數(shù)學教學不論采用何種教學方式，都是在不斷提出問題、分析問題、解決問題的過程中展開的，問題是數(shù)學教學的中心。因此教師的問題設(shè)計優(yōu)劣是影響教學質(zhì)量高低的重要因素之一，在數(shù)學教學問題設(shè)計中，教師應(yīng)通過得出的問題控制學生學習的內(nèi)容和方法，以保證學生學習的積極性、主動性、系統(tǒng)性、有效性和持久性。
一、問題設(shè)計之前的分析與思考
現(xiàn)行數(shù)學教材的編寫是高度簡略的，沒有闡述知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程以及研究方法，而學生學習研究時。又必須讓學生充分經(jīng)歷知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程，體會探究未知知識的方法和快感。這就要求教師在備課時，思考以下問題：一是該教什么?要分清教材中哪些是基本的理論，哪些是基本的結(jié)論，隱含了什么研究問題的方法，經(jīng)過了怎樣的研究歷程等。二是要為什么教?要明確所教的目的，即三維目標，學習這些內(nèi)容有什么實際應(yīng)用，能解決哪些實際問題，培養(yǎng)學生什么能力等。三是該怎么教?根據(jù)學生思維能力和知識水平設(shè)計什么樣的程序，提出什么樣的導學性問題，創(chuàng)設(shè)什么樣的情境，怎樣引導學生進行分析總結(jié)結(jié)論和方法，以及怎樣進行反思等。
二、問題設(shè)計應(yīng)遵循的原則
1 針對性原則
緊緊圍繞教學目標，針對學生的實際情況和教材的重點、難點來進行設(shè)計，設(shè)計的問題題意清楚，條理分明，語言精練，有助于學生理解概念，辨析疑難，糾正錯誤，完善認知結(jié)構(gòu)。
2 基礎(chǔ)性原則
基礎(chǔ)性包括兩方面的涵義：一是設(shè)計的問題要體現(xiàn)學生發(fā)展的需要，使學生學有所得；二是要以學生已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，學生有能力解決。設(shè)計的問題不僅要讓學生“跳一跳，才能摸得到”，有發(fā)展的空間；而且要讓學生“跳一跳，就能摸得到”，有成功的可能。
3 科學性原則
首先，要求設(shè)計的問題從情景素材到具體內(nèi)容都是真實可信的，不違背科學常理；其次，設(shè)計的問題還應(yīng)融入科學方法的要素，使學生學習模型、理想化、假說等方法；設(shè)計的問題還要注重體現(xiàn)科學思想和科學價值觀，體現(xiàn)新形勢對學生發(fā)展的要求。
4 啟發(fā)性原則
教師應(yīng)抓住教學的內(nèi)在矛盾，把握時機，在新舊知識的結(jié)合點設(shè)計問題，使學生達到心求通而不解，口欲言而不能的“憤”、“悱”狀態(tài)，從而激發(fā)學生積極地進行思維活動。
5 開放求異性原則
開放和發(fā)散的問題可引導學生從不同的角度探究問題的解決方法和途徑，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和求異思維。因此教師設(shè)計問題的過程中，既要注意基本知識點的中心性，又要引導學生從不同的角度去思考，進行發(fā)散思維，深刻領(lǐng)會與中心知識點有密切聯(lián)系的知識。
6 有序性原則
設(shè)計的問題要結(jié)合教學內(nèi)容的層次性和系統(tǒng)性，由淺入深，由簡到繁，環(huán)環(huán)相扣，層層推進，有助于提高課堂的效率，集中學生的注意力，培養(yǎng)學生思維的深刻性。
7 現(xiàn)實性原則
設(shè)計的問題要結(jié)合學生的生活實際，聯(lián)系科技、生產(chǎn)實際，要有時代氣息，突出“應(yīng)用性、實踐性”，表現(xiàn)數(shù)學學習在人類文明中的巨大作用，使學生認識數(shù)學學習的意義，激發(fā)學習的動力，同時提高運用數(shù)學知識的能力。
8 發(fā)展性原則
增加問題的開放性，促進多方位的發(fā)展。設(shè)計問題，或?qū)W習引向深入，揭示其數(shù)學本質(zhì)；或引發(fā)一些新的思考，打開通向新世界之門，讓數(shù)學教學達到韻味無窮的境界。
三、問題設(shè)計的一般性方法
1 設(shè)計問題要有趣味性，引發(fā)學生學習興趣
復(fù)雜的學習領(lǐng)域應(yīng)針對學生先前的經(jīng)驗和學生的興趣，只有這樣，才能激發(fā)學生學習的積極性，學習才有可能是主動的。利用學生熟悉的生活情境和感興趣的事物作為教學活動的切入點，使他們能迅速進入思維發(fā)展的“最近區(qū)”，掌握學習的主動權(quán)。如，在“一定摸到紅球嗎”這堂課中，要讓學生掌握判斷一類事件發(fā)生可能性的方法，并能設(shè)計符合要求的簡單概率模型，筆者設(shè)計了一個“我們最默契”的游戲：請各小組從生活中搜集素材設(shè)計一些事件，再請他們的好友表示該事件發(fā)生的確定性與不確定性，比賽哪些同學最默契。學生的思維非?；钴S，設(shè)計出很多有意思、有意義的確定和不確定事件：太陽一定是東升西落；在全班同學中任意抽取一人是女生；伊拉克戰(zhàn)爭中英美聯(lián)軍向薩達姆的30所官邸同時發(fā)射導彈，擊中了薩達姆，等等。然后請他們的好友回答該事件的可能性是多少。我發(fā)現(xiàn)在游戲進行過程中，被叫到的學生非常興奮，他們對于自己成為與他人配合最默契的好朋友感到非常高興。整堂課學生抒發(fā)了自己對集體的熱情，對世界大事的關(guān)心，還有對友誼的真誠。
2 設(shè)計能打破學生認知發(fā)展的平衡狀態(tài)，引導學生積極探究
學生認知發(fā)展就是觀念上的平衡狀態(tài)不斷遭到破壞，并不斷達到新的平衡狀態(tài)的過程。因此，所設(shè)計的問題要引發(fā)學生認知上的不平衡，從而讓學生清楚地看到自身已有知識的局限性，產(chǎn)生要努力通過新的學習活動，達到新的、更高的平衡的沖動。
如，負數(shù)的引入可這樣設(shè)計，某班舉行知識競賽，評分標準是：答對一題加10分，答錯一題扣10分，不回答得O分；每個隊的基本分均為0分，給出四個隊答5道題的情況，然后讓學生與同伴進行交流，每個代表隊的最后得分是多少?你是怎樣表示的?這樣在表示的過程中，學生發(fā)現(xiàn)小學學過的“數(shù)怎么不夠用了?”從而自然地引入負數(shù)的概念。通過這樣設(shè)置問題，讓問題在學生新的需要與原有水平之間產(chǎn)生沖突，激發(fā)了學生的學習動機，不斷切入學生思維的最近發(fā)展區(qū)，縮短學生原有水平與學習目標之間的距離，從而拓展學生的心智品質(zhì)。
3 設(shè)計探究型問題，培養(yǎng)學生動手能力
數(shù)學家G·波利亞指出：“數(shù)學有兩個側(cè)面，一方面，它是嚴謹科學；但另一方面，它是創(chuàng)造過程中的數(shù)學，是一門實驗性的歸納科學。”把課堂變成“小型的科學實驗室”，實驗程序并非完全給定，而是開放式的，要求學生自己搜集資料、自己觀察、自己分析、自己總結(jié)。從人類知識角度看，這類實驗并未提出新的見解，不過是一種重復(fù)；但是，對于學生個體而言，卻是一種探究，是獨立的發(fā)現(xiàn)，是知識的再創(chuàng)造。我們應(yīng)利用實驗型的問題，使學生在操作、觀察、討論、交流、歸納、猜想、分析和整理的過程中，理解數(shù)學問題的提出、數(shù)學概念的形成、數(shù)學結(jié)論的獲得與驗證，以及數(shù)學知識的應(yīng)用。
如。已知在四邊形ABcD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。對于這個問題，學生不難證明，但數(shù)學不能到此為止，可以引導學生進行多方面的思考分析。
思考一：本例除了教材的證明方法之外，你還能想出
其他證明方法嗎?
思考二：分別順次連結(jié)以下四邊形的四條邊的中點，所得到的是什么四邊形?從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?
(1)平行四邊形 (2)矩形 (3)菱形(4)正方形(5)梯形(6)直角梯形 (7)等腰梯形
思考三：順次連結(jié)n(n≥3)邊形的各邊中點得到怎樣的n邊形?順次連結(jié)正多邊形(各邊相等，各角也相等的多邊形)各邊的中點，得到的是什么多邊形?是正多邊形嗎?思考四：分析例題添加輔助線的方法。從中你受到了什么啟發(fā)?能否得出在已知中點條件下添加輔助線的一些規(guī)律?
4 設(shè)計實踐型問題，拓展課程資源空間
數(shù)學知識是一個動態(tài)的發(fā)展的知識體系，由于教材(課程資源的一種)內(nèi)容有其時間、地域的局限性，不可能面面俱到，與學科知識和教育理論的前沿也有一定的時間差，所以教學中要拓展教材的時空局限，開展綜合實踐活動，培養(yǎng)學生收集信息、處理信息的能力。
如，學習了相似三角形和三角函數(shù)等知識后，教師可這樣提出一個問題：怎樣測量學校旗桿的高度?怎樣測量尖山大橋的跨度?(五點定位法)針對各種不同的實際情況，設(shè)計不同的測量_方法。教師組織學生到實地考察，記錄所看到的實際情形，每人設(shè)計測量的具體方案，然后分四人小組討論交流，把本小組的各種設(shè)想進行匯總和整理，再選擇幾種介紹，這樣，可以使不同水平的學生都能參與，充分發(fā)揮學生的想象力，展示學生的思維特點，真正做到自主探究，提高創(chuàng)新精神和實踐能力。
5 設(shè)計互逆型問題，培養(yǎng)學生逆向思維能力
學生的思維發(fā)展總是遵循相互制約、相互促進、相互聯(lián)系的規(guī)律。逆向思維就是突破習慣性思維的束縛，做出與習慣性思維的方向完全相反的探究。逆向思維不僅可以加深對原有知識的理解，還可以發(fā)現(xiàn)一些新的規(guī)律。正向思維可以習慣性地在學生頭腦中扎根，而逆向思維未經(jīng)特殊訓練就難以形成。在教學中若有意識地設(shè)計一些互逆型問題，從另一些方而去開闊學生的思路，就會使學生養(yǎng)成從正向和逆向不同的方向去認識、理解、應(yīng)用新知識的習慣，從而也就提高了學生分析問題、解決問題的能力。數(shù)學本身提供了大饋的可逆思維的素材，逆定理、互逆公式、逆運算，幾乎每一個問題都能提出逆向問題，這就為我們構(gòu)造互逆型問題、培養(yǎng)學生的逆向思維能力提供了條件。如整式乘法與因式分解，冪的運算等。
6 設(shè)計類比型問題，培養(yǎng)學生的類比、歸納能力
法國數(shù)學家拉普拉斯指出：“在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是類比和歸納。”類比是在兩類不同事物之間進行對比找出若干相同或相似點之后，推測在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方式。歸納是對某類事物中的若干特殊情形分析得出一般性結(jié)論的方法，其認識依據(jù)在于同類事物的各種特殊情形中蘊含的同一性和相似性。由于數(shù)學學科知識具有很強的外擴性，而新擴知識總是與擴前知識有很多相似之處。因此，利用設(shè)計的類比型問題，引導學生開展各種類比、歸納等豐富多彩的探究活動，鼓勵學生進行一般與特殊、無限與有限等的類比，以達到培養(yǎng)和發(fā)展學生創(chuàng)造性思維的目的。如，學習有理數(shù)混合運算法則，可以類比小學數(shù)學的混合運算法則；實數(shù)的混合運算法則，又可以類比有理數(shù)的混合運算法則；乘方的意義，可以類比乘法的意義；二元二次方程的意義，可以類比一元二次方程的意義；分式的基本性質(zhì)、運算法則，可以類比分數(shù)的基本性質(zhì)及其運算法則，等等。
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