1.01 + 2.01 = 3.02
2.01 * 2.01 = 4 0401
不知你注意沒有，這個很尋常的等式，你如果將它放在C++中，Java中，Basic中，它
居然是不成立的。計算機(jī)在開玩笑嗎？噢，對了，隱約記得這好象是浮點數(shù)的問題，似乎
很多很多年前，老師說過。還有某位姓林的先生在某本書里提過=0的判斷。
嗯，如果你不遇到此問題，那你完全可以把它拋到火星上去，可惜，偶不好彩，這樣的
問題，被俺遇到了。唉！
why？how？
沒辦法，硬著頭皮，從頭開始。
一：為何不成立？Why？
這得從浮點數(shù)的在計算機(jī)內(nèi)的存儲開始說起，我這里閑話少說。我們只談雙精度double
數(shù)(至于float，基本上是五十步和一百步的區(qū)別)。
雙精度數(shù)在計算機(jī)內(nèi)的表示方式是：(三部分組成)
符號(正或負(fù)) 階碼(2的N次冪) 尾數(shù)(大于等于1小于2的數(shù))
比如： -(符號) 1.01(尾數(shù)) * 2~1(N = 1) = - 2.02
具體到計算機(jī)的存儲單元：雙精度數(shù)共占8字節(jié)(64bit)
符號位(占1個bit) 階碼(11個bit) 尾數(shù)(52個bit)
解釋一下：
符號位：0表示正 1表示負(fù)
階碼：是一個偏移量，1023的偏移量,它的1023相當(dāng)于0,小于1023時為負(fù),
大于1023時為正,如:10000000001表示指數(shù)為1025 - 1023 = 2,表示真值為2^2。
好了，知道了原理，我們開始分析上述等式為何為不等。
(相應(yīng)數(shù)的存儲值，可以簡單用C語言的指針方式取出)
1.01 表示為：
0 0111111 1111 0000 00101000 11110101 11000010 10001111 01011100 00101001
2.01 表示為；
0 1000000 0000 0000 00010100 01111010 11100001 01000111 10101110 00010100
3.02 表示為：
0 1000000 0000 1000 00101000 11110101 11000010 10001111 01011100 00101001
2.01+1.01 在編程語言中的計算結(jié)果 表示為：
0 1000000 0000 1000 00101000 11110101 11000010 10001111 01011100 00101000
好了，我們可以比較一下3.02和計算結(jié)果，果然有所不同，只不過最后一個bit不同嘿。
為了驗證一下，可以用手工計算一下2.01+1.01：
先把1.01的冪次變?yōu)?(與2.01的階碼相同)，于是，將尾數(shù)右移一位。得到：
1000 00010100 01111010 11100001 01000111 10101110 000101001
加上2.01的尾數(shù)。
0000 00010100 01111010 11100001 01000111 10101110 00010100
得到：
1000 00101000 11110101 11000010 10001111 01011100 00101000
嗯，與計算機(jī)的計算結(jié)果相同，我們的運算思路是正確的。
因此，結(jié)論出來了，因為浮點數(shù)在計算機(jī)內(nèi)的存儲存在偏差，導(dǎo)致運算時，與實際期望的結(jié)
果不同。很多時候，你可以不理它，但是，可以肯定負(fù)責(zé)任的說，發(fā)射衛(wèi)星的運算時，你
需要知道，否則，衛(wèi)星一轉(zhuǎn)眼就不見了。
二：不成立的的原因找到了，那怎么解決這個問題呢，How？
一個簡單的解決辦法是：
不要用浮點數(shù)來存儲浮點，對于VC,Java,Basic，最好的辦法是用Decimal來保存它。
下面是分別的實現(xiàn)：(以加法為例，其它四則運算處理相同)
VC中：
double doublAdd(double dbl1, double dbl2)
{
double dblResult;
DECIMAL dec1,dec2,decResult;
::VarDecFromR8(dbl1,&dec1);
::VarDecFromR8(dbl2,&dec2);
::VarDecAdd(&dec1,&dec2,&decResult);
::VarR8FromDec(&decResult,&dblResult);
return dblResult;
}
VB中：
Private Function doubleAdd(ByVal dbl1 As Double, ByVal dbl2 As Double) As Double
doubleAdd = CDec(dbl1) + CDec(dbl2)
End Function
Java中：
public static double add(double v1, double v2) {
BigDecimal b1 = new BigDecimal(Double.toString(v1));
BigDecimal b2 = new BigDecimal(Double.toString(v2));
return b1.add(b2).doubleValue();
}
解決思路就是：用其它精確的表示法來存儲浮點數(shù)，就這么簡單。
注意：VC示例中，VarDecFromR8是做了手腳地，如果能直接用VarDecFromStr那更好。
三：在C/C++中，似乎很不情愿看到類似上例中的代碼，因為它看起來很低效，還有其它方法嗎？
好象還有，對了，只是好象。
我們再來看看雙精度數(shù)的表示法：
尾數(shù)一共有52個bit，也就是最小能表示的數(shù)是 2^-52，取對數(shù)可得出，約是
在小數(shù)點后16位，那也就是說小數(shù)點后15位是可以精確表示的，加上前置的默認(rèn)1，一共有16位
數(shù)字是精確可靠的。
我們來試驗一下，看上述結(jié)論是否成立。
看看VC調(diào)試器的顯示值。
2.01 的顯示值： 2.0099999999999998
如果只取16位有效數(shù)字，那么將最后一位8四舍五入，我們得到正確的表示。
好了，這能說明什么呢？
四：我們先看比較簡單的加，減法運算。
對于加法：dbl1 + dbl2：
假設(shè)dbl1=1.01 那么，16減去整數(shù)位1，我們可以假定，在計算機(jī)表示中：
小數(shù)點后的15位都是精確的。
假設(shè)dbl2=100.01 那么 16-3，假定小數(shù)點后13位是精確的。
憑經(jīng)驗我們可以知道，兩個小數(shù)相加，小數(shù)點后的精度不會大于精度銷大的一個。
所以，我們判定得出結(jié)果的精確度可以用較大的一個為準(zhǔn)。
于是，將得出的結(jié)果，去掉不精確的位數(shù)，則應(yīng)該可以得到準(zhǔn)確值。
VC實現(xiàn)如下：
#define DELTA_RATE 16
int getRound(double dbl)
{
COleVariant var(dbl);
COleVariant varForLog(dbl);
::VarRound(&varForLog,0,&varForLog);
int nIntCount = log10(varForLog.dblVal>0?varForLog.dblVal:-varForLog.dblVal) + 1;
int nRound = DELTA_RATE - nIntCount;
return nRound;
}
double doublAdd2(double dbl1, double dbl2)
{
COleVariant var(dbl1+dbl2);
int r1 = getRound(dbl1);
int r2 = getRound(dbl2);
::VarRound(&var,max(r1,r2),&var);
return var.dblVal;
}
做過一些實驗，好象是正確的。同理可以實現(xiàn)doubleSub2的函數(shù)。
注意：這里并不用下面五所提的取精度的方式，因為取精度的運算更低效。
五：對于乘除法呢？問題有些復(fù)雜，先找出一個需要處理的例子。
如：2.01*2.01=4.0401。
試了一下，不成立。
用方法一的Decimal方式測試，可以通過。
那么方法二呢？
再做假設(shè)吧，假設(shè)dbl1有兩位小數(shù)，dbl2也有兩位小數(shù)，按理論，
可得出相乘后，最大可能是2+2位小數(shù)。那么，我們按照 4位小數(shù)
進(jìn)行Round處理，可能會得出正確的結(jié)果。
實際上，要取一個雙精度的10進(jìn)制表達(dá)的小數(shù)位，我沒有找到什么好辦法，
我能想到的：也就是將數(shù)字轉(zhuǎn)為字串，然后查找.后的位數(shù)。這樣，顯然是
非常低效的，這里，我就不再寫出代碼了。
六：比較方法一和方法二。方法二并不高效，并且還有一些不定因素，所以，
最好采用方法一來統(tǒng)一處理浮點數(shù)的運算。
至于效率，實際上最佳方法是從程序的設(shè)計著手，將double從程序中去除掉。
比如在VC中，可以用Variant::Decimal來徹底替換double，這樣，就不存在
中間的轉(zhuǎn)換了，效率自然就提高了。有關(guān)Decimal的常用函數(shù)是：
VarDecFromStr VarDecAdd VarDecSub VarDecMul VarDecDiv ……
VarBstrFromDec
至于Java和VB，也可以方便的找到相應(yīng)函數(shù)。
很想找到一種更好的方法，總覺得用Decimal來進(jìn)行運算很不爽，但真的沒找到？
其實呢，做了一下測試，Decimal的運算并不慢，如果可以將內(nèi)部存儲改為Decimal，
那就可以徹底解決問題了。
