在向量微積分中，雅可比矩陣是一階偏導數(shù)以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。
還有，在代數(shù)幾何中，代數(shù)曲線的雅可比量表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個代數(shù)群，曲線可以嵌入其中。
它們?nèi)慷家?a title="數(shù)學家" >數(shù)學家卡爾·雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以發(fā)音為[ja ?ko bi ?n]或者[?? ?ko bi ?n]。
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雅可比矩陣的重要性在于它體現(xiàn)了一個可微方程與給出點的最優(yōu)線性逼近。因此，雅可比矩陣類似于多元函數(shù)的導數(shù)。
假設F:Rn→Rm 是一個從歐式n維空間轉(zhuǎn)換到歐式m維空間的函數(shù)。這個函數(shù)由m個實函數(shù)組成: y1(x1,...,xn), ..., ym(x1,...,xn). 這些函數(shù)的偏導數(shù)(如果存在)可以組成一個m行n列的矩陣，這就是所謂的雅可比矩陣：
此矩陣表示為：
這個矩陣的第i行是由梯度函數(shù)的轉(zhuǎn)置yi(i=1,...,m)表示的
如果p是Rn中的一點，F在p點可微分，那么在這一點的導數(shù)由JF(p)給出(這是求該點導數(shù)最簡便的方法)。在此情況下，由F(p)描述的線性算子即接近點p的F的最優(yōu)線性逼近，x逼近與p
由球坐標系到直角坐標系的轉(zhuǎn)化由F函數(shù)給出:R × [0,π] × [0,2π] → R3
此坐標變換的雅可比矩陣是
R4的f函數(shù):
其雅可比矩陣為:
此例子說明雅可比矩陣不一定為方矩陣。
考慮形為x' = F(x)的動力系統(tǒng)，F : Rn → Rn。如果F(x0) = 0，那么x0是一個駐點。系統(tǒng)接近駐點時的表現(xiàn)通?？梢詮?em>JF(x0)的特征值來決定。
如果m = n，那么F是從n維空間到n維空間的函數(shù)，且它的雅可比矩陣是一個方塊矩陣。于是我們可以取它的行列式，稱為雅可比行列式。
在某個給定點的雅可比行列式提供了F在接近該點時的表現(xiàn)的重要信息。例如，如果連續(xù)可微函數(shù)F在p點的雅可比行列式不是零，那么它在該點附近具有反函數(shù)。這稱為反函數(shù)定理。更進一步，如果p點的雅可比行列式是正數(shù)，則F在p點的取向不變；如果是負數(shù)，則F的取向相反。而從雅可比行列式的絕對值，就可以知道函數(shù)F在p點的縮放因子；這就是為什么它出現(xiàn)在換元積分法中。
設有函數(shù)F : R3 → R3，其分量為：
則它的雅可比行列式為：
從中我們可以看到，當x1和x2同號時，F的取向相反；該函數(shù)處處具有反函數(shù)，除了在x1 = 0和x2 = 0時以外。
