一、傅里葉變換
1.1傅里葉變換介紹
\quad
我們生活中常見的信息的描述基本上都是在時域空間內(nèi)進(jìn)行描述的，如下圖1所示；但如果當(dāng)我們碰到一些雜亂無章的信號需要處理時，如圖二所示，我們就很難在時域空間內(nèi)分析出任何有用信息。于是偉大的傅里葉提出了傅里葉變換理論，將時域空間內(nèi)的信息可以轉(zhuǎn)換到頻域空間，并且將兩個空間通過一套完整的轉(zhuǎn)換公式聯(lián)系起來。于是我們可以對圖二的時域信號進(jìn)行傅里葉變換，我們則會得到像圖三（此處圖三并不代表圖二的頻域顯示圖，我只是為了講解時域到頻域這一變換，還望理解）所示的信號在頻域空間的分布圖。
\quad
1822年，法國工程師傅里葉指出：一個“任意”的周期函數(shù)
x
(
t
)
x(t)
x(t)都可以分解為無窮個不同頻率正弦信號的和，即傅里葉級數(shù)。其中求解傅里葉系數(shù)的過程就是傅里葉變換。如下所示，第一個公式我們稱之為傅里葉變換，將時域信號
f
(
t
)
f(t)
f(t)在整個區(qū)間
R
R
R內(nèi)進(jìn)行積分，轉(zhuǎn)換為頻域信號
F
(
w
)
F(w)
F(
w)。第二個式子為傅里葉反變換，實現(xiàn)將頻域信號
F
(
w
)
F(w)
F(
w)轉(zhuǎn)換為時域信號
f
(
t
)
f(t)
f(t).
F
(
w
)
=
∫
?
∞
∞
f
(
t
)
e
?
j
w
t
d
t
F(w)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-jwt}dt
F(
w)
=
∫?∞∞f(t)e
?jwtdt
f
(
t
)
=
1
2
π
∫
?
∞
∞
F
(
w
)
e
j
w
t
d
w
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{jwt}dw
f(t)
=
2π1∫?∞∞F(
w)e
jwtd
w 當(dāng)然傅里葉變換的使用也是有一定限制的，比如：
\qquad
1. 無窮區(qū)間的正弦波基函數(shù)所定義的一種整體變換
\qquad
2. 僅適用于對信號進(jìn)行全局分析，不適用于對信號進(jìn)行局部分析。
\qquad
3. 僅適用于分析頻率不隨時間變化的平穩(wěn)信號，但不適用于分析頻率隨時間變化的非平穩(wěn)信號。二、小波變換
2.1小波變換正反變換公式
\quad
以下我將會列出小波基變換的公式，其中第一個公式屬于限制條件，第二個和第三個公式就像傅里葉正反變換的關(guān)系，可以相互轉(zhuǎn)化。
W
f
(
a
,
b
)
<
=
f
W_f(a,b)<=f
Wf(a,b)<=f
ψ
a
b
>
=
1
∣
a
∣
∫
R
f
(
t
)
ψ
(
t
?
b
a
)
￣
d
t
\psi_{ab}>=\frac{1}{\sqrt{|a|}}\int_Rf(t)\overline{\psi({\frac{t-b}{a}})}dt
ψab>=∣a∣
1∫Rf(t)ψ(at?b)dt
f
(
t
)
=
1
C
ψ
∫
R
+
∫
R
1
a
2
W
f
(
a
,
b
)
ψ
(
t
?
b
a
)
d
a
d
b
f(t)=\frac{1}{C_{\psi}}\int_{R^+}\int_R\frac{1}{a^2}W_f(a,b)\psi(\frac{t-b}{a})dadb
f(t)=Cψ1∫R+∫Ra21Wf(a,b)ψ(at?b)dadb
其中式中的變量代表意思如下：
\qquad\qquad
a
,
b
a,b
a,b:
\qquad
伸縮和平移因子，
\qquad\qquad
t
?
b
t-b
t?b
:
:\quad
:時間上或者空間上的平移，
\qquad\qquad
t
a
\frac{t}{a}
at:
\qquad
尺度上或頻率上的伸縮。
還需要注意的是
ψ
(
t
?
b
a
)
{\psi({\frac{t-b}{a}})}
ψ(at?b)被稱為小波基，它是可變的，但是它對信號沒有自適應(yīng)性。
ψ
(
t
?
b
a
)
￣
\overline{\psi({\frac{t-b}{a}})}
ψ(at?b)是小波基的復(fù)數(shù)求共軛，它和小波基一樣，都可以變化，但是對信號也沒有自適應(yīng)性。
2.2小波變換適應(yīng)場景及其優(yōu)缺點
適用于
非平穩(wěn)信號的分析
小波基函數(shù)的選取十分重要，基函數(shù)的選取的不同可能會造成分析結(jié)果的不一致，分析結(jié)果的準(zhǔn)確性取決于選取合適的小波基函數(shù)。
最優(yōu)小波基的選取方法研究。現(xiàn)在國內(nèi)外已經(jīng)有一些最優(yōu)基選取方法，但是缺乏系統(tǒng)規(guī)范的最佳小波基的選取方法，即針對不同的問題能最優(yōu)的選擇不同的小波基，以實現(xiàn)好的應(yīng)用效果。
- 不存在一種小波基能使適用所有的情況
。因此小波基的最優(yōu)化選擇始終是小波理論研究的重要內(nèi)容。
2.3小波變換的應(yīng)用
小波變換的應(yīng)用廣泛，目前主要應(yīng)用領(lǐng)域有以下所列：
地震信號分析
連續(xù)小波用于漩渦研究
二進(jìn)制小波用于圖像的邊緣檢測、圖像壓縮和重構(gòu)。
小波包用于圖像壓縮
噪聲的未知瞬態(tài)信號。
語音信號處理
時頻分析
正交小波用于算子和微分算子的簡化。
三、HHT變換
3.1HHT產(chǎn)生的背景
\quad
1. 頻率的表示方法是建立在傅里葉變換的基礎(chǔ)上的，由于傅里葉變換是一種全局的變換，要么完全在時域，要么完全在頻域，因此無法表述信號的時頻局部性質(zhì)，而時頻局部性質(zhì)恰好是非平穩(wěn)信號最基本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。
\quad
2. 雖然小波變換卻具有自動改變窗口長短的功能，可以很好的把信號在時間上和頻域上局部化，從而呈現(xiàn)了信號的局部奇異性。從分辨率看，小波變換很好的解決了時間和頻率的分辨的矛盾，它在低頻段用高的頻率分辨率和低的時間分辨率；而在高頻段使用低的頻率分辨率和高的時間分辨率。（事實上，它也只能這樣。）小波變換的窗寬變換是自適應(yīng)的。（注意此處是窗寬，也就是矩形窗的寬度是可以自適應(yīng)的，與之前說的小波基不能對信號的自適應(yīng)是不矛盾的。）
\qquad
3. 就這樣HHT(Hilbert-Huang Transfrom),也稱作希爾伯特-黃，在結(jié)合了傅里葉變換和小波變換的基礎(chǔ)上誕生了。它是由美籍華裔科學(xué)家黃鍔，創(chuàng)立的一種研究方法。它既吸取了小波變換的多分辨率的優(yōu)勢，又克服了小波變換中需要選擇小波基的困難。
3.2 HHT變換介紹
\quad
1. HHT是用于過程采樣、可描述和仿真非平穩(wěn)過程的一種非線性分析新方法。它通過EMD經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓瑢⑿盘柗纸獬捎邢迋€數(shù)的
I
M
F
IMF
IMF信號，并對每個
I
M
F
IMF
IMF信號進(jìn)行Hilert變換，就可以獲得有意義的瞬時功率，從而給出頻率變化的精確表達(dá)。
HHT自適應(yīng)的利用了信號的局部信息，從而獲得信號某一時刻的順勢狀態(tài)。
\quad
2. 對于HHT方法，它由 EMD 分解和 Hilbert 變換兩部分構(gòu)成，核心 是 EMD分解。EMD方法可以提取信號的瞬時頻率和瞬時能量參數(shù)，這是實現(xiàn)信號瞬時分析的有效方法。
\quad
3. 接下來我將分別介紹HHT對于實現(xiàn)對信號瞬時分析的分析框圖和EMD經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸獾幕驹怼?/em>
3.3 HHT對信號分析的框圖
3.4 EMD經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸獾幕驹?/h2>
\qquad
為了得到有意義的瞬時頻率，黃鍔等人提出了在物理上得到一個有意義的瞬時頻率的必要條件是：
\qquad
函數(shù)對稱于局部零均值且有相同的極值和過零點。并且根據(jù)這些條件進(jìn)一步定義了滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為固有模態(tài)函數(shù)（
I
M
F
IMF
IMF）,且這類函數(shù)的任一點都存在一個有意義的瞬時頻率：
1. 信號上任意一點，由局部極大值點確定的包絡(luò)線與由局部極小值點確定的包絡(luò)線的平均值都為0，也就是說信號關(guān)于時間軸局部對稱。
2. 在整個離散信號序列中，極值點的個數(shù)與過零點的個數(shù)相等或最多相差1。
\qquad
以上圖來說，數(shù)字從1-5中，有三個過零點，分別為1，2，5；有兩個極值點，分別為極大值點3和極小值點4。按照上邊的約定我們發(fā)現(xiàn)零點個數(shù)減去極值點個數(shù)為3-2=1，正好符合上邊的極值點的個數(shù)與過零點的個數(shù)相等或最多相差1。并且條件1也滿足。所以我們可以說，數(shù)字1-5所包含的信號則可以被認(rèn)為成一個周期。
I
M
F
IMF
IMF存 在有意義的瞬時頻率，可通過 對該分離出來的周期信號進(jìn)行Hilbert 變換求得IMF。
\qquad
由于 EMD 分解的分解基來自原信號本身，因此它具有自適應(yīng)性，而不象傅里葉變換那樣把信號分解為固定的正弦或余弦函數(shù)之和的形式。由此可見，EMD 分解法是一種基于信號本身的時間尺度特征的時域處理方法，它 把復(fù)雜的信號分解為不同尺度特征的本征模態(tài)函數(shù)(
I
M
F
IMF
IMF)之和的形式，并且每個模函數(shù)分量上任一點都存在有意義的瞬時頻率(通過 Hilbert 變換可求出)。
EMD過程的具體算法如下：
\qquad
對一原始信號
X
(
t
)
X(t)
X(t),首先要找出
X
(
t
)
X(t)
X(t)上所有的極值點，然后用三次樣條函數(shù)曲線對所有的極大值點進(jìn)行插值，從而擬合出原始信號
X
(
t
)
X(t)
X(t)上的包絡(luò)線
X
m
a
x
(
t
)
X_{max}(t)
Xmax(t),同理得到下包絡(luò)線
X
m
i
n
(
t
)
X_{min}(t)
Xmin(t)。上、下兩條包絡(luò)線包含了所有的信號數(shù)據(jù)。按順序連接上、下兩條包絡(luò)線的均值即可得到一條均值線
m
1
(
t
)
m_1(t)
m
1(t):
m
1
(
t
)
=
X
m
a
x
(
t
)
+
X
m
i
n
(
t
)
2
m_1(t)=\frac{X_{max}(t)+X_{min}(t)}{2}
m
1(t)
=
2Xmax(t)+Xmin(t) 再用
X
(
t
)
X(t)
X(t)減去
m
1
(
t
)
m_1(t)
m
1(t)得到
h
1
(
t
)
h_1(t)
h
1(t)：
h
1
(
t
)
=
X
(
t
)
?
m
1
(
t
)
h_1(t)=X(t)-m_1(t)
h
1(t)
=
X(t)
?
m
1(t)
\qquad
對于不同的信號，
h
1
(
t
)
h_1(t)
h
1(t)可能是一個
I
M
F
IMF
IMF分量，也可能不是，一般來說它并不滿足
I
M
F
IMF
IMF所需的條件，此時將
h
1
(
t
)
h_1(t)
h
1(t)當(dāng)作原信號，重復(fù)上述步驟，則有：
h
1
k
(
t
)
=
h
1
(
k
?
1
)
(
t
)
?
m
1
(
k
?
1
)
(
t
)
h_{1k}(t)=h_{1{(k-1)}}(t)-m_{1(k-1)}(t)
h
1k(t)
=
h
1(k?1)(t)
?
m
1(k?1)(t)
\qquad
對于
h
1
k
h_{1k}
h
1k是不是一個
I
M
F
IMF
IMF分量，我們必須要有一個篩選過程終止的原則，它可以利用兩個連續(xù)的處理結(jié)果之間的標(biāo)準(zhǔn)差SD作為判斷依據(jù)：
S
D
=
∑
t
=
0
T
∣
∣
h
1
(
k
?
1
)
(
t
)
?
h
1
k
(
t
)
∣
2
h
1
(
k
?
1
)
2
(
t
)
∣
SD=\sum_{t=0}^T\mid{\frac{{|h_{1(k-1)}(t)-h_{1k}(t)|}^2}{h_{1(k-1)}^2(t)}}\mid
SD=
t=0∑T∣
h1(k?1)2(t)∣h1(k?1)(t)?h1k(t)∣2∣
\qquad
決定篩選過程是否終止，SD取值一定要謹(jǐn)慎，既要避免過于嚴(yán)格的準(zhǔn)則，以導(dǎo)致
I
M
F
IMF
IMF分量變成純粹的頻率調(diào)制信號，造成幅值恒定；又要避免過于寬松的準(zhǔn)則，從而產(chǎn)生與要求的IMF分量相差太遠(yuǎn)的分量。實際過程中可以通過對信號反復(fù)用篩選過程而取不同的SD值來最終確定，經(jīng)驗表明，SD值取
0.2-0.3時為宜。這樣既可以保證
I
M
F
IMF
IMF的線性和穩(wěn)定性，又可以IMF具有相應(yīng)的物理意義。
當(dāng)
h
1
k
(
t
)
h_{1k}(t)
h
1k(t)滿足SD的值要求時，則稱
h
1
k
(
t
)
h_{1k}(t)
h
1k(t)為第一階IMF,記為
c
1
(
t
)
c_1(t)
c
1(t):
c
1
(
t
)
=
h
1
k
(
t
)
c_1(t)=h_{1k}(t)
c
1(t)
=
h
1k(t)
從原信號
X
(
t
)
X(t)
X(t)中減去
c
1
(
t
)
c_1(t)
c
1(t)得到剩余信號，即殘差
r
1
(
t
)
r_1(t)
r1(t)：
r
1
(
t
)
=
X
(
t
)
?
c
1
(
t
)
r_1(t)=X(t)-c_1(t)
r1(t)
=
X(t)
?
c
1(t)
\qquad
然后將
r
1
(
t
)
r_1(t)
r1(t)看作一組新的“原信號”，重復(fù)上述的模態(tài)分解過程，這樣經(jīng)過多次運算即可得到全部的殘差
r
i
(
t
)
r_i(t)
ri(t):
r
i
(
t
)
=
r
i
?
1
(
t
)
?
c
i
(
t
)
i
=
2
,
3
,
4...
n
r_i(t)=r_{i-1}(t)-c_i(t)\qquad\qquad{i=2,3,4...n}
ri(t)
=
ri?1(t)
?
c
i(t)
i
=
2,
3,
4...n
當(dāng)
r
i
(
t
)
(
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
n
)
r_i(t)\quad({i=1,2,3,...n)}
ri(t)
(i
=
1,
2,
3,
...n)滿足條件:
\qquad
\qquad
1.
c
n
(
t
)
c_n(t)
cn(t)或
r
n
(
t
)
r_n(t)
rn(t)小于預(yù)定的誤差；
\qquad
\qquad
2.殘差
r
n
(
t
)
r_n(t)
rn(t)成為一單調(diào)函數(shù)，即不能再從中提取出IMF分量時 滿足以上
兩條件之一的，就可以終止模態(tài)分解過程。
\qquad
應(yīng)該注意的是，該條件的選取也應(yīng)該適中，若條件太嚴(yán)格，則得到的最后幾個
I
M
F
IMF
IMF分量沒有太大意義，并且還消耗時間；若條件太松，則會丟失有用信號分量。具體終止條件的選取可以通過對信號的反復(fù)分解并依據(jù)對于原始信號的知識來最終確定。因為我們只是對原始信號
X
(
t
)
X(t)
X(t)進(jìn)行拆解，而從未拋棄原始信號的數(shù)據(jù)。因此我們可以通過累加的形式再次復(fù)原出我們的原始信號
X
(
t
)
X(t)
X(t),它可由n階
I
M
F
IMF
IMF分量以及殘差構(gòu)成：
X
(
t
)
=
(
∑
i
=
1
n
c
i
(
t
)
)
+
r
n
(
t
)
X(t)=(\sum_{i=1}^nc_i(t))+r_n(t)
X(t)
=
(
i=1∑nc
i(t))
+
rn(t)
\qquad
最后得到的頻率成分從高到低的一系列本征模態(tài)分量(
I
M
F
IMF
IMF)以及最后的殘留分量。由于每個IMF分量代表一組時間特征尺度的數(shù)據(jù)序列，并且以不同的分辨率顯示信號特征，所以整個分解過程實際上是將原始信號分解為各個不同時間特征尺度波動的疊加。致謝
此次博客內(nèi)容的書寫，主要是在聽取了昨日的昆明理工大學(xué)信自學(xué)院的劉增力教授的關(guān)于傅里葉變換、小波變換以及HHT變換講座的內(nèi)容，在課后我就將聽到的以及理解的東西發(fā)到了博客上,做一下講座報告的記錄吧。如果博客中我理解的有什么偏差甚至是錯誤的地方，還請各位大佬指正，在這里小kingback先行謝謝大家了。
