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例2 用2，3，4，5中的三個(gè)數(shù)能組成哪些三位質(zhì)數(shù)？

分析：首先考慮個(gè)位數(shù)字是幾，如果個(gè)位數(shù)字是2或4，這樣的三位數(shù)必能被2整除，因此這樣的三位數(shù)不會(huì)是質(zhì)數(shù)，如果個(gè)位數(shù)字是5，這樣的三位數(shù)必能被5整除，這樣的三位數(shù)也不會(huì)是質(zhì)數(shù)，所以個(gè)位數(shù)字只能是3，再由剩下的三個(gè)數(shù)字組成百位、十位，得出個(gè)位數(shù)字是3的三位數(shù)為：243，423，253，523，453，543，最后根據(jù)質(zhì)數(shù)的判斷方法，得到所求的質(zhì)數(shù)．

解：如果組成的三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是2、4、5時(shí)，這個(gè)數(shù)必能被2或5整除，因此個(gè)位數(shù)字只能是3，而個(gè)位數(shù)字是3的三位數(shù)有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是質(zhì)數(shù)．

　　質(zhì)數(shù)的判斷方法是，當(dāng)一個(gè)數(shù)比較小時(shí)，用定義直接判斷，但這個(gè)數(shù)比較大時(shí)，通常采用查質(zhì)數(shù)表，最好記住100以?xún)?nèi)的所有質(zhì)數(shù)．在沒(méi)有質(zhì)數(shù)表的情況下，可以用質(zhì)數(shù)從小到大的順序逐個(gè)地去試除．如果能被其中某一個(gè)質(zhì)數(shù)整除，就說(shuō)明這個(gè)數(shù)是合數(shù)，如果除到商已比試除的質(zhì)數(shù)小，還不能被這些質(zhì)數(shù)中的任何一個(gè)整除，那么這個(gè)數(shù)一定是質(zhì)數(shù)．

　　例如，判斷100以?xún)?nèi)的數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，只需用2、3、5、7這四個(gè)質(zhì)數(shù)去試除，如果沒(méi)有一個(gè)能整除它，這個(gè)數(shù)一定是質(zhì)數(shù)，否則不是質(zhì)數(shù)．判斷97是不是質(zhì)數(shù)，因?yàn)?/font>97不能被2，3，5，7中的任何一個(gè)整除，因此97是質(zhì)數(shù)．為什么不必去試除比97小的所有的質(zhì)數(shù)呢？因?yàn)?/font>97不能被2，3，5，7中的任何一個(gè)整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等數(shù)（分別為2，3，5的倍數(shù)）整除，又因?yàn)?，如果?/font>11或大于11的質(zhì)數(shù)去試除， 97÷11=8…9， 97÷13=7…6，其商為8、7，比除數(shù)還小，都已試除過(guò)，因此判斷100以?xún)?nèi)的數(shù)是否是質(zhì)數(shù)只需用2，3，5，7去試除．

　　判斷200以?xún)?nèi)的數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，只需用2，3，5，7，11，13，17這七個(gè)質(zhì)數(shù)去試除；判斷300以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)，只需用2到17這七個(gè)質(zhì)數(shù)去試除；判斷400以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)，只需用20以?xún)?nèi)的八個(gè)質(zhì)數(shù)與去試除；判斷500以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)，只需2到23的質(zhì)數(shù)去試除．其余可用類(lèi)似的方法推出，你可以思考一下1000以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)如何判斷？

例3 將40，44，45，63，65，78，99，105這八個(gè)數(shù)平分成兩組，使每組四個(gè)數(shù)的乘積相等．

分析：如果采用觀察、計(jì)算調(diào)整的方法是比較麻煩的．要使兩組數(shù)的乘積相等，只有兩組數(shù)中的質(zhì)因數(shù)相同，而且質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)也相同，就可以了，所以從這八個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)入手，根據(jù)各質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇钆?，便能找出?wèn)題的答案．

解：將八個(gè)數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)：

　　40=2³×5 44=2²×11

　　45=3²×5 63=3²×7

　　65=5×13 78=2×3×13

　　99=3²×11 105=3×5×7

　　這八個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后一共有6個(gè)2，8個(gè)3，4個(gè)5，2個(gè)7，2個(gè)11，2個(gè)13．因此，這八個(gè)數(shù)被分成兩組后，每一組應(yīng)含有3個(gè)2，4個(gè)3，2個(gè)5，1個(gè)7，1個(gè)11，1個(gè)13，這樣可以得到兩組分別為：40，63，65，99和44，45，78，105．

例4 360有多少個(gè)約數(shù)？

分析：如果先求360的所有約數(shù)，再數(shù)出它們的個(gè)數(shù)，顯然比較麻煩．為此，先將360分解質(zhì)因數(shù)：360=2³×3²×5，360的任意一個(gè)約數(shù)均由若干個(gè)2或3或5組成，我們將360的所有約數(shù)列成下面的數(shù)陣：

　　1 　　　　　2 　　　　　　2² 　　　　2³

　　3 　　　　　2×3 　　　　2²×3 　　 　2³×3

　　3² 　　　　　2×3² 　　　 2²×3²　　　2³×3²

　　5 　　　　　2×5 　　　　2²×5 　　　2³×5

　　3×5 　　　2×3×5 　　　2²×3×5 　　2³×3×5

　　3²×5　 　　2×3²×5　　 2²×3²×5 　 2³×3²×5

　　這個(gè)數(shù)陣共6行，每行4個(gè)約數(shù)，所以360共有4×6=24個(gè)，而24=（3+1）×（2+1）×（1+1），這里3，2，1恰好是360分解質(zhì)數(shù)式子中2，3，5的個(gè)數(shù)，從而得到下面關(guān)于約數(shù)個(gè)數(shù)的一個(gè)重要結(jié)論：

　　一個(gè)大于1的整數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)加1的連乘積．用數(shù)字式子表示為：

　　如果A分解質(zhì)因數(shù)為：

　　

　　則A的全體約數(shù)的個(gè)數(shù)為：

　?。?/font>r₁+1）×（r₂+1）×…×（r_n+1）

例5 有30個(gè)約數(shù)的最小自然數(shù)是多少？

分析：設(shè)所求的數(shù)為A，則A有30個(gè)約數(shù)，因?yàn)?/font>30= 30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，要使A最小，一般使A的質(zhì)因數(shù)的冪指數(shù)盡可能小，質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)盡可能少， 所以A必為下列形式：

　　

　　其中a₁，a₂，a₃為互不相同的質(zhì)數(shù)．

　　要使A最小，a₁，a₂，a₃盡可能小，顯然a₃=2，a₂=3，a₁=5，這樣

　　A=2⁴×3²×5=720

解：因?yàn)?/font>30=30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，而且題中要求

a₂、a₃為互不相等的質(zhì)數(shù)，為了使A最小，a₃=2，a₂=3，a₁=5，所以A=24×32×5=720．

例6 九個(gè)連續(xù)自然數(shù)中至多有四個(gè)質(zhì)數(shù)，例如1至9中有2、3、5、7四個(gè)質(zhì)數(shù)．請(qǐng)?jiān)?/font>200以?xún)?nèi)再找出五組這樣的質(zhì)數(shù)．

分析：9個(gè)連續(xù)自然數(shù)中至多有5個(gè)奇數(shù)．在兩位數(shù)中，個(gè)位是5的數(shù)必能被5整除，而且三個(gè)連續(xù)的奇數(shù)必有一個(gè)能被3整除，所以只有當(dāng)個(gè)位數(shù)字為5的兩位數(shù)又能被3整除時(shí)，其余的四個(gè)奇數(shù)才有可能是質(zhì)數(shù)．當(dāng)找到一組這樣的兩位以上的質(zhì)數(shù)時(shí)，另一組與這組對(duì)應(yīng)的數(shù)的差必定是30的倍數(shù)．按照上述辦法找出后，再根據(jù)質(zhì)數(shù)的判斷方法去篩選就可得出結(jié)果．

　　首先容易得出3，5，7，11；5，7，11，13；在兩位數(shù)中，按照上面的方法可得出以下各組數(shù)：

　　11，13，15，17，19；

　　41，43，45，47，49；

　　71，73，75，77，79；

　　101，103，105，107，109；

　　131，133，135，137，139；

　　161，163，165，167，169；

　　191，193，195，197，199；

　　根據(jù)質(zhì)數(shù)的判斷方法可以得出兩位數(shù)中還有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199這三組符合條件．

解：200以?xún)?nèi)另外五組這樣的質(zhì)數(shù)為：3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199．