信號與系統(tǒng)的分析方法有兩種：時域分析方法和頻域分析方法。
在連續(xù)時間信號與系統(tǒng)中，信號一般用連續(xù)變量時間t 的函數(shù)表示，系統(tǒng)用微分方程描述，其頻域分析方法是拉普拉斯變換和傅立葉變換。在時域離散信號與系統(tǒng)中，信號用序列表示，其自變量僅取整數(shù)，非整數(shù)時無定義，系統(tǒng)則用差分方程描述，頻域分析方法是Z變換和序列傅立葉變換法。
Z變換在離散時間系統(tǒng)中的作用就如同拉普拉斯變換在連續(xù)時間系統(tǒng)中的作用一樣，它把描述離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)方程，使其求解大大簡化。因此，對求解離散時間系統(tǒng)而言，Z變換是一個極重要的數(shù)學(xué)工具。
2．2 序列的傅立葉變換（離散時間傅立葉變換）
一、序列傅立葉變換：
正變換：DTFT[x(n)]= （2.2.1）
反變換：DTFT-1
式（2.2.1）級數(shù)收斂條件為
||=
(2.2.2)
上式稱為x(n)絕對可和。這也是DTFT存在的充分必要條件。當(dāng)遇到一些絕對不可和的序列，例如周期序列，其DTFT可用沖激函數(shù)的形式表示出來。
二、序列傅立葉變換的基本性質(zhì)：
1、 DTFT的周期性
，是頻率w的周期函數(shù)，周期為2p。
∵ = 。
問題1：設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的DTFT。
==
==
設(shè)N為4，畫出幅度與相位曲線。
2、 線性
設(shè)=DTFT[x1(n)]，=DTFT[x2(n)]，
則：DTFT[a x1(n)+b x2(n)]
= = a+b
3、 序列的移位和頻移
設(shè) = DTFT[x(n)]，
則：DTFT[x(n-n0)] =
=
DTFT[x(n)] =
= =
4、 DTFT的對稱性
共軛對稱序列的定義：設(shè)序列滿足下式
則稱為共軛對稱序列。
共軛對稱序列的性質(zhì)：
共軛對稱序列的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)
證明：=+j（實部加虛部）
∵
∴+j=-j
∴=（偶函數(shù)）
∴=－（奇函數(shù)）
一般情況下，共軛對稱序列用表示：
共軛反對稱序列的定義：設(shè)序列滿足下式
則稱為共軛反對稱序列。
共軛反對稱序列的性質(zhì)：
共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)
證明：=+j（實部加虛部）
∵
∴+j=+j
∴=（奇函數(shù)）
∴=（偶函數(shù)）
一般情況下，用來表示
一個序列可用共軛對稱序列與共軛反對稱序列之和表示。即：
x(n)= + (2.2.16)
問題1： =？
=+
=－
∴= － (2.2.17)
=(+)
=(－)
對于頻域函數(shù)，也可分解成共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和：
式中，是共軛對稱分量，是共軛反對稱分量，它們滿足：
=，=
且：
：共軛對稱分量，它的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)；：共軛反對稱分量，它的實部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。
下面研究DTFT的對稱性，按下面兩部分進(jìn)行分析
a） 將序列x(n)分成實部與虛部，即：
=+j（、都是實數(shù)序列）
則：
式中：=DTFT[]=，
=DTFT[j]=j。
結(jié)論：序列分成實部與虛部兩部分，實部對應(yīng)于中的，虛部和j一起對應(yīng)于中的。
b） 將序列分成共軛對稱部分和共軛反對稱部分，x(n)= +
∵=(+)
=(－)
將上面兩式分別進(jìn)行DTFT，得到：
DTFT[]=(+)=Re[]=
DTFT[]=()=jIm[]=j
∴=+j
x(n)= +
結(jié)論：序列的共軛對稱部分對應(yīng)于的實部，而序列的共軛反對稱部分對應(yīng)于的虛部加j。
應(yīng)用：利用DTFT的對稱性討論當(dāng)h(n)是實序列時，其DTFT的特性。
∵h(n)是實序列，所以它所對應(yīng)的DTFT：=，具有共軛對稱性，的實部偶對稱，虛部奇對稱。
5、 時域卷積定理
設(shè) y(n)=x(n)*h(n)
則：=×= (2.2.32)
證明：y(n)= x(n)*h(n)=
=DTFT[y(n)]
= =
=
=
=
6、 頻域卷積定理
設(shè)y(n) = x(n) h(n)
則=*=
=
證明：==
=
=
=
=*
7、 Parseval(帕斯維爾)（帕塞瓦爾）定理
= (2.2.34)
證明：
==
=
=
=
2．5 Z變換的定義與收斂域
一、 Z變換的定義
若序列為x(n)，則冪級數(shù)
（2.5.1）
稱為序列x(n)的Z變換，也稱為雙邊Z變換。式中z為復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為z平面。亦可將x(n)的Z變換表示為
ZT[x(n)] = X(z)
二、Z變換的收斂域
我們知道，是一冪級數(shù)，只有收斂時Z變換才有意義。X(z)收斂的條件是：
(2.5.3)
X(z)能夠收斂的z取值集合稱為X(z)的收斂域。
一般收斂域用環(huán)狀域表示。即：
∴Z變換的公式
（2.5.1）
常見的Z變換是一個有理函數(shù)，表示為：
分子多項式的根是的零點，分母多項式的根是的極點。在極點處Z變換不存在。因此收斂域中沒有極點，收斂域總是用極點限定其邊界。
1、 有限長序列Z變換的收斂域
有限長序列是指在有限區(qū)間n1≤n≤n2之間序列具有非零的有限值，在此區(qū)間外，序列值皆為零。有限長序列Z變換為，所以收斂域為
0<|z|<∞。
如n1≥0，收斂域為0<|z|≤∞。
如n2≤0，收斂域為0≤|z|<∞。
2、 右邊序列Z變換的收斂域
右邊序列是指在n≥n1時，x(n)有值，在n＜n1時， x(n)=0。其Z變換為
此式右端第一項為有限長序列的Z變換，它的收斂域為0≤|z|<∞，而第二項是z的負(fù)冪級數(shù)，它的收斂域為。綜合此兩項，只有兩項都收斂時級數(shù)才收斂。所以右邊序列Z變換的收斂域為。
因果序列是最重要的一種右邊序列，即n1=0的右邊序列。收斂域為（也可以寫成），所以，|z|=∞處Z變換收斂是因果序列的特征。
3、 左邊序列Z變換的收斂域
左邊序列是指在n≤n2時，x(n)有值，n＞n2時，x(n)=0。其Z變換為
此式第二項是有限長序列的Z變換，收斂域為0<|z|≤∞，第一項是正冪級數(shù)，收斂域為0≤|z|<Rx+。綜合此兩項，只有兩項都收斂時級數(shù)才收斂，所以左邊序列Z變換的收斂域為0<|z|<Rx+。
4、 雙邊序列Z變換的收斂域
這類序列是指n為任意值時x(n)皆有值的序列。雙邊序列的收斂域為
問題1：求序列x(n)= RN(n)的Z變換及收斂域，并畫出收斂域。
解：X(z)==。因為這是有限長序列，所以收斂域為0<|z|≤∞。
思考：RN(n)的DTFT存在嗎？
問題2：x(n)=anu(n)，求其Z變換及收斂域，并畫出收斂域。
解：這是右邊序列，且是因果序列，其Z變換為X(z)=。收斂域為（或?qū)懗?/span>）
思考：anu(n)的DTFT存在嗎？
問題3：x(n)=-anu(-n-1)，求其Z變換及收斂域，并畫出收斂域。
解：這是一個左邊序列。其Z變換為
，
收斂域為0≤|z|<|a|（或?qū)懗?/span>|z|<|a|）。
思考：-anu(-n-1)的DTFT存在嗎？
結(jié)論：當(dāng)Z變換的收斂域中包含單位圓時，用Z變換可求出DTFT。
= （2.5.4）
上式稱為單位圓上的Z變換就是離散時間傅立葉變換。
回顧：觀察零極點。
結(jié)論：零點可以在復(fù)平面的任意處，但極點在收斂域的邊緣或收斂域的外面。
2.5.3 Z反變換
已知序列的Z變換及其收斂域，求序列稱為Z反變換。表示為x(n)=ZT-1[X(z)]
其中，c是X(z)收斂域中一條逆時針的閉合曲線。
求Z反變換的方法通常有三種：圍線積分法（留數(shù)法）、部分分式展開法和長除法。
一、 圍線積分法（留數(shù)法）
直接計算圍線積分比較麻煩，一般都采用留數(shù)定理來求解。按留數(shù)定理，若函數(shù)F(z)=X(z)zn-1在圍線c上連續(xù)，在c以內(nèi)有K個極點zk，則有
（2.5.6）
設(shè)zr是X(z)zn-1的單極點，則根據(jù)留數(shù)定理：
如果zk是L階極點，則根據(jù)留數(shù)定理，
（2.5.8）
(2.5.8)表明，對于L階極點，需要求L-1次導(dǎo)數(shù)，這是比較麻煩的。如果c內(nèi)有多階極點，而c外沒有多階極點時，可根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外所有極點之和，使問題簡單化。
若函數(shù)F(z)=X(z)zn-1在圍線c上連續(xù)，在c以內(nèi)有K個極點zk，而在c以外有M個極點zm，（K，M為有限值）?，F(xiàn)在c內(nèi)有多階極點，而c外沒有多階極點，根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外所有極點之和。得：
（2.5.9） （2.5.9）應(yīng)用條件是X(z)zn-1在z=∞有兩階或二階以上零點，即要分母多項式z的階次比分子多項式z的階次高二階或二階以上。
問題1：已知X(z)=z2/[(4-z)(z-1/4)]，1/4<|z|<4，
解： c ，c為X(z)的收斂域
內(nèi)的閉合圍線，畫出收斂域及c。
X(z)zn-1=?，F(xiàn)在來看極點在圍線c內(nèi)部及外部的分布情況及極點階數(shù)。
當(dāng)時，函數(shù)在圍線c內(nèi)只有z=1/4處一個一階極點，
=，
當(dāng)時，函數(shù) 在圍線外部只有一個一階極點z=4，而在圍線的內(nèi)部則有z=1/4處一階極點及z=0處一（n+1）階極點，所以采用圍線外部的極點較方便。
=，
∴
問題2：已知X(z)=z2/[(4-z)(z-1/4)]， |z|>4，
求Z反變換。
內(nèi)的閉合圍線。
X(z)zn-1=。現(xiàn)在來看在圍c內(nèi)部及外部的分布情況及極點階數(shù)。
當(dāng)時，
函數(shù)在圍線c內(nèi)z=1/4處有一個一階極點，z=4處有一個一階極點，
+
=，
當(dāng)n=-1時，x(n)=0，∴x(n)= ，
當(dāng)時，函數(shù) 在圍線外部沒有一個極點，所以采用圍線外部的極點較方便。由于圍線外部沒有一個極點，∴x(n)=0。
∴x(n)= （）u(n)
二、 部分分式展開法
對于大多數(shù)單極點的序列，常常用這種部分分式展開法求Z反變換。
X(z)=B(z)/A(z)= X1(z)+ X2(z)+…+ XK(z)，則
= ZT-1[X1(z)]+ ZT-1 [ X2(z)]+…+ ZT-1 [XK(z)]
ZT-1[X1(z)]、ZT-1 [ X2(z)]、…ZT-1 [XK(z)]可從Z變換表中直接查表得出
問題1：設(shè)X(z)=z2/[(z-2)(z-0.5)]，|z|>2，
求Z反變換。
解：X(z) =z2/[(z-2)(z-0.5)]
A1=，A2=
∴，
∵收斂域為|z|>2，∴x(n)=
三、 冪級數(shù)展開法
因為的Z變換定義為z-1的冪級數(shù)，即
所以只要在給定得收斂域內(nèi)，把X(z)展成冪級數(shù)，則級數(shù)的系數(shù)就是序列。
當(dāng)X(z)的收斂域為|z|>Rx-時，則必為因果序列，此時應(yīng)將X(z)展成z的負(fù)冪級數(shù)，為此，X(z)的分子分母應(yīng)按z的降冪排列；
當(dāng)X(z)的收斂域為|z|<Rx-時，則必為左邊序列， X(z)的分子分母應(yīng)按z的升冪排列；
問題1：已知，|z|>3
解：因為收斂域|z|>3，所以這是因果序列，因此，X(z)分子分母按z的降冪排列。
進(jìn)行長除
2.5.4 Z變換的基本性質(zhì)和定理
一、 線性
線性就是要滿足比例性和可加性。若
X(z) = ZT [x(n) ]，
Y(z) = ZT [y(n) ]，
則ZT [ax(n)+by(n)]=a X(z)+b Y(z)，
，。
二、 序列的移位
若X(z) = ZT [x(n) ]，
則有ZT [x(n-m) ] =z-mX(z)，
三、 乘以指數(shù)序列
若X(z) = ZT [x(n) ]，
則ZT [anx(n) ]=X()，
四、 序列乘以n
若X(z) = ZT [x(n) ]，
則ZT [n x(n) ]=－z，
五、 復(fù)序列取共扼
一個復(fù)序列x(n)的共扼序列為x*(n)
若ZT [x(n) ] =X(z) ，
則ZT [x*(n) ] =X*(z*) ，
六、 翻轉(zhuǎn)序列
若ZT [x(n) ] =X(z) ，
則ZT [x(－n) ] =X() ，
七、 （因果序列）初值定理
對于因果序列x(n)，即x(n)=0，n<0，ZT[x(n) ] =X(z)有
八、 （因果序列）終值定理
設(shè)x(n)為因果序列，且X(z) = ZT [x(n) ]的極點處于單位圓|z|=1以內(nèi)（單位圓上最多在z=1處可有一階極點），則
九、 序列的卷積和（時域卷積和定理）
設(shè)y(n)為x(n)與h(n)的卷積和
y(n)= x(n)*h(n)=
X(z) = ZT [x(n) ]，
H(z) = ZT [h(n) ]，
則Y(z) = ZT [y(n) ]= X(z) H(z)，
十、 序列相乘（z域卷積定理）
若y(n)= x(n)·h(n)，且
X(z) = ZT [x(n) ]，
H(z) = ZT [h(n) ]，
則Y(z) = ZT [y(n) ]= ZT [x(n)·h(n)]
=，
其中c是v平面上，與H(v)的公共收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的一條反時針旋轉(zhuǎn)的單封閉圍線。
v平面收斂域為
或Y(z) = ZT [y(n) ]= ZT [x(n)·h(n)]
=，
其中c是v平面上，與X(v)的公共收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的一條反時針旋轉(zhuǎn)的單封閉圍線。
v平面收斂域為
十一、 帕斯維爾(Parseval)定理
若X(z) = ZT [x(n) ]，
H(z) = ZT [h(n) ]，
且
則
v平面上，c所在的收斂域為
證明：Y(z) = ZT [x(n)·h*(n)]
=
=，
因為，所以z=1在收斂域中。令z=1代入上式，
=
v平面上，c所在的收斂域為
如果X(z)，H(z)在單位圓上都收斂，則c可取為單位圓，即，則
如果h(n)=x(n)，則進(jìn)一步有。
2.5.5 利用Z變換解差分方程
在第一章中介紹了差分方程的遞推解法，下面介紹Z變換解法。這種方法將差分方程變成了代數(shù)方程，使求解過程簡單
設(shè)N階線性常系數(shù)差分方程為
(2.5.30)
一、 求及
對(2.5.30)求雙邊Z變換：
=
=/=， h(n)= ZT-1[]
=， y(n)= ZT-1[]
2.6 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)
信號和系統(tǒng)的頻率特性一般用序列的傅立葉變換和Z變換進(jìn)行分析。
一、 傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)
設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸出端對輸入為單位抽樣序列d(n)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)。對h(n)進(jìn)行傅立葉變換得到：=，一般稱為為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率特性。
將h(n)進(jìn)行Z變換，得到，一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。
如已知系統(tǒng)的N階線性常系數(shù)差分方程，進(jìn)行雙邊Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式：
如果的收斂域包含單位圓|z|=1則，與的關(guān)系：=。即單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的傳輸函數(shù)
二、 用系統(tǒng)函數(shù)的極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性
因果（可實現(xiàn)）系統(tǒng)其單位脈沖響應(yīng)h(n)一定滿足：當(dāng)n<0時，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)的收斂域一定包含¥點。
系統(tǒng)穩(wěn)定要求，對照ZT定義，系統(tǒng)穩(wěn)定要求收斂域包含單位圓。
所以系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含¥點和單位圓，那么收斂域表示為：r<|z|≤∞，0<r<1。也就是說系統(tǒng)函數(shù)的全部極點必須在單位圓內(nèi)。
問題1：一個因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為=，其中a為實數(shù)，問：a在哪些范圍內(nèi)才能使系統(tǒng)穩(wěn)定？
解：因為系統(tǒng)因果，所以收斂域為|a|<|z|≤∞，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須要求收斂域包含單位圓，即要求|a|<1。
三、 利用系統(tǒng)的零極點分布分析系統(tǒng)的頻率特性
=
將上式因式分解，得到：
=A
式中，是的零點，是其極點。A參數(shù)影響傳輸函數(shù)的幅度大小，影響系統(tǒng)特性的是零點和極點的分布。下面采用幾何方法研究系統(tǒng)零極點分布對系統(tǒng)頻率特性的影響。
=A
設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將z=代入，得：
=A
在z平面上，-用一根由零點指向單位圓上點B的向量表示。同樣-用由極點指向點B的向量表示，如圖2.6.2。
將向量用極坐標(biāo)表示：=，=，得到：
=A=
= |A| (2.6.8)
= （N=M） (2.6.9)
當(dāng)頻率w從零變化到2p時，這些向量的終點B沿單位圓逆時針旋轉(zhuǎn)一周，按照(2.6.8)和(2.6.9)分別估算出系統(tǒng)的幅度特性和相位特性。
按照(2.6.8)知道零極點的分布后，可以很容易地確定零極點位置對系統(tǒng)特性的影響。當(dāng)B點轉(zhuǎn)到極點附近時，極點矢量長度最短因而幅度特性可能出現(xiàn)峰值，且極點愈靠近單位圓，極點矢量長度愈短，峰值愈高愈尖銳。如果極點在單位圓上，則幅度特性為¥，系統(tǒng)不穩(wěn)定。對于零點，情況相反，當(dāng)B點轉(zhuǎn)到零點附近，零點矢量長度變短，幅度特性將出現(xiàn)谷值，零點愈靠近單位圓，谷值愈接近零。當(dāng)零點處在單位圓上時，谷值為零?？偨Y(jié)以上結(jié)論：極點位置主要影響頻響的峰值位置及尖銳程度，零點位置主要影響頻響的谷點位置及形狀。
1．5 模擬信號數(shù)字處理方法
數(shù)字信號處理技術(shù)優(yōu)于模擬信號處理技術(shù)，故人們將模擬信號數(shù)字化，即經(jīng)過采樣、量化編碼最終形成數(shù)字信號。
連續(xù)時間信號變?yōu)殡x散時間信號是由“采樣”這一過程完成的。采樣是將模擬信號數(shù)字化的第一個環(huán)節(jié)。它是利用周期性抽樣脈沖序列(常用p(t)表示)從連續(xù)信號中抽取一系列的離散值來得到抽樣信號的。如下圖，根據(jù)每個脈沖寬度的不同，可將抽樣分為兩種:
理 想 抽 樣 實 際 抽 樣
我們要研究的是，信號被抽樣后其頻譜將會有什么變化？在什么條件下，可從抽樣信號中不失真地恢復(fù)原來信號xa(t)?
設(shè)：xa(t)的傅立葉變換為：，抽樣脈沖序列p(t)的傅立葉變換為：，抽樣信號的傅立葉變換為：，
∵= xa(t)p(t)，∴。
由上圖得，抽樣脈沖序列p(t)的周期為T，則抽樣頻率。則周期信號p(t)的傅立葉變換，其中。
的傅立葉變換為：
一、理想抽樣
p(t)=
=
=
∴
=
= xa(t) p(t) ， p(t)=
= xa(t) p(t)= xa(t)
==
二、抽樣定理
要想抽樣后能不失真的還原出原信號, 則抽樣頻率必須大于兩倍的信號譜最高頻率即，這就是抽樣定理。
對連續(xù)信號進(jìn)行等間隔采樣形成采樣信號，采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率為周期進(jìn)行周期性的延拓形成的。
= (1.5.5)
三、抽樣的恢復(fù)
如果滿足抽樣定理，則抽樣后不會產(chǎn)生頻譜混疊，故將通過如圖所示的理想低通濾波器，就可得到信號頻譜。
雖然理想低通濾波器是不可實現(xiàn)的，但在一定精度范圍內(nèi)可以用可實現(xiàn)的濾波器來逼近
下面討論如何由抽樣值來恢復(fù)原來的模擬信號。即通過H(jW)系統(tǒng)的響應(yīng)特性。理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為
由與h(t)的卷積積分，即得理想低通濾波器的輸出為
＝
＝
這就是內(nèi)插值公式，即由信號的抽樣值經(jīng)此公式而得到連續(xù)信號，而稱為內(nèi)插函數(shù)，如圖所示，在抽樣點mT上，函數(shù)值為1，其余抽樣點上，函數(shù)值為0。
總結(jié)：如果序列是通過對模擬信號采樣得到的，有關(guān)系：x(n)=xa(nT)，即序列值對于對模擬信號的采樣值，或者說對于采樣信號在t=nT時的幅度。
例：= sin(W t)，理想抽樣后，
x(n)= =sin(WnT)= sin(nω0)
∴ ω0= WT 數(shù)字域頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系。
ω0= WT= W/fs=2pf/fs
2. 4時域離散信號的傅立葉變換與模擬信號傅立葉變換之間的關(guān)系
連續(xù)信號的傅立葉變換及反變換公式如下：
=
理想抽樣后的抽樣信號為，
= xa(t) p(t) =
則抽樣信號的傅立葉變換
=
離散時間信號x(n)=xa(nT)，x(n)的傅立葉變換為： （2.2.1）
抽樣信號的傅立葉變換與有什么關(guān)系？
可以證明，也可寫成：
=，對照
= ，都是以周期進(jìn)行周期延拓。
畫時，以w為橫軸，以周期進(jìn)行周期延拓。
畫時，以W為橫軸，以周期進(jìn)行周期延拓。
坐標(biāo)軸之間的對應(yīng)關(guān)系如下圖所示。
在一些文獻(xiàn)中經(jīng)常使用歸一化頻率，因為，和都是無量綱量，刻度是一樣的。
所以數(shù)字頻率0、2p處是低頻，p附近代表高頻。
當(dāng)抽樣頻率是信號最高頻率4倍時，最高頻率所對應(yīng)的數(shù)字頻率為。
