8)式來判斷
與
的獨(dú)立性是比較困難的，這時(shí)往往根據(jù)獨(dú)立的含義直觀判斷. 例如一個(gè)電路系統(tǒng)中兩個(gè)不同元件出現(xiàn)故障可以認(rèn)為是相互獨(dú)立的；但是某一地區(qū)的氣溫和降雨量就不能認(rèn)為是獨(dú)立的了.
定義3 兩個(gè)
域
,
被稱為關(guān)于
是獨(dú)立的，如果對任意事件
都有
.
例如，令
,
,
那么
和
獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)
和
獨(dú)立.
2. 多個(gè)事件的獨(dú)立性
對
個(gè)事件，除考慮兩兩的獨(dú)立性以外，還得考慮其整體的相互獨(dú)立性. 以三個(gè)事件
,
,
為例.
定義4 若
(9)
且
(10)
則稱
,
,
相互獨(dú)立.
(9)式表示
,
,
兩兩獨(dú)立，所以獨(dú)立包含了兩兩獨(dú)立. 但
,
,
的兩兩獨(dú)立并不能代替三個(gè)事件相互獨(dú)立，因?yàn)檫€有(10)式. 那么(9)式是否包含(10)式呢？回答是否定的，有例如下：
例12 一個(gè)均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面為白色，第三面為黑色，第四面紅白黑三色都有. 分別用
,
,
記投一次四面體時(shí)底面出現(xiàn)紅、白、黑的事件. 由于在四面體中有兩面出現(xiàn)紅色，故
；同理,
；同時(shí)出現(xiàn)兩色或同時(shí)出現(xiàn)三色只有第四面，故
,
因此
,
，
，
(9)式成立，
,
,
兩兩獨(dú)立. 但
,
即(10)式不成立.
反過來，也有例子說明從(10)式也不能推出(9)式，因此
,
,
的相互獨(dú)立必需(9)式與(10)式同時(shí)成立.
類似地，
個(gè)事件相互獨(dú)立的定義如下：
定義5 若對一切可能的組合
，有
(11)
就稱
相互獨(dú)立.
(11)式中共有
個(gè)等式. 并且表明，若n個(gè)事件相互獨(dú)立，則它們中任意k (2
)個(gè)事件也相互獨(dú)立.
例13 設(shè)
相互獨(dú)立，
，
=1，2，…，
. 求：
(1) 所有事件全不發(fā)生的概率；
(2) 這些事件中至少發(fā)生一個(gè)的概率；
(3) 恰好發(fā)生其中一個(gè)事件的概率.
解 先把所求各事件表示成
的和、積、逆等形式，再利用概率的運(yùn)算公式.
(1) 所有事件全不發(fā)生=
，類似于例11，可證
也是相互獨(dú)立的，故所求為
.
(2)
個(gè)事件中至少發(fā)生一個(gè)=
，它是(1)中事件的逆事件，故
.
當(dāng)然這里也可以用
個(gè)事件的和的概率公式(§3的 (7) 式)，但不如上面的算法容易.
(3) 恰好發(fā)生其中一個(gè)事件=
,上面式子中，每一項(xiàng)作為一個(gè)事件，各項(xiàng)互不相容，其中每一項(xiàng)中各個(gè)事件又是相互獨(dú)立的，故所求為
.
例14 一個(gè)系統(tǒng)能正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠性. 現(xiàn)有兩系統(tǒng)都由同類電子元件
,
,
、
所組成，如圖1-4.每個(gè)元件的可靠性都是
，試分別求兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性.
圖1-4
解 以
與
分別記兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性，以
,
,
、
分別記相應(yīng)元件工作正常的事件，則可認(rèn)為
,
,
、
相互獨(dú)立，有
,
.
顯然
.
可靠性理論在系統(tǒng)科學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，系統(tǒng)的可靠性的研究具有重要意義.
3. 試驗(yàn)的獨(dú)立性
與事件的獨(dú)立性密切相關(guān)的是隨機(jī)試驗(yàn)的獨(dú)立性. 一般來說，若有
個(gè)試驗(yàn)
，
，…，
，每個(gè)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果都是一個(gè)事件. 如果
的任一事件與
的任一事件與…與
的任一事件相互獨(dú)立，就說
，
，…，
相互獨(dú)立.
記
的樣本空間為
. 為描述這
次試驗(yàn)，要構(gòu)造復(fù)合試驗(yàn)
，對應(yīng)的樣本空間
是
個(gè)樣本空間的直積. 而
中的樣本點(diǎn)
為
, 其中
.
應(yīng)該把
的任一事件
放到復(fù)合的樣本空間中，成為復(fù)合事件
, 不妨仍記作
. 這樣，試驗(yàn)
獨(dú)立可表示為，對一切
，
，…，
均有
. (12)
次有放回摸球是
個(gè)試驗(yàn)相互獨(dú)立的例子，并且這里
=
=…=
，而且各次試驗(yàn)中同樣事件的概率相同，這種試驗(yàn)稱為
次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，在概率的統(tǒng)計(jì)定義中曾提到過.
次不放回摸球則是
個(gè)試驗(yàn)不獨(dú)立的例子.
下面研究一種重要的重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)?zāi)Ｐ?
四、貝努里概型
如果一次隨機(jī)試驗(yàn)
只有
與
兩種相反的結(jié)果（擲一枚硬幣，只出現(xiàn)“正面”或“反面”；考察一條線路，只有“通”與“不通”；傳遞一個(gè)信號(hào)，只有“正確”與“錯(cuò)誤”；播下一顆種子，了解它“發(fā)芽”與否；觀察一臺(tái)機(jī)器“開動(dòng)”與否…），這種隨機(jī)試驗(yàn)稱為貝努里(Bernoulli)試驗(yàn). 有時(shí)試驗(yàn)的結(jié)果雖有多種，但如果只考慮某事件
發(fā)生與否，也可作為貝努里試驗(yàn)，例如抽檢一個(gè)產(chǎn)品，雖有各種質(zhì)量指標(biāo)，但如果只考慮合格與否，就是貝努里試驗(yàn). 我們可以用
代表“成功” 而
代表“失敗”，這種抽象的說法來描述貝努里試驗(yàn). 它的樣本空間
，其中
,
，事件域
. 給定
, (
), 則
，就給出了一次貝努里試驗(yàn)的所有事件的概率.
常常討論的是在
次重復(fù)獨(dú)立的貝努里試驗(yàn)中的情況，這種概率模型稱為貝努里概型. 如上一段末所述，它的樣本點(diǎn)是
，其中
是
或
，樣本點(diǎn)總數(shù)為
. 各樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率不全相同，故雖是有限樣本空間，卻不是古典概型.
貝努里概型中，每個(gè)樣本點(diǎn)即是一個(gè)基本事件，由它們又可組成很多復(fù)合事件. 利用事件的運(yùn)算公式和概率的運(yùn)算公式，可以計(jì)算這些事件的概率.
例15 某人射擊5次，每次命中的概率是0. 8，求事件{前兩次命中,后三次不命中}的概率.
解 5次射擊可看成5次重復(fù)獨(dú)立的貝努里試驗(yàn). 記
={一次射擊時(shí)命中}，則
,
. 所考慮事件=
，其中
，
，由獨(dú)立事件乘積的概率計(jì)算，所求概率=
.
例16 求
重貝努里概型中
={事件
恰好發(fā)生
次}的概率.
解 與上題不同的是這里只指定
發(fā)生的次數(shù)，而沒有限定在哪幾次
發(fā)生，也即可以是頭上
次，也可以是中間某
次，也可能是最后
次. 在不致引起誤會(huì)的前提下，每種基本事件可記為
個(gè)
與
個(gè)
的乘積，而
則為這些基本事件的和事件，即
， (13)
它共有
項(xiàng)，各項(xiàng)互不相容，每一項(xiàng)中各事件又是相互獨(dú)立的. 任一項(xiàng)的概率都是
. 由有限加法定理,
，記作
,
=0，1，2，…，
(14)
它是二項(xiàng)展開式
的各項(xiàng)（其和恰好為1），故稱為二項(xiàng)分布. 這是貝努里概型中最重要的概率，由它可推出很多事件的概率.
例17
臺(tái)同類機(jī)器，每臺(tái)在某段時(shí)間內(nèi)損壞的概率為
，求在這段時(shí)間內(nèi)不少于
臺(tái)能正常使用的概率.
解 每臺(tái)機(jī)器能在這段時(shí)間內(nèi)正常使用的概率
. 又
{不少于m臺(tái)能正常使用}=
,
和式中各項(xiàng)互不相容，故所求概率為
.
重新考慮§2的例9：每一次從口袋中拿牙簽不是拿甲盒就是拿乙盒，記
={拿甲盒},
={拿乙盒}，共拿(
)次，是貝努里概型. 若發(fā)現(xiàn)甲盒先用完，則(
)次抽用的全部過程可看成
{前
次抽
次甲盒(
)次乙盒}∩{最后一次抽甲盒},
這種情況的概率=
，發(fā)現(xiàn)乙盒先用完的概率相同. 所述事件的概率為
.
注 如果每次試驗(yàn)的可能結(jié)果有兩種以上，就不是貝努里試驗(yàn)，但可用類似的分析方法處理. 設(shè)一次試驗(yàn)的可能結(jié)果為
, (
), 它們構(gòu)成一完備事件組，
,
. 則在
次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中
分別出現(xiàn)
次的概率為
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