幻方，也稱九宮格，宋代數(shù)學(xué)家楊輝稱之為縱橫圖，是我國(guó)一種傳統(tǒng)數(shù)字游戲。今天極客數(shù)學(xué)幫就從從“河圖”、“洛書”開始，帶大家一起欣賞幻方的數(shù)學(xué)之美，我們一起來看看吧。
一、幻方的起源
幻方是將從1到若干個(gè)數(shù)的自然數(shù)排成縱橫各為若干個(gè)數(shù)的正方形，使在同一行、同一列和同一對(duì)角線上的幾個(gè)數(shù)的和都相等。古時(shí)候幻方經(jīng)常在官府、學(xué)堂等場(chǎng)所出見，后來通過印度、阿拉伯等地傳到西方，因其奇幻的特性，被稱為Magic Square，即“幻方”或“魔方”。
關(guān)于幻方的起源，中國(guó)有“河圖”和“洛書”之說。河圖與洛書這兩幅中國(guó)古代流傳下來的神秘圖案，歷來被認(rèn)為是河洛文化的濫觴，中華文明的源頭，被譽(yù)為“宇宙魔方?！兑住は缔o上》說: “河出圖，洛出書，圣人則之”，就是指這兩件事。
相傳在遠(yuǎn)古時(shí)期，伏羲氏取得天下，把國(guó)家治理得井井有條，感動(dòng)了上天，于是黃河中躍出一匹龍馬，背上馱著一張圖，作為禮物獻(xiàn)給他，這就是“河圖”，也是最早的幻方。伏羲氏憑借著“河圖”而演繹出了八卦。
后來大禹治水時(shí)，大禹與士兵正在河邊觀察洛河水清，商議治理黃河大計(jì)，黃河支流洛水中浮出一只大烏龜。他們看到烏龜在河里上下翻騰覺得十分奇怪，便走近仔細(xì)觀看，發(fā)現(xiàn)它的背上有圖有字，人們稱之為“洛書”?！奥鍟彼嫷膱D中共有黑、白圓圈45個(gè)，正好對(duì)應(yīng)著從1到9九個(gè)數(shù)字，并且無論是縱向、橫向、斜向、三條線上的三個(gè)數(shù)字的和都等于15，當(dāng)時(shí)人們并不知道，這就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的三階幻方。
除了三階幻方以外，根據(jù)正方形的行、列數(shù)不同還有四階幻方、五階幻方等等。1969年上海浦東陸家嘴陸深家族墓地挖出了一塊元朝時(shí)代伊斯蘭教信徒所掛的玉掛，玉掛的另一面就是一個(gè)四階幻方，人稱“青玉幻方”
二、幻方的特征
幻方到底有什么樣的魔力，引得古今中外的數(shù)學(xué)家都來研究呢？我們以三階幻方為例，看看幻方里深藏著的數(shù)學(xué)的美。
首先看這一個(gè)三階幻方。如果你把每一行（共3行）、每一列（共3列）以及2條對(duì)角線一共8條線上各自3個(gè)數(shù)字加起來會(huì)得到什么結(jié)果嗎？沒錯(cuò)，和都是18。我們把這個(gè)和稱為幻和。三階幻方最中心的那個(gè)數(shù)我們稱為“幻心”。通過觀察我們又可以發(fā)現(xiàn)：幻和=幻心的三倍。
有了這個(gè)最基本的特征，來試試完成這個(gè)幻方吧：
其次，我們?cè)倏纯聪旅孢@個(gè)幻方中用圓圈和三角圈出的兩對(duì)數(shù)有什么規(guī)律嗎？
我們發(fā)現(xiàn)所給的2組數(shù)對(duì)的和是相等的，都為10 ，而且還等于幻心5的兩倍，即：幻心=兩邊數(shù)和的一半。
在這個(gè)幻方中還有其他相同規(guī)律的數(shù)對(duì)嗎？相信細(xì)心的你發(fā)現(xiàn)一共有八個(gè)這樣的數(shù)對(duì)呢。帶著這個(gè)規(guī)律，在下面的幻方里填一填吧。
最后，我們?cè)倏纯催@兩個(gè)幻方圓圈圈出來的三個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系呢？如左圖中，如果我們把8稱為角（落）格（子）里的數(shù)，那么9和7這兩個(gè)與它不相鄰的邊格里的數(shù)加起來的和16恰為8的兩倍。歸納為：角格上的數(shù) = 不相鄰兩個(gè)邊格數(shù)和的一半。
當(dāng)然，每個(gè)三階幻方角格里的數(shù)有四個(gè)，所以這樣的三角形關(guān)系也有四組。
三階幻方的三個(gè)常見特征都掌握了，來挑戰(zhàn)下面這個(gè)幻方吧！
三、幻方的構(gòu)造方法
我國(guó)古代的學(xué)者從數(shù)學(xué)、哲學(xué)、文學(xué)及美學(xué)等各個(gè)角度對(duì)幻方進(jìn)行了細(xì)致的研究。南宋數(shù)學(xué)家楊輝，是最早系統(tǒng)研究幻方的數(shù)學(xué)家。在他著的《續(xù)古摘奇算法》里介紹了一種幻方的構(gòu)造方法：“九子斜排，上下對(duì)易，左右相更，四維挺出?！?/strong>翻譯為：只要將九個(gè)自然數(shù)按照從小到大的遞增次序斜排，然后把上、下兩數(shù)對(duì)調(diào)，左、右兩數(shù)也對(duì)調(diào)；最后再把中部四數(shù)各向外面挺出，就構(gòu)造了一個(gè)三階幻方。
在一些文學(xué)作品中也出現(xiàn)了幻方的影子?！渡涞裼⑿蹅鳌分泄更S蓉二人被裘千仞追到黑龍?zhí)?，躲進(jìn)瑛姑的小屋。瑛姑出了一道題：數(shù)字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及兩條對(duì)角線上的和都相等。這道題難倒了瑛姑十幾年，但卻被黃蓉一下子就答出來了，她的口訣是：九宮之義，法以靈龜，二四為肩，六八為足，左七右三，戴九履一，五居中央。
幻方之美在于其內(nèi)在的數(shù)學(xué)原理，在于其外在的完美形態(tài)，更在于它無窮無盡的變幻。每個(gè)幻方以整齊劃一、均衡對(duì)稱、和諧統(tǒng)一的特性，迸發(fā)出耀人的數(shù)學(xué)之美的光輝。
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