引力悖論
2015.10.22 科學網(wǎng)張?zhí)烊?/font>
引力理論的兩個里程碑，分別由牛頓萬有引力定律和愛因斯坦廣義相對論為基礎(chǔ)而建立。宇宙學中也分別有牛頓的宇宙模型以及現(xiàn)代物理中以大爆炸學說為代表的宇宙標準模型。
牛頓宇宙學認為宇宙是靜態(tài)和無限的，并且遵循均勻各向同性的宇宙學原理。這種靜態(tài)無限的傳統(tǒng)宇宙觀，看起來簡單明了，似乎容易被人接受，但卻也產(chǎn)生了不少佯謬，除了上一篇介紹的夜黑佯謬之外，還有引力佯謬，以及與熱力學相關(guān)的熱寂說佯謬等。
引力佯謬也叫本特利（Bentley）悖論【1】，因為它最開始是由與牛頓同時代的一個年輕神學家本特利提出來的。
當年（1692年）的本特利剛剛30出頭，年紀輕輕便擔當重任，成為基督教的布道者。本特利感興趣用牛頓的理論來反對無神論者，因為牛頓的體系符合基督教教義，揭示出了一個穩(wěn)定、無限、和諧運轉(zhuǎn)的宇宙。為此他寫信向牛頓請教一個心中的疑問：如果宇宙是無限的，而重力又總是表現(xiàn)為吸引力，那么，所有物質(zhì)最終應(yīng)該被吸引到一起，無限大的引力將使得整個世界產(chǎn)生爆炸或撕裂。
在給本特利的回信中，牛頓承認自己的理論在這個問題上產(chǎn)生悖論，但他將答案交于上帝，牛頓在信中說：“需要一個持續(xù)不斷的奇跡來防止太陽和恒星在重力作用下跑到一塊兒?！?，又說：“行星現(xiàn)有運動不僅僅由于某個自然的原因，而是來自于一個全能主宰的推動?！?/span>
引力悖論揭示出將重力理論應(yīng)用到整個宇宙時所產(chǎn)生的矛盾。可以以地球為中心來分析這個問題。因為宇宙是無限的，類似于“夜黑佯謬”的說法，在任何一個方向，都有無限多的星球在吸引著地球，總引力的合力是無限大。不過，引力的情況與光照的情形有所不同的是，在與立體角相反的方向上，也有無限多的星球是在往反方向吸引地球。兩個無限大的力相減，結(jié)果似乎不確定。
引力悖論也常常被稱為西利格爾佯謬，得名于距牛頓200年之后的德國天文學家西利格爾（Seeliger，1849—1924）。西利格爾認為【2】，即使兩個相反對頂立體角的引力互相抵消了，可能使得合力為0，但場中的引力勢也并不會為0，而是趨向無窮大。
數(shù)學上來說，既然宇宙從整體看來是均勻和各向同性的，那么，我們可以用一個均勻各向同性的實心物質(zhì)球為模型來研究引力悖論。
將萬有引力定律應(yīng)用于實心球模型，解泊松方程并進行一些簡單代數(shù)運算，在實心球的內(nèi)部中心點，可得到引力的合力為0。但引力勢并不為0，引力勢與實心球的半徑（即宇宙的半徑R宇宙）成正比，對無限宇宙而言，引力勢便趨向無窮大，因而整個宇宙將是不穩(wěn)定的，并很快塌縮。
按照當時人們的想法，維持一個靜態(tài)而穩(wěn)恒的宇宙很重要，因此，西利格爾曾試圖修改牛頓引力公式來解決這個矛盾，可終究未能成功。廣義相對論建立之后，也面臨著同樣的問題。這就使得愛因斯坦1917年在場方程中加進了宇宙常數(shù)一項，愛因斯坦以為這樣就能得到宇宙的靜態(tài)解。但就在同一年，荷蘭物理學家德西特證明加上了宇宙常數(shù)的場方程不僅有靜態(tài)解，也有動態(tài)解。再后來弗里德曼指出愛因斯坦的靜態(tài)解是不穩(wěn)定的，宇宙是膨脹的。愛因斯坦一開始懷疑弗里德曼算錯了，直到哈勃的觀測結(jié)果證實宇宙的確在膨脹，又感覺后悔莫及。
那么，宇宙到底是有限的還是無限的？開放的還是閉合的？
圖6-1：三種宇宙模型
可以從由廣義相對論導出的弗里德曼方程來探討這一問題。根據(jù)弗里德曼的理論，宇宙的形狀有三種可能性：開放、閉合、平坦，取決于宇宙的質(zhì)量密度。更準確地說，是取決于宇宙的質(zhì)量密度與臨界質(zhì)量密度的比值W0（相對質(zhì)量密度）。如圖6-1右所示，臨界質(zhì)量密度：
r0 =3H2/8pG
定義為當設(shè)定宇宙常數(shù)為0時產(chǎn)生平坦的弗里德曼度規(guī)的質(zhì)量密度。以上r0的表達式中，H為現(xiàn)在的哈勃參數(shù)，G是萬有引力常數(shù)。這個臨界質(zhì)量密度大概是多大呢？據(jù)說大約是每立方米三個核子（質(zhì)子或中子）。
圖6-1左圖表示大爆炸之后，由于質(zhì)量密度的不同而形成了三種不同的宇宙演化模型。這些模型預(yù)測了宇宙的未來。當W0>1的時候，說明宇宙中的物質(zhì)足夠多，將產(chǎn)生足夠大的重力，在一定的時候?qū)⑹褂钪嫱Ｖ古蛎洠_始收縮，最后變成與大爆炸過程相反的大擠壓，讓宇宙回復(fù)到爆炸誕生時的炙熱狀態(tài)。反之，當W0<1的時候，沒有足夠的質(zhì)量產(chǎn)生足夠的重力來使得物質(zhì)保持在一起，因而宇宙將永無止境地膨脹，也有可能最終走向“熱寂”。前面所述的這兩種情況似乎都會使得人們對宇宙的未來憂心忡忡，盡管像是在杞人憂天，但大家總希望給宇宙一個好一點的結(jié)局。第三種平坦宇宙，對應(yīng)于W0=1，則介于上述兩種情形之間。
我們的宇宙屬于哪一種模型？實際上，直接測量與估算宇宙的平均密度復(fù)雜而困難，能夠估算的，頂多也只是可見物質(zhì)構(gòu)成的星體對平均密度的貢獻。反之，從現(xiàn)有的天文觀測資料，天文學家們得到大范圍內(nèi)的宇宙是基本平坦的結(jié)論。這個平坦無限然而動態(tài)的宇宙圖景，總算讓人們心情舒暢了一些。
平坦宇宙需要滿足（W0=1），也就是說，總的物質(zhì)密度要等于臨界密度。但從觀測資料得到的發(fā)光物質(zhì)的密度不超過臨界密度的1／10。加上看不見，但明顯表現(xiàn)出引力效應(yīng)的暗物質(zhì)，能達到百分之二十幾，仍然遠遠不夠達到臨界密度，剩下的便只好請“暗能量”先生來補充了。
在此澄清幾點對大爆炸和無限宇宙的誤解。一是大爆炸并不是發(fā)生在空間中的某一點，而是發(fā)生在三維空間的所有點。如果對空間曲率為0的平坦宇宙模型，即是發(fā)生在整個“無窮大空間”的時間奇點上。因為我們使用的是平坦三維空間宇宙模型，其空間曲率總是為零，但時空曲率不會總是0。實際上，在大爆炸發(fā)生時的那個奇點，時空曲率為無限大。三維空間雖然是平坦的，但溫度卻是無限高，質(zhì)量密度無限大，爆炸發(fā)生在空間的每一點。大爆炸之后，時空膨脹，奇點轉(zhuǎn)為正常的時空點。溫度下降，質(zhì)量密度降低，時空曲率減小（空間曲率始終為0），原來體積就是無窮大的宇宙空間繼續(xù)不斷膨脹。
另外，需要把宇宙可能的三種演化模型與“可觀測宇宙”區(qū)別開來。無論宇宙模型預(yù)料的宇宙是有限還是無限，可觀測宇宙總是有限的。就我們所知，根據(jù)對宇宙微波背景的觀測，大爆炸理論估計的宇宙年齡大約為137億年。而光傳播的速度有限，因而我們可以觀測到的宇宙范圍是有限的。因為我們能夠探測到的最早的光是某些星球在137億年之前發(fā)射出來的，光波發(fā)射之后，這些星球（星系）與地球之間的空間又經(jīng)過了137億年的“膨脹效應(yīng)”。根據(jù)宇宙膨脹的模型以及天文觀測得到的哈勃參數(shù)，可以估算出這些星系現(xiàn)在離我們的距離。這個距離遠遠超過137億光年，大約是465億光年左右。
將這個距離（465億光年）為半徑，地球為中心，可作一個球面。球面包圍的三維空間便是我們的“可觀測宇宙”，球面是可觀測宇宙的邊界，稱之為“視界”，或過去視界。
視界之外是什么？是“可觀測宇宙”的延續(xù)，或許有限或許無限，根據(jù)圖6-1中的W0而定。雖然其中星球發(fā)射的光波暫時還到達不了地球，但它應(yīng)該與我們能看到的宇宙部分大同小異，因為我們認為整個宇宙是處處均勻且各向同性的，這是宇宙學原理的基本假設(shè)。
既然視界之外的東西觀測不到，何不讓想象力盡量飛翔馳騁，也包括想象一個多宇宙的圖景。多宇宙模型認為，除了我們可觀測到的宇宙之外，還有許多個觀測不到的其他宇宙“存在”。如果這個想象的模型對解釋我們在“這個”宇宙得到的觀測資料或者理論有幫助的話，又未嘗不可呢？
參考資料：
【1】Bentley's paradox：
https://en.wikipedia.org/wiki/Bentley's_paradox
【2】Seeliger, AstronomischeNachrichtungen, 137 (1895), 129
