20世紀(jì)是經(jīng)典物理學(xué)的終結(jié)，現(xiàn)代物理學(xué)的開始，提到現(xiàn)代物理學(xué)，大家可能想到最多的就是廣義相對(duì)論、量子力學(xué)這對(duì)現(xiàn)代物理學(xué)的雙子星，或者是波粒二象形、薛定諤的貓、海森堡測(cè)不準(zhǔn)定理等，可是要提起現(xiàn)代物理學(xué)，是絕對(duì)不能少了這個(gè)偉大的定理—諾特定理，它是20世紀(jì)、21世紀(jì)物理學(xué)的指路明燈，引領(lǐng)了物理學(xué) 100 年的發(fā)展，是現(xiàn)代物理學(xué)的基石。
它的提出者艾米·諾特幾乎少有人知，她被譽(yù)為有史以來最偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)之母、抽象代數(shù)之母，是可以和高斯、歐拉并列的數(shù)學(xué)天才，20世紀(jì)數(shù)學(xué)界有兩個(gè)人是無法忽略的，他們對(duì)20世紀(jì)以來的數(shù)學(xué)起到了引領(lǐng)性的作用，一個(gè)是“數(shù)學(xué)之王”希爾伯特，希爾伯特最偉大的成就是培育了一大批數(shù)學(xué)家，可以說撐起了 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)的半邊天，他提出的“希爾伯特”方案至今仍對(duì)數(shù)學(xué)研究的方向起到引領(lǐng)作用。
而另外一位就是諾特，諾特徹底改變了環(huán)、域和代數(shù)的理論，使抽象代數(shù)學(xué)真正成為一門數(shù)學(xué)分支，她允許學(xué)者們無條件地使用她的工作成果，也因此被人們尊稱為“當(dāng)代數(shù)學(xué)文章的合著者”，她開創(chuàng)的諾特學(xué)派至今仍在影響數(shù)學(xué)界，被帕維爾·亞歷山德羅夫、阿爾伯特·愛因斯坦、讓·迪厄多內(nèi)、赫爾曼·外爾和諾伯特·維納形容為數(shù)學(xué)史上最重要的女人。
然而諾特本人是不幸的，她的父親雖然是著名數(shù)學(xué)家，著名的“ 不等式之王” 高丹教授是父親的密友，在他們的影響下，諾特在數(shù)學(xué)上具有極大的天賦。
然而當(dāng)時(shí)大學(xué)并不允許女生注冊(cè)，諾特只能作為旁聽生，后來大學(xué)允許女生上學(xué)之后，諾特考取了博士，成為第一位女?dāng)?shù)學(xué)博士，但是她還是沒有擺脫歧視，她雖然憑借自己強(qiáng)大的科學(xué)成就成為了講師，卻沒有薪資。她只能從學(xué)生的學(xué)費(fèi)中支取一點(diǎn)點(diǎn)薪金，來維持極其簡(jiǎn)樸的生活。
左四希爾伯特
而后來希特勒上臺(tái)，作為猶太人的諾特被剝奪了教學(xué)的資格，她被迫乘船前往美國(guó)，卻又死于外科手術(shù)。去世的時(shí)候才 53 歲。
如果諾特沒有生活在那樣的環(huán)境，她的成就會(huì)更大，這是科學(xué)史上的遺憾。
諾特一生最幸運(yùn)的事情就是遇見了希爾伯特，這兩位20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家并沒有如牛頓萊布尼茨一樣針鋒相對(duì)交惡數(shù)十年，影響數(shù)學(xué)界數(shù)十年的發(fā)展。
希爾伯特與諾特亦師亦友。而在聆聽希爾伯特的講課之后，諾特受益匪淺，諾特一生深受希爾伯特的影響，而希爾伯特也十分欣賞她的才華。
也是因?yàn)橛邢柌氐膸椭?，她才能夠進(jìn)行教學(xué)工作，當(dāng)時(shí)希爾伯特想為諾特在哥廷根大學(xué)謀求一份工作，這樣，諾特也有一個(gè)安定的環(huán)境進(jìn)行科學(xué)研究。
然而當(dāng)時(shí)的哥廷根大學(xué)沒有專門的數(shù)學(xué)系。數(shù)學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、歷史學(xué)都劃在哲學(xué)系里，聘請(qǐng)講授必須經(jīng)過哲學(xué)教授會(huì)議批準(zhǔn)。希爾伯特的努力遭到教授會(huì)議中語(yǔ)言學(xué)家和歷史學(xué)家的極力反對(duì)，他們出于對(duì)婦女的傳統(tǒng)偏見，連聘為“私人講師”這樣的請(qǐng)求也斷然拒絕。
希爾伯特屢次據(jù)理力爭(zhēng)都沒有結(jié)果，他氣憤極了，在一次教授會(huì)上憤憤地說：“我簡(jiǎn)直無法想象候選人的性別竟成了反對(duì)她升任講師的理由。先生們，別忘了這里是大學(xué)而不是洗澡堂！”
雖然最終沒有成為講師，但是諾特被允許以希爾伯特的名義授課，1916年，諾特應(yīng)邀來到哥廷根大學(xué)，以希爾伯特的名義講授不變式論課程。
1918年，她在希爾伯特等人的思想影響下，發(fā)表了兩篇重要論文。其中一篇，就是我們今天要講的諾特定理。
我們知道，物理學(xué)中有兩個(gè)著名的概念；守恒定律和對(duì)稱性。1748年7月16日，羅蒙諾索夫在寫給偉大的數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉的信中做出了首次闡述了守恒定律。
例如，他寫道“自然界所發(fā)生的一切變化，都是這樣的：一種東西失去多少，另一種東西就獲得多少。例如，如果某個(gè)物體增加了若干物質(zhì)，另一物體必然有若干物質(zhì)消失；我睡了多久，那我就必然少清醒多久，如此等等?！?/p>
守恒定律被譽(yù)為科學(xué)史上最偉大的發(fā)現(xiàn)之一，也是自然界最普遍、最重要的基本定律之一。從物理、化學(xué)到地質(zhì)、生物，大到宇宙天體。小到原子核內(nèi)部，只要有能量轉(zhuǎn)化，就一定服從 能量守恒的規(guī)律。
從日常生活到科學(xué)研究、工程技術(shù)，這一規(guī)律都發(fā)揮著重要的作用。人類對(duì)各種能量，如煤、石油等燃料以及水能、風(fēng)能、核能等的利用，都是通過能量轉(zhuǎn)化來實(shí)現(xiàn)的。能量守恒定律是人們認(rèn)識(shí)自然和利用自然的有力武器。
人們對(duì)于物理學(xué)中對(duì)稱性的研究其實(shí)很早，對(duì)稱性是現(xiàn)代物理學(xué)中的一個(gè)核心概念，系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變換到另一個(gè)狀態(tài)，如果這兩個(gè)狀態(tài)等價(jià)，則說系統(tǒng)對(duì)這一變換是對(duì)稱的?；蛘哒f給系統(tǒng)一個(gè)“操作”，如果系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)等價(jià)的狀態(tài)，則說系統(tǒng)對(duì)這一操作是對(duì)稱的。
當(dāng)然這是現(xiàn)代物理學(xué)的解釋了，物理學(xué)中最簡(jiǎn)單的對(duì)稱性例子是牛頓運(yùn)動(dòng)方程的伽利略變換不變性和麥克斯韋方程的洛倫茲變換不變性和相位不變性。
德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾是把對(duì)稱性運(yùn)用到物理學(xué)中并意識(shí)到規(guī)范對(duì)稱重要性的第一人。由此也為后來的規(guī)范場(chǎng)論奠定了基礎(chǔ)。外爾在自己的專著《對(duì)稱》中對(duì)對(duì)稱性有一個(gè)簡(jiǎn)單明了的闡述：如果你對(duì)一個(gè)物體進(jìn)行某些操作，在這些操作完成之后，它看起來和之前是一樣的，那么這個(gè)物體就是對(duì)稱的。例如，球體是完全對(duì)稱的：無論你朝哪個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)球體，它看起來都是一樣的。同樣地，對(duì)稱性也普遍存在于物理學(xué)定律中：物理方程在時(shí)間或空間的不同位置不會(huì)改變。
而系統(tǒng)規(guī)范地提出對(duì)稱性這一概念的還是 1918 年諾特提出的諾特定理，諾特定理可表述為： 對(duì)于力學(xué)體系的每一個(gè)連續(xù)的對(duì)稱變換 ，都有一個(gè)守恒量與之對(duì)應(yīng)。對(duì)稱變換是力學(xué)體系在某種變換下不變。
簡(jiǎn)單來說如果運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有一種對(duì)稱性，必相應(yīng)地存在一條守恒定律。諾特定理聯(lián)系了物理學(xué)中的兩個(gè)重要概念：對(duì)稱性和守恒。
由諾特定理，能量守恒來自于時(shí)間的平移對(duì)稱性。比如火箭發(fā)射會(huì)將燃料中的化學(xué)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和勢(shì)能，由于時(shí)間的對(duì)稱性，因此總能量保持不變，也就是無論你今天發(fā)射火箭還是明天發(fā)射火箭，你化學(xué)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和勢(shì)能不可能會(huì)隨著時(shí)間而改變的。再比如我們把水提升到蓄水池中,所需要做的功是不會(huì)隨著時(shí)間改變的，不可能說今天重力就變?nèi)趿?，把水提升到蓄水池?所需要做的功就會(huì)變少。
同樣地，動(dòng)量守恒源自于空間中的平移對(duì)稱性。例如，在牛頓擺中，當(dāng)一個(gè)球擊中另一個(gè)時(shí)，另一端的球會(huì)向外飛，保持動(dòng)量守恒。這是為什么？因?yàn)榭臻g的對(duì)稱性。打一個(gè)比方，我在兩個(gè)不同的地方舉 100 KG 的石頭，舉不舉得起不會(huì)因?yàn)榭臻g的變換而改變，這就是空間的對(duì)稱對(duì)稱性，而也不會(huì)因?yàn)榭臻g的平移受到的力會(huì)改變，動(dòng)量是守恒的。
而角動(dòng)量守恒則是從旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性（即物理規(guī)律在空間旋轉(zhuǎn)時(shí)保持不變）中出現(xiàn)。而當(dāng)一位溜冰者把她的手臂收起時(shí)，她的旋轉(zhuǎn)速度會(huì)加快。這是因?yàn)榭偟慕莿?dòng)量必須保持不變，而這要?dú)w功于旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。
所以在經(jīng)典力學(xué)體系下，諾特定理中能量守恒對(duì)應(yīng)時(shí)間平移不變性，動(dòng)量守恒對(duì)應(yīng)空間平移不變性，角動(dòng)量守恒對(duì)應(yīng)于旋轉(zhuǎn)不變性。
也就是說物理規(guī)律在時(shí)間、空間和旋轉(zhuǎn)上都是對(duì)稱的。根據(jù)諾特定理，這些對(duì)稱性表明能量、動(dòng)量和角動(dòng)量是守恒的。
后來，諾特定理深入到量子力學(xué)，也就是微觀領(lǐng)域，一個(gè)基本粒子與它的“鏡像”粒子的所有性質(zhì)也完全相同，除自旋方向外它們的運(yùn)動(dòng)規(guī)律也完全一致，具有完全相同的性質(zhì)，則被稱為宇稱守恒。“宇稱”，粗略的說，可理解為“左右對(duì)稱”或“左右交換”。
宇稱守恒都符合粒子的三個(gè)基本的對(duì)稱方式：
1、一個(gè)是粒子和反粒子互相對(duì)稱，即對(duì)于粒子和反粒子，定律是相同的，這被稱為電荷（C）對(duì)稱。
2、一個(gè)是空間反射對(duì)稱，即同一種粒子之間互為鏡像，它們的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是相同的，這叫宇稱（P）。
3、一個(gè)是時(shí)間反演對(duì)稱，即如果我們顛倒粒子的運(yùn)動(dòng)方向，粒子的運(yùn)動(dòng)是相同的，這被稱為時(shí)間（T）對(duì)稱。
宇宙中有四大力，弱力、引力、電磁力都符合宇稱守恒，只有弱力不符合，也正是這一點(diǎn)點(diǎn)的不對(duì)稱，才誕生了這繽紛多彩的宇宙，而楊振寧與李政道也因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了弱力不守恒而獲得了諾貝爾獎(jiǎng)。
諾特定理可以說揭示了自然界最深層次的奧秘，并且它還成為了理論物理的中心結(jié)果之一， 諾特定理和量子力學(xué)深刻相關(guān)，因?yàn)樗鼉H用經(jīng)典力學(xué)的原理就可以認(rèn)出和 海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理相關(guān)的物理量（譬如位置和動(dòng)量）。可以說諾特定理是罕見適用于經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)的偉大定理之一，因?yàn)槲覀冎澜?jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)的研究領(lǐng)域并不相同。
到了20世紀(jì)下半葉,諾特定理成為了粒子物理學(xué)標(biāo)準(zhǔn)模型的基礎(chǔ)。標(biāo)準(zhǔn)模型描述了微觀尺度的世界,并預(yù)言了希格斯玻色子的存在。因?yàn)閷?duì)于宇宙大一統(tǒng)理論的研究，以及標(biāo)準(zhǔn)模型的構(gòu)建，離不開規(guī)范場(chǎng)論，規(guī)范場(chǎng)論是基于對(duì)稱變換可以局部也可以全局地施行這一思想的一類物理理論。
在發(fā)現(xiàn)守恒定律的任何地方，物理學(xué)家都在尋找對(duì)稱性，反之亦然。比如人們就在電磁力中成功發(fā)現(xiàn)了電荷守恒，而對(duì)于諾特定理的研究、深入、擴(kuò)展，也讓粒子物理學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)模型得到不斷的發(fā)展。
諾特定理是發(fā)展量子引力的潛在理論的必要工具。量子引力，又稱量子重力，是描述對(duì)重力場(chǎng)進(jìn)行量子化的理論；主要嘗試結(jié)合廣義相對(duì)論與量子力學(xué)，為當(dāng)前的物理學(xué)尚未解決的問題。它想要把廣義相對(duì)論量子化,進(jìn)而統(tǒng)一包括引力在內(nèi)的四種基本力。諾特定理則幫助科學(xué)家理解在這樣一個(gè)統(tǒng)一的理論中可以出現(xiàn)怎樣的對(duì)稱性。
可以說，諾特定理涵蓋的對(duì)稱性與守恒性兩大概念，是已知物理學(xué)的基礎(chǔ)。也是指導(dǎo)現(xiàn)代物理學(xué)發(fā)展的最重要的數(shù)學(xué)定理之一，對(duì)于實(shí)現(xiàn)宇宙大一統(tǒng)、統(tǒng)一四大力則更缺少不了諾特定理，諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主弗蘭克·維爾切克說：“諾特定理一直是20世紀(jì)和21世紀(jì)物理學(xué)的指路明燈。”
而諾特定理除了應(yīng)用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，是奇異積分方程的基本定理。它并不限于柯西型核的奇異積分方程。
愛因斯坦曾說:“艾米·諾特是數(shù)學(xué)界的雅典娜,如果沒有她,現(xiàn)代數(shù)學(xué)和它的教學(xué)將會(huì)是完全不同的。。。所得到的成果是這一代傳給下一代最珍貴的貢獻(xiàn)”。
諾特定理是諾特獻(xiàn)給數(shù)學(xué)界、物理界最偉大的財(cái)富，它不會(huì)被時(shí)間所湮沒，相反，隨著時(shí)間的不斷流逝，它的作用與意義將會(huì)愈加凸顯，更加熠熠生輝。
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