1 連續(xù)統(tǒng)假設(shè) 公理化集合論 1963年，Paul J.Cohen 在下述意義下證明了第一個(gè)問題是不可解的。即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真?zhèn)尾豢赡茉赯ermelo_Fraenkel公理系統(tǒng)內(nèi)判定。
2 算術(shù)公理的相容性 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 希爾伯特證明算術(shù)公理的相容性的設(shè)想，后來發(fā)展為系統(tǒng)的Hilbert計(jì)劃（“元數(shù)學(xué)”或“證明論”）但1931年歌德爾的“不完備定理”指出了用“元數(shù)學(xué)”證明算術(shù)公理的相容性之不可能。數(shù)學(xué)的相容性問題至今未解決。
3 兩等高等底的四面體體積之相等 幾何基礎(chǔ) 這問題很快（1900）即由希爾伯特的學(xué)生M.Dehn給出了肯定的解答。
4 直線作為兩點(diǎn)間最短距離問題 幾何基礎(chǔ) 這一問題提得過于一般。希爾伯特之后，許多數(shù)學(xué)家致力于構(gòu)造和探索各種特殊的度量幾何，在研究第四問題上取得很大進(jìn)展，但問題并未完全解決。
5 不要定義群的函數(shù)的可微性假設(shè)的李群概念 拓?fù)淙赫?經(jīng)過漫長的努力，這個(gè)問題于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解決，答案是肯定的。
6 物理公理的數(shù)學(xué)處理 數(shù)學(xué)物理 在量子力學(xué)、熱力學(xué)等領(lǐng)域，公理化方法已獲得很大成功，但一般地說，公理化的物理意味著什么，仍是需要探討的問題。概率論的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。
7 某些數(shù)的無理性與超越性 超越數(shù)論 1934年A.O.temohm 和Schneieder各自獨(dú)立地解決了這問題的后半部分。
8 素?cái)?shù)問題 數(shù)論 一般情況下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八問題中的Goldbach問題至今也未解決。中國數(shù)學(xué)家在這方面做了一系列出色的工作。
9 任意數(shù)域中最一般的互反律之證明 類域論 已由高木貞治(1921)和E.Artin(1927)解決.
10 Diophantius方程可解性的判別 不定分析 1970年由蘇、美數(shù)學(xué)家證明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。
11 系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型 二次型理論 H.Hasse(1929)和C. L.Siegel(1936,1951)在這問題上獲得了重要的結(jié)果。
12 Abel域上 kroneker定理推廣到任意代數(shù)有理域。 復(fù)乘法理論 尚未解決。
13 不可能用只有兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程。 方程論與實(shí)函數(shù)論 連續(xù)函數(shù)情形于1957年由蘇數(shù)學(xué)家否定解決，如要求是解析函數(shù)，則問題仍未解決。
14 證明某類完全函數(shù)系的有限性 代數(shù)不變式理論 1958年永田雅宜給出了否定解決。
15 Schubert記數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ) 代數(shù)幾何學(xué) 由于許多數(shù)學(xué)家的努力，Schubert演算的基礎(chǔ)的純代數(shù)處理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解決。至于代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，已由B.L.Vander Waerden(1938-40)與 A.Weil(1950)建立。
16 代數(shù)曲線與曲面的拓?fù)?曲線與曲面的拓?fù)鋵W(xué)、常微分方程的定性理論 問題的前半部分，近年來不斷有重要結(jié)果。
17 正定形式的平方表示式 域（實(shí)域）論 已由Artin 于1926年解決。
18 由全等多面體構(gòu)造空間 結(jié)晶體群理論 部分解決。
19 正則變分問題的解是否一定解析 橢圓型偏微分方程理論 這個(gè)問題在某種意義上已獲解決。
20 一般邊值問題 橢圓型偏微分方程理論 偏微分方程邊值問題的研究正在蓬勃發(fā)展。
21 具有給定單值群的線性偏微分方程的存在性 線性常微分方程大范圍理論 已由Hilbert本人（1905）年和 H.Rohrl(德，1957)解決。
22 解析關(guān)系的單值化 Riemann 曲面體 一個(gè)變數(shù)的情形已由 P.Koebe (德，1907)解決。
23 變分法的進(jìn)一步發(fā)展 變分法 Hilbert本人和許多數(shù)學(xué)家對(duì)變分法的發(fā)展作出了重要的貢獻(xiàn)。
百年前的數(shù)學(xué)家大會(huì)與希爾伯特的問題
熊衛(wèi)民
21世紀(jì)第一次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)馬上就要在北京召開了，它將給本世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展帶來些什么？能像20世紀(jì)的第一次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)那樣左右數(shù)學(xué)發(fā)展的方向嗎？ 一個(gè)世紀(jì)前的那次數(shù)學(xué)家大會(huì)之所以永載史冊(cè)，完全是因?yàn)橐粋€(gè)人，因?yàn)樗囊粋€(gè)報(bào)告——希爾伯特（David Hilbert）和他的《數(shù)學(xué)問題》。
1900年，希爾伯特在巴黎召開的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了他著名的23個(gè)數(shù)學(xué)問題。在隨后的半個(gè)世紀(jì)中，許多世界一流的數(shù)學(xué)頭腦都圍著它們轉(zhuǎn)。其情形正如另一位非常著名的數(shù)學(xué)家外爾（H. Weyl）所說：“希爾伯特吹響了他的魔笛，成群的老鼠紛紛跟著他躍進(jìn)了那條河?！边@也難怪，他所提出的問題都那么清晰、那么易懂，其中一些有趣得令許多外行都躍躍欲試，而且解決其中任意一個(gè)，或者在任意一個(gè)問題上有重大突破，立即就能名滿天下——我國的陳景潤就因?yàn)樵诮鉀Q希爾伯特第8個(gè)問題（即素?cái)?shù)問題，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等）上有重大貢獻(xiàn)而為世人所側(cè)目。人們?cè)诳偨Y(jié)二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是二十世紀(jì)上半葉數(shù)學(xué)的發(fā)展時(shí)，通常都以希爾伯特所提的問題為航標(biāo)。
其實(shí)這些問題絕大部分業(yè)已存在，并不是希爾伯特首先提出來的。但他站在更高的層面，用更尖銳、更簡(jiǎn)單的方式重新提出了這些問題，并指出了其中許多問題的解決方向。
數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題是極多的，究竟哪些更重要、更基本？做出這樣的選擇需要敏銳的洞察力。為什么希爾伯特能如此目光如炬？數(shù)學(xué)史家、中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員、《希爾伯特——數(shù)學(xué)王國中的亞歷山大》一書的譯者袁向東先生（和李文林先生合譯）認(rèn)為，這是因?yàn)橄柌厥菙?shù)學(xué)王國中的亞歷山大！數(shù)學(xué)家可分為兩類，一類擅長解決數(shù)學(xué)中的難題，另一類擅長對(duì)現(xiàn)有狀況做出理論總結(jié)，兩大類中又均可細(xì)分為一流、二流、三流。希爾伯特兩者兼長，幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿陣地，在多個(gè)差異很大的數(shù)學(xué)分支中都留下了他那顯赫的名字，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的大背景了如指掌，對(duì)所提及的許多問題都有深入的研究，是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的“王”。
為什么希爾伯特要在大會(huì)上總結(jié)數(shù)學(xué)的基本問題，而不像常人一樣宣講自己的某項(xiàng)成果？袁向東告訴記者，這和另一位數(shù)學(xué)巨匠龐加萊(Henri Poincaré)有關(guān)，龐加萊在1897年舉行的第一屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上做的是應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的報(bào)告。他們兩人是當(dāng)時(shí)國際數(shù)學(xué)界中的雙子星座，均為領(lǐng)袖級(jí)人物，當(dāng)然也存在一定的競(jìng)爭(zhēng)心理——既然龐加萊講述的是自己對(duì)物理、數(shù)學(xué)關(guān)系的一般看法，那么希爾伯特就為純粹數(shù)學(xué)做一些辯護(hù)。
龐加萊是法國人，希爾伯特是德國人，法、德兩國有世仇，所以他們之間的競(jìng)爭(zhēng)還帶上了一種國與國競(jìng)爭(zhēng)的味道。雖然他們兩人非常尊重對(duì)方，這一點(diǎn)在他們身上體現(xiàn)得不明顯，但他們的學(xué)生和老師常常這樣看。
希爾伯特的老師克萊茵（Felix Klein）就是一個(gè)民族感非常強(qiáng)的人，他非常強(qiáng)調(diào)德意志數(shù)學(xué)的發(fā)展，想讓國際數(shù)學(xué)界變成橢圓——以前是圓形，圓心為巴黎；現(xiàn)在他想讓自己所在的哥廷根市也成為世界數(shù)學(xué)的中心，使數(shù)學(xué)世界變成有兩個(gè)圓心的橢圓。
在希爾伯特及其親密朋友閔可夫斯基(Hermann Minkowski)的幫助下，克萊茵實(shí)現(xiàn)了自己的目標(biāo)——1900年時(shí)，希爾伯特就已經(jīng)和法國最偉大的數(shù)學(xué)家龐加萊齊名，而克萊茵本人和馬上就要來到哥廷根的閔可夫斯基也是極有影響的數(shù)學(xué)家。事實(shí)上，他們?cè)诘聡?hào)稱“無敵三教授”。
從一個(gè)例子可以想見他們的魅力。
某天，在談及拓?fù)鋵W(xué)著名定理——四色定理時(shí)，閔可夫斯基突然靈機(jī)一動(dòng)，于是對(duì)滿堂的學(xué)生說：“這條定理還沒有得到證明，因?yàn)榈侥壳盀橹惯€只有一些三流數(shù)學(xué)家對(duì)它進(jìn)行過研究?，F(xiàn)在由我來證明它。”然后他拿起粉筆當(dāng)場(chǎng)證明這條定理。這堂課結(jié)束后，他還沒有證完。下堂課他繼續(xù)證，這樣一直持續(xù)了幾周。最后，在一個(gè)陰雨的早晨，他一走上講臺(tái)天空就出現(xiàn)了一道霹靂。“老天也被我的傲慢激怒了，”他說，“我的證明也是不完全的?！保ㄔ摱ɡ碇钡?994年才用計(jì)算機(jī)證明出來。）
1912年，龐加萊逝世。世界數(shù)學(xué)的中心進(jìn)一步向哥廷根偏移，數(shù)學(xué)界似乎又變成了一個(gè)圓——不過圓心換成了哥廷根。此時(shí)，哥廷根學(xué)派的名聲如日中天，在數(shù)學(xué)青年中流行的口號(hào)是“打起你的鋪蓋，到哥廷根去！”
一個(gè)世紀(jì)過去了，希爾伯特所列的那23個(gè)問題約有一半問題已經(jīng)解決，其余一半的大多數(shù)也都有重大進(jìn)展。但希爾伯特本人沒有解決其中的任意一個(gè)。有人問他，為什么他不去解決自己所提的問題，譬如說費(fèi)馬大定理？
費(fèi)馬是在一頁書的空白處寫下該定理的，他同時(shí)宣稱自己已經(jīng)想出了一個(gè)美妙的證法，但可惜的是空白區(qū)不夠大，寫不下了。希爾伯特的回答同樣幽默：“我不想殺掉這只會(huì)下金蛋的母雞”——德國一企業(yè)家建了一個(gè)基金會(huì)獎(jiǎng)勵(lì)第一個(gè)解決費(fèi)馬大定律者，希爾伯特時(shí)任該基金會(huì)的主席，每年利用該項(xiàng)基金的利息請(qǐng)優(yōu)秀學(xué)者去哥廷根講學(xué)，所以對(duì)他而言，費(fèi)馬大定律者是只會(huì)下金蛋的母雞。（費(fèi)馬大定律直到1997年才被解決。）
在列出23個(gè)問題之前，希爾伯特已經(jīng)是國際數(shù)學(xué)界公認(rèn)的領(lǐng)軍人物，已經(jīng)在數(shù)學(xué)的諸多領(lǐng)域取得多項(xiàng)重要成果。他的其它貢獻(xiàn)，譬如他的公理化主張、形式主義構(gòu)想、《幾何基礎(chǔ)》一書等等，都對(duì)20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響。
1 21世紀(jì)七大數(shù)學(xué)難題
21世紀(jì)七大數(shù)學(xué)難題
最近美國麻州的克雷（Clay）數(shù)學(xué)研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學(xué)院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事：對(duì)七個(gè)“千僖年數(shù)學(xué)難題”的每一個(gè)懸賞一百萬美元。以下是這七個(gè)難題的簡(jiǎn)單介紹。
“千僖難題”之一：P（多項(xiàng)式算法）問題對(duì)NP（非多項(xiàng)式算法）問題
在一個(gè)周六的晚上，你參加了一個(gè)盛大的晚會(huì)。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識(shí)的人。你的主人向你提議說，你一定認(rèn)識(shí)那位正在甜點(diǎn)盤附近角落的女士羅絲。不費(fèi)一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個(gè)大廳，一個(gè)個(gè)地審視每一個(gè)人，看是否有你認(rèn)識(shí)的人。生成問題的一個(gè)解通常比驗(yàn)證一個(gè)給定的解時(shí)間花費(fèi)要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個(gè)例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數(shù)13，717，421可以寫成兩個(gè)較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個(gè)袖珍計(jì)算器容易驗(yàn)證這是對(duì)的。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個(gè)答案是可以很快利用內(nèi)部知識(shí)來驗(yàn)證，還是沒有這樣的提示而需要花費(fèi)大量時(shí)間來求解，被看作邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陳述的。
“千僖難題”之二： 霍奇(Hodge)猜想
二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對(duì)象的形狀的強(qiáng)有力的辦法?；鞠敕ㄊ菃栐谠鯓拥某潭壬?，我們可以把給定對(duì)象的形狀通過把維數(shù)不斷增加的簡(jiǎn)單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導(dǎo)至一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對(duì)他們研究中所遇到的形形色色的對(duì)象進(jìn)行分類時(shí)取得巨大的進(jìn)展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件?；羝娌孪霐嘌?，對(duì)于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。
“千僖難題”之三： 龐加萊(Poincare)猜想
如果我們伸縮圍繞一個(gè)蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對(duì)應(yīng)問題。這個(gè)問題立即變得無比困難，從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。
“千僖難題”之四： 黎曼(Riemann)假設(shè)
有些數(shù)具有不能表示為兩個(gè)更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數(shù)稱為素?cái)?shù)；它們?cè)诩償?shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素?cái)?shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài)。著名的黎曼假設(shè)斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過。證明它對(duì)于每一個(gè)有意義的解都成立將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來光明。
“千僖難題”之五： 楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口
量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對(duì)宏觀世界的方式對(duì)基本粒子世界成立的。大約半個(gè)世紀(jì)以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對(duì)象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系?；跅睿谞査狗匠痰念A(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)室中所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對(duì)于“夸克”的不可見性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口”假設(shè)，從來沒有得到一個(gè)數(shù)學(xué)上令人滿意的證實(shí)。在這一問題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念。
“千僖難題”之六： 納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性
起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對(duì)它們進(jìn)行解釋和預(yù)言。雖然這些方程是19世紀(jì)寫下的，我們對(duì)它們的理解仍然極少。挑戰(zhàn)在于對(duì)數(shù)學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。
“千僖難題”之七： 貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想
數(shù)學(xué)家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對(duì)這一方程給出完全的解答，但是對(duì)于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難。事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個(gè)整數(shù)解。當(dāng)解是一個(gè)阿貝爾簇的點(diǎn)時(shí)，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認(rèn)為，有理點(diǎn)的群的大小與一個(gè)有關(guān)的蔡塔函數(shù)z(s)在點(diǎn)s=1附近的性態(tài)。特別是，這個(gè)有趣的猜想認(rèn)為，如果z(1)等于0,那么存在無限多個(gè)有理點(diǎn)(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個(gè)這樣的點(diǎn)。
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