克利福德代數(shù)（Clifford algebra），又稱幾何代數(shù)（Geometric algebra），是綜合了內(nèi)積和外積兩種運(yùn)算，在幾何和物理中在很多應(yīng)用的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。克利福德代數(shù)是復(fù)數(shù)、四元數(shù)和外代數(shù)的推廣。它的主要貢獻(xiàn)者有：Hamilton（四元數(shù)），Grassmann（外代數(shù)），Clifford，Hestenes等等。Hestenes是克利福德代數(shù)的發(fā)揚(yáng)光大者，Hestenes的主要著作有：《Space-time algebra》，在這本書中，Clifford algebra被引入到狹義相對(duì)論中。《Clifford Algebra to Geometric Calculus》，在這本書中，Clifford algebra結(jié)合了微積分，成為更強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具。《New Foundations for Classical Mechanics》，在這本書中，經(jīng)典物理學(xué)被Clifford algebra這種數(shù)學(xué)語言重新書寫。還有一些將Clifford algebra應(yīng)用于廣義相對(duì)論、量子力學(xué)、量子場(chǎng)論、射影幾何、微分幾何、共形幾何等等中的著作。
共形幾何代數(shù)——幾何代數(shù)的新理論和計(jì)算框架
共形幾何代數(shù)是一個(gè)新的幾何表示和計(jì)算工具.作為幾何的高級(jí)不變量和協(xié)變量系統(tǒng)的結(jié)合,它為經(jīng)典幾何提供了統(tǒng)一和簡(jiǎn)潔的齊性代數(shù)框架,以及高效的展開、消元和化簡(jiǎn)算法,從而可以進(jìn)行極其復(fù)雜的符號(hào)幾何計(jì)算,在幾何建模與計(jì)算方面表現(xiàn)出很大的優(yōu)勢(shì).主要講述共形幾何代數(shù)的產(chǎn)生背景和意義,共形幾何代數(shù)的數(shù)學(xué)理論和它最有特色的幾個(gè)部分,包括Grassmann結(jié)構(gòu)、統(tǒng)一幾何表示和旋量作用、基本不變量系統(tǒng)和高級(jí)不變量系統(tǒng)、新的計(jì)算思想、展開和化簡(jiǎn)技術(shù)等.
題 目: 幾何代數(shù)和幾何計(jì)算
主 講 人: 石赫教授
主講人介紹: 石赫，中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)機(jī)械化。
論壇/講座介紹: 共形幾何代數(shù)是一個(gè)新的幾何表示和計(jì)算工具，作為幾何的高級(jí)不變量和協(xié)變量系統(tǒng)的結(jié)合，它為經(jīng)典幾何提供了統(tǒng)一和簡(jiǎn)潔的齊性代數(shù)框架，以及高效的展開、消元和化簡(jiǎn)算法，從而可以進(jìn)行復(fù)雜的符號(hào)幾何計(jì)算，在幾何建模與計(jì)算方面表現(xiàn)出很大的優(yōu)勢(shì)。
本次報(bào)告概括介紹共形幾何代數(shù)，主要講述共形幾何代數(shù)的產(chǎn)生背景和意義，它的數(shù)學(xué)理論和計(jì)算思想等。
共形幾何代數(shù)和零括號(hào)代數(shù)
完成人：李洪波
李洪波主創(chuàng)(第一作者)了共形幾何代數(shù), 建立了零括號(hào)代數(shù), 不僅為經(jīng)典幾何提供了一個(gè)統(tǒng)一的高級(jí)不變量和協(xié)變量表示系統(tǒng), 而且建立了相應(yīng)代數(shù)的高效計(jì)算方法, 現(xiàn)已成為國際幾何代數(shù)研究的主流，獲得高度重視和廣泛應(yīng)用。自2001年問世以來，除作者本人外，已有100余篇研究和應(yīng)用共形幾何代數(shù)的文章, 文[1]被53篇國外文章引用, 共形幾何代數(shù)還在若干重要的國際會(huì)議作為專題講座被介紹。
國外專家在其論文中, 稱贊共形幾何代數(shù)和零括號(hào)代數(shù)是幾何代數(shù)領(lǐng)域的"突破(breakthrough)", 一項(xiàng)"先驅(qū)性的工作(pioneering work)", 一個(gè)"重要的研究方向(highly significant research direction)", 是"迄今為止從幾何代數(shù)中產(chǎn)生的最強(qiáng)大的新技術(shù)(the most powerful new te chnique), 目前依然朝氣蓬勃地在發(fā)展, 每個(gè)月都有新的工具從中被發(fā)現(xiàn)"。目前該項(xiàng)技術(shù)正在被美國、英國、德國、意大利、加拿大、日本、瑞典、墨西哥、新西蘭、荷蘭、西班牙、羅馬尼亞、中國等國的學(xué)者應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)視覺、動(dòng)畫等高技術(shù)領(lǐng)域，以及數(shù)學(xué)機(jī)械化、理論物理、宇宙學(xué)、教育學(xué)等基礎(chǔ)研究領(lǐng)域。
Clifford 代數(shù),幾何計(jì)算和幾何推理
作 者： 李洪波
作者單位：中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院,數(shù)學(xué)機(jī)械化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京,100080,中國
刊 名： 數(shù)學(xué)進(jìn)展
英文刊名： ADVANCES IN MATHEMATICS
年，卷(期)： 2003 32(4)
分類號(hào)： O151.24 O18
Clifford代數(shù)是一種深深根植于幾何學(xué)之中的代數(shù)系統(tǒng),被它的創(chuàng)始人稱為幾何代數(shù).歷史上,E.Cartan,R.Brauer,H.Weyl,C.Chevalley等數(shù)學(xué)大師都曾研究和應(yīng)用過Clifford代數(shù),對(duì)它的發(fā)展起了重要作用.近年來,Clifford代數(shù)在微分幾何、理論物理、經(jīng)典分析等方面取得了輝煌的成就,是現(xiàn)代理論數(shù)學(xué)和物理的一個(gè)核心工具,并在現(xiàn)代科技的各個(gè)領(lǐng)域,如機(jī)器人學(xué)、信號(hào)處理、計(jì)算機(jī)視覺、計(jì)算生物學(xué)、量子計(jì)算等方面有廣泛的應(yīng)用.本文主要介紹Clifford代數(shù)在幾何計(jì)算和幾何推理中的應(yīng)用.作為一種優(yōu)秀的描述和計(jì)算幾何問題的代數(shù)語言,Clifford代數(shù)對(duì)于幾何體,幾何關(guān)系和幾何變換有不依賴于坐標(biāo)的、易于計(jì)算的多種表示,因而應(yīng)用它進(jìn)行幾何自動(dòng)推理,不僅使困難定理的證明往往變得極為簡(jiǎn)單,而且能夠解決一些著名的公開問題.目前在國際上,幾何自動(dòng)推理已經(jīng)成為Clifford代數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用領(lǐng)域.
克利福德代數(shù)（Clifford algebra），又稱幾何代數(shù)（Geometric algebra），是綜合了內(nèi)積和外積兩種運(yùn)算，在幾何和物理中在很多應(yīng)用的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。它的主要貢獻(xiàn)者有：Hamilton（四元數(shù)），Grassmann（外代數(shù)），Clifford，Hestenes等等?？死５麓鷶?shù)是復(fù)數(shù)、四元數(shù)和外代數(shù)的推廣。之所以又被稱為Geometric algebra，是因?yàn)镃lifford algebra在幾何和物理上有很好的應(yīng)用，而且物理有幾何化的趨勢(shì)，廣義相對(duì)論就被認(rèn)為是幾何化的物理理論。Hestenes是克利福德代數(shù)的發(fā)揚(yáng)光大者，Hestenes的主要著作有： 《Space-time algebra》，在這本書中，Clifford algebra被引入到狹義相對(duì)論中?！ 禢ew Foundations for Mathematical Physics》，在這本書中，經(jīng)典物理學(xué)被Clifford algebra這種數(shù)學(xué)語言重新書寫?！禨pacetime calculus for gravitation theory》，Clifford algebra也能應(yīng)用廣義相對(duì)論中去?！禥uantum Mechanics from Self-Interaction》，將Clifford algebra應(yīng)用到量子力學(xué)中的著作之一?！ ∵€有一些將Clifford algebra應(yīng)用于射影幾何、微分幾何、共形幾何等等中的著作。德國數(shù)學(xué)家，語言學(xué)家 ，社會(huì)活動(dòng)家。1809年4月15日生于普魯士波美拉尼亞省的海港城市斯德?。ń袷睬星?，屬波蘭），1877年9月26日卒于同地 。早年曾在柏林大學(xué)研習(xí)神學(xué)、古典語言文學(xué)，1830年開始研究數(shù)學(xué)和物理學(xué)。1832年提出一種新的幾何理論，從而使J.-L.拉 格朗日的《分析力學(xué)》（1788）一書的數(shù)學(xué) 論證得到簡(jiǎn)化，并對(duì)P.-S.拉普拉斯的《天體力學(xué)》中有關(guān)潮汐的部分給以獨(dú)特的推導(dǎo)。他建立了格拉斯曼代數(shù)和格拉斯曼流形的結(jié)構(gòu)，以及在現(xiàn)代分析和微分幾何中占據(jù)重要地位的外微分形式的計(jì)算，此外，還發(fā)展了一種“代數(shù)乘法”的運(yùn)算，從而產(chǎn)生了現(xiàn)在稱為多項(xiàng)式環(huán)的結(jié)構(gòu)。這些成就對(duì)后來的數(shù)學(xué)發(fā)展有重大影響，然而卻超出了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們的接受能力，直到他逝世前后才受到重視，并得到應(yīng)用。
Geometric algebra (based on Clifford algebra) Geometric algebra is a very convenient representational and computational system for geometry. We firmly believe that it is going to be the way computer science deals with geometrical issues. It contains, in a fully integrated manner, linear algebra, vector calculus, differential geometry, complex numbers and quaternions as real geometric entities, and lots more. This powerful language is based in Clifford algebra. David Hestenes was the among first to realize its enormous importance for physics, where it is now finding inroads. The revolution for computer science is currently in the making, and we hope to contribute to it. We recently published an introductory book Geometric Algebra for Computer Science (Morgan Kaufmann 2007), which has its own dedicated website. http://www.science.uva.nl/ga/
The Cambridge University Geometric Algebra Research Group home page. Our group works on applications of geometric algebra in physics, computer science and engineering. http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/
Alan Macdonald,Luther College,Iowa,USA. Geometric Algebra and Foundations of Physics http://faculty.luther.edu/~macdonal/
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