二次函數(shù)
一、 選擇題：
1. 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是（ ）
2. 二次函數(shù)的圖象如右圖，則點(diǎn)在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知二次函數(shù)，且，，則一定有（ ）
A. B. C. D. ≤0
4.
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5. 已知反比例函數(shù)的圖象如右圖所示，則二次函數(shù)的圖象大致為（ ）
6. 下面所示各圖是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的大致圖象，有且只有一個(gè)是正確的，正確的是（ ）
7. 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線（ ）
A. B. C. D.
8. 二次函數(shù)的最小值是（ ）
A. B. 2 C. D. 1
9.
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
二、填空題：
10. 將二次函數(shù)配方成
的形式，則y=______________________.
11. 已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么一元二次方程的根的情況是______________________.
12. 已知拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則=_________.
13. 請(qǐng)你寫(xiě)出函數(shù)與具有的一個(gè)共同性質(zhì)：_______________.
14. 有一個(gè)二次函數(shù)的圖象，三位同學(xué)分別說(shuō)出它的一些特點(diǎn)：
甲：對(duì)稱(chēng)軸是直線；
乙：與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)；
丙：與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為3.
請(qǐng)你寫(xiě)出滿足上述全部特點(diǎn)的一個(gè)二次函數(shù)解析式：
15. 已知二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，且與y軸的正半軸相交，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的二次函數(shù)的解析式：_____________________.
16. 如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，若B點(diǎn)坐標(biāo)是，則A點(diǎn)的坐標(biāo)是________________.
三、解答題：
1. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，2）.
（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，求使y≥2的x的取值范圍.
2. 如右圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B.
（1）求拋物線的解析式；
（2）P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求點(diǎn)P的坐標(biāo).
3. 某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到贏利的過(guò)程，下面的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫(huà)了該公司年初以來(lái)累積利潤(rùn)s（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售時(shí)間t（月）之間的關(guān)系（即前t個(gè)月的利潤(rùn)總和s與t之間的關(guān)系）.
（2）求截止到幾月累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬(wàn)元；
（3）求第8個(gè)月公司所獲利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？
提高題
1. 如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時(shí)水面AB的寬為20m，如果水位上升3m時(shí)，水面CD的寬是10m.
（1）求此拋物線的解析式；
（2）現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車(chē)從甲地出發(fā)需經(jīng)過(guò)此橋開(kāi)往乙地，已知甲地距此橋280km（橋長(zhǎng)忽略不計(jì)）. 貨車(chē)正以每小時(shí)40km的速度開(kāi)往乙地，當(dāng)行駛1小時(shí)時(shí)，忽然接到緊急通知：前方連降暴雨，造成水位以每小時(shí)0.25m的速度持續(xù)上漲（貨車(chē)接到通知時(shí)水位在CD處，當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn)O時(shí)，禁止車(chē)輛通行）. 試問(wèn)：如果貨車(chē)按原來(lái)速度行駛，能否安全通過(guò)此橋？若能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不能，要使貨車(chē)安全通過(guò)此橋，速度應(yīng)超過(guò)每小時(shí)多少千米？
2. 某機(jī)械租賃公司有同一型號(hào)的機(jī)械設(shè)備40套. 經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每套機(jī)械設(shè)備的月租金為270元時(shí)，恰好全部租出. 在此基礎(chǔ)上，當(dāng)每套設(shè)備的月租金提高10元時(shí)，這種設(shè)備就少租出一套，且未租出的一套設(shè)備每月需要支出費(fèi)用（維護(hù)費(fèi)、管理費(fèi)等）20元，設(shè)每套設(shè)備的月租金為x（元），租賃公司出租該型號(hào)設(shè)備的月收益（收益=租金收入－支出費(fèi)用）為y（元）.
（1）用含x的代數(shù)式表示未租出的設(shè)備數(shù)（套）以及所有未租出設(shè)備（套）的支出費(fèi)用；
（2）求y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)月租金分別為4300元和350元時(shí)，租賃公司的月收益分別是多少元？此時(shí)應(yīng)該租出多少套機(jī)械設(shè)備？請(qǐng)你簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；
（4）請(qǐng)把（2）中所求的二次函數(shù)配方成的形式，并據(jù)此說(shuō)明：當(dāng)x為何值時(shí)，租賃公司出租該型號(hào)設(shè)備的月收益最大？最大月收益是多少？
參考答案
一、選擇題：
題號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
答案 | D | D | A | A | D | D | D | B | D |
二、填空題：
1. 2. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 3. 1
4. （1）圖象都是拋物線；（2）開(kāi)口向上；（3）都有最低點(diǎn)（或最小值）
5. 或或或
6. 等（只須，）
7.
8. ，，1，4
三、解答題：
1. 解：（1）∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，2），∴. 解得.
∴函數(shù)解析式為.
（2）當(dāng)時(shí)，.
根據(jù)圖象知當(dāng)x≥3時(shí)，y≥2.
∴當(dāng)時(shí)，使y≥2的x的取值范圍是x≥3.
2. 解：（1）由題意得. ∴. ∴拋物線的解析式為.
（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
∴OA=1，OB=4.
在Rt△OAB中，，且點(diǎn)P在y軸正半軸上.
①當(dāng)PB=PA時(shí)，. ∴.
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
②當(dāng)PA=AB時(shí)，OP=OB=4 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）.
3. 解：（1）設(shè)s與t的函數(shù)關(guān)系式為，
由題意得或 解得 ∴.
（2）把s=30代入，得 解得，（舍去）
答：截止到10月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬(wàn)元.
（3）把代入，得
把代入，得
. 答：第8個(gè)月獲利潤(rùn)5.5萬(wàn)元.
4. 解：（1）由于頂點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)這部分拋物線為圖象的函數(shù)的解析式為.
因?yàn)辄c(diǎn)或在拋物線上，所以，得.
因此所求函數(shù)解析式為（≤x≤）.
（2）因?yàn)辄c(diǎn)D、E的縱坐標(biāo)為，所以，得.
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為.
所以.
因此盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)為（米）.
5. 解：（1）∵AB=3，，∴. 由根與系數(shù)的關(guān)系有.
∴，.
∴OA=1，OB=2，.
∵，∴.
∴OC=2. ∴,.
∴此二次函數(shù)的解析式為.
（2）在第一象限，拋物線上存在一點(diǎn)P，使S△PAC=6.
∵MN∥AC，∴S△MAC=S△NAC= S△PAC=6.
由（1）有OA=1，OC=2.
∴. ∴AM=6，CN=12.
∴M（5，0），N（0，10）.
∴直線MN的解析式為.
由 得（舍去）
∴在 第一象限，拋物線上存在點(diǎn)，使S△PAC=6.
解法二：設(shè)AP與y軸交于點(diǎn)（m>0）
∴直線AP的解析式為.
∴.
∴，∴.
又S△PAC= S△ADC+ S△PDC==.
∴，
∴（舍去）或.
∴在 第一象限，拋物線上存在點(diǎn)，使S△PAC=6.
提高題
1. 解：（1）∵拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即. ①
又點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），∴. ②
由①②得，.
（2）由（1）得拋物線的解析式為.
當(dāng)時(shí)，. ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）.
在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，得.
∴△OAB的周長(zhǎng)為.
2. 解：（1）.
當(dāng)時(shí)，.
∴當(dāng)廣告費(fèi)是3萬(wàn)元時(shí)，公司獲得的最大年利潤(rùn)是16萬(wàn)元.
（2）用于投資的資金是萬(wàn)元.
經(jīng)分析，有兩種投資方式符合要求，一種是取A、B、E各一股，投入資金為（萬(wàn)元），收益為0.55+0.4+0.9=1.85（萬(wàn)元）>1.6（萬(wàn)元）；
另一種是取B、D、E各一股，投入資金為2+4+6=12（萬(wàn)元）<13（萬(wàn)元），收益為0.4+0.5+0.9=1.8（萬(wàn)元）>1.6（萬(wàn)元）.
3. 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，橋拱最高點(diǎn)到水面CD的距離為h米，則，.
∴ 解得
∴拋物線的解析式為.
（2）水位由CD處漲到點(diǎn)O的時(shí)間為1÷0.25=4（小時(shí)），
貨車(chē)按原來(lái)速度行駛的路程為40×1+40×4=200<280，
∴貨車(chē)按原來(lái)速度行駛不能安全通過(guò)此橋.
設(shè)貨車(chē)的速度提高到x千米/時(shí)，
當(dāng)時(shí)，.
∴要使貨車(chē)安全通過(guò)此橋，貨車(chē)的速度應(yīng)超過(guò)60千米/時(shí).
4. 解：（1）未出租的設(shè)備為套，所有未出租設(shè)備的支出為元.
（2）.
∴.（說(shuō)明：此處不要寫(xiě)出x的取值范圍）
（3）當(dāng)月租金為300元時(shí)，租賃公司的月收益為11040元，此時(shí)出租的設(shè)備為37套；當(dāng)月租金為350元時(shí)，租賃公司的月收益為11040元，此時(shí)出租的設(shè)備為32套.
因?yàn)槌鲎?font face="Times New Roman">37套和32套設(shè)備獲得同樣的收益，如果考慮減少設(shè)備的磨損，應(yīng)選擇出租32套；如果考慮市場(chǎng)占有率，應(yīng)選擇出租37套.
（4）.
∴當(dāng)時(shí)，y有最大值11102.5. 但是，當(dāng)月租金為325元時(shí)，租出設(shè)備套數(shù)為34.5，而34.5不是整數(shù)，故租出設(shè)備應(yīng)為34套或35套. 即當(dāng)月租金為為330元（租出34套）或月租金為320元（租出35套）時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大月收益均為11100元.
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