專題導(dǎo)入 導(dǎo)例： 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，如果以點(diǎn)P，A，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ．
說明：我們知道不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C，在平面內(nèi)另找一個(gè)點(diǎn)D，使以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．答案有三種，如圖，以AB為對(duì)角線的□ACBD1，以AC為對(duì)角線的□ABCD2，以BC為對(duì)角線的□ABD3C．
方法點(diǎn)睛
方法指引：解平行四邊形的存在性問題一般分三步：
第一步：尋找分類標(biāo)準(zhǔn)；
第二步：畫圖；
第三步：計(jì)算．
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平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式：□ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(xA，yA) ，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)，則xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD．
證明：
∴xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD．即平行四邊形對(duì)角線兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等．
【導(dǎo)例答案】P，A，C三點(diǎn)是確定的，過△PAC的三個(gè)頂點(diǎn)分別畫對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)符合條件的點(diǎn)D（如圖4）．D1(2, 7)，D2(－4, 1)，D3(－2, －1)．
典例精講
類型一：已知三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性問題
例1 如圖，拋物線y＝x2－2x－3與x軸的負(fù)半軸交于A點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)是M，經(jīng)過C，M兩點(diǎn)作直線與x軸交于點(diǎn)N．
(1)直接寫出點(diǎn)A，C，N的坐標(biāo)．
(2)在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
分析
(1)分別令________和________即可求得A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由拋物線的函數(shù)解析式即可求得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后求出直線CM直線的函數(shù)解析式便可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)．
(2)根據(jù)能導(dǎo)例的方法，先求出使得以點(diǎn)P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后逐一代入拋物線的函數(shù)解析式驗(yàn)證得符合條件的點(diǎn)P．
類型二： 已知兩個(gè)定點(diǎn)，探求限定條件下的另兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使之構(gòu)成平行四邊形
例2 如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA＝4，OC＝3，若拋物線的頂點(diǎn)在BC邊上，且拋物線經(jīng)過O，A兩點(diǎn)，直線AC交拋物線于點(diǎn)D．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式．
(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
(3)若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，是否存在以點(diǎn)A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
分析
(1)由OA的長度確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用對(duì)稱性得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)形式____________，將________的坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出拋物線的函數(shù)解析式．
(2)設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，將點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線AC的函數(shù)解析式，與____________聯(lián)立即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
(3)存在，分兩種情況考慮：
①若AD為平行四邊形的對(duì)角線，則有MD∥________，MD＝________；
②若AD為平行四邊形的一邊，則MN∥________，MN＝________，此時(shí)通過畫圖可知有兩種情況．
專題過關(guān)
1．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），線段BC的中垂線與對(duì)稱軸l交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)F，與BC交于點(diǎn)E，對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)H．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M為x軸上方拋物線上的點(diǎn)，在對(duì)稱軸l上是否存在一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)D，P，M．N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，則直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2． 如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3經(jīng)過點(diǎn)A(2，－3)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝3OB．
(1)求拋物線的解析式．
(2)點(diǎn)D在y軸上，且∠BDO＝∠BAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
(3)點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
3．如圖，是將拋物線y＝－x2平移后得到的拋物線，其對(duì)稱軸為直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(－1，0)，另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式．
(2)若點(diǎn)N為拋物線上一點(diǎn)，且BC⊥NC，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
(3)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是一次函數(shù)y＝3/2x＋3/2的圖象上一點(diǎn)，若四邊形OAPQ為平行四邊形，則這樣的點(diǎn)P，Q是否存在？若存在，分別求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
4． 已知拋物線y=x2－2x+a(a＜0）與y軸相交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M．直線y=1/2x－a分別與x軸、y軸相交于B、C兩點(diǎn)，并且與直線AM相交于點(diǎn)N．
(1)填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo)，則M( ), N( )；
(2)如圖，將△NAC沿y軸翻折，若點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N′恰好落在拋物線上，AN′與x軸交于點(diǎn)D，連接CD，求a的值和四邊形ADCN的面積；
(3)在拋物線y=x2-2x+a(a＜0）上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．
5．如圖，直線AB：y＝1/2x+2與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，C是第一象限內(nèi)直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，且CD的長為7/2，P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，N是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖①，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-3/2），是否存在這樣的P點(diǎn)．使以O(shè)，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若有在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖②，將直線AB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交y軸于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E，若旋轉(zhuǎn)角即∠ACE＝45°，求△BFC的面積．
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