導(dǎo) 讀 “十字架模型”是數(shù)學(xué)平面幾何中比較重要的一個模型。常見的類型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。圍繞著這兩種模型的條件之下，可以推導(dǎo)出一些比較實(shí)用的結(jié)論。這些結(jié)論對我們分析一些幾何問題會有比較大的幫助.今天我們一起來探究一下正方形內(nèi)十字架模型的一些常有結(jié)論.
正方形內(nèi)十字架模型的視頻講解
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母題：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BE＝CF.AE與BF之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由．
解：AE＝BF且AE⊥BF.
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠C.
又∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)．
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF.
又∵∠BAE＋∠AEB＝90°，
∴∠CBF＋∠AEB＝90°.
∴∠BOE＝90°.
∴AE⊥BF.
【變式1】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點(diǎn)O，∠AOF＝90°.求證：BE＝CF.
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.
∵∠AOB＝180°－∠AOF＝90°，
∴∠BAE＋∠OBA＝90°.
又∵∠ABE＝∠CBF＋∠OBA＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(ASA)．
∴BE＝CF.
【變式2】(長春中考改編)如圖，在正方形ABCD中，E是CD上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與C，D重合)，連接BE，M為BE上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作GF⊥BE交BC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G.求證：BE＝FG.
證明：過點(diǎn)G作GP⊥BC于點(diǎn)P.
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°.
∴四邊形ABPG是矩形．
∴PG＝AB.∴PG＝BC.
∵∠EBC＋∠BEC＝90°，∠EBC＋∠GFP＝90°，
∴∠BEC＝∠GFP.
又∵∠BCE＝∠GPF＝90°，
∴△CBE≌△PGF(AAS)．
∴BE＝FG.
【變式2的拓展應(yīng)用】
若M是BE的中點(diǎn)，連接CM.若CM＝1，則FG＝ 2 ．
【變式3】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的長．
解：過點(diǎn)A作AM∥GH交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN∥EF交CD于點(diǎn)N，AM與BN交于點(diǎn)O′，則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，
∴EF＝BN，GH＝AM.
∵∠FOH＝90°，AM∥GH，BN∥EF，
∴∠NO′A＝90°.
由變式1，得△ABM≌△BCN，
∴AM＝BN.
∴GH＝EF＝4.
【變式3的拓展應(yīng)用】
如圖，矩形ABCD由兩個全等的正方形組成，點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH＝90°，EF＝4，則GH＝ 8 ．
模型總結(jié)
正方形中“十字架模型”：在正方形的兩組對邊分別取點(diǎn)并相連，所得兩條線段①若垂直，則相等；②若相等，則垂直。注意：模型前提是對邊取點(diǎn)并相連。
正方形內(nèi)垂直十字架相等運(yùn)用
2020年新中考提高篇
【針對訓(xùn)練】如圖，將邊長為2cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，則線段MN的長是 .
同學(xué)們一定要先做做
再看視頻哦
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