不理解的知識(shí)，當(dāng)然不會(huì)用！

本課程是專(zhuān)欄《20堂課極速理解線(xiàn)性代數(shù)》的精華凝煉圖文版，10堂課幫助您真正從直觀(guān)角度理解、消化、吸收線(xiàn)性代數(shù)的核心概念與核心算法。

極速記憶行列式公式

行列式，無(wú)非是將一個(gè)方陣，變成一個(gè)數(shù)的算法。

“n階行列式：是n個(gè)n維線(xiàn)性空間笛卡爾積上唯一一個(gè)把一組標(biāo)準(zhǔn)基映射到1的反對(duì)稱(chēng)線(xiàn)性函數(shù)。” ——華羅庚

這個(gè)算法怎么做呢，請(qǐng)看公式——

這也太難記了。別急，其實(shí)是有方法，叫做：

捺 減 撇 。

就是黃線(xiàn)上的數(shù)字相乘，減去綠線(xiàn)上的數(shù)學(xué)相乘。

這是二維，那三維可以么？

可以！只不過(guò)需要先擴(kuò)展一下，將下面兩行按周期性排列的規(guī)則，復(fù)寫(xiě)成一個(gè)金字塔的形狀。

然后，還是

捺 減 撇 。

直觀(guān)吧？如果4維往上呢？這么復(fù)雜就直接用MATLAB算吧。

記憶時(shí)，提個(gè)問(wèn)題：

“為什么捺是正號(hào)，這里有什么原因么？”

“因?yàn)檗嗯c主對(duì)角線(xiàn)方向一致。”

這樣就不會(huì)記錯(cuò)了。

用捺減撇來(lái)理解轉(zhuǎn)置行列式公式

轉(zhuǎn)置行列式公式：

從捺減撇記憶法來(lái)看，就很好理解了吧：

行列式的意義

上例子：

二維方陣行列式的值，即為可視化的方向面積。

注意，方向面積，是有正負(fù)的，這里使用的是“右手螺旋定則”來(lái)判斷。

下面向n維擴(kuò)展：

n維方陣的行列式，是其可視化后，在空間中所占的n維體積。

進(jìn)一步再看：

左乘矩陣A，面積放大了 |A| 倍。

所以說(shuō)：

n維方陣 B ，左乘n維方陣 A，其可視化n維體積膨脹為原來(lái)的 |A| 倍。

理解行列式乘法公式

有了上面的鋪墊，再理解行列式乘法公式就太容易了。

行列式乘法公式

這個(gè)公式怎么理解呢，可以翻譯成：

B 矩陣躍遷到A 空間后的體積，就等于 B 矩陣的體積乘以A 矩陣對(duì)空間的膨脹率。

也可以翻譯成：

元素x，依次進(jìn)行B 變換和A 變換得到的體積，就等于 B 變換得到的體積×A 變換得到的體積。

理解行列式乘法互換性公式

行列式乘法互換性公式

這就更顯然了：

先進(jìn)行B 變換，再進(jìn)行A 變換得到的體積，就等于 先進(jìn)行A 變換，再進(jìn)行B 變換得到的體積。

得到一個(gè)規(guī)律：

線(xiàn)性變換的先后順序，不影響最終的空間膨脹率。