快速預(yù)覽：“分形”
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主要開發(fā)者: Thomas Schlick
譯者：豆芽兵
自相似結(jié)構(gòu)和分形（Self-similar Structures and Fractals）
2012 年 8 月 14 日：分形是非常非常迷人的。曼德勃羅（Mandelbrot ）集絕對是分形中最著名的一種。但還有很多其它的類型的分形，它們有一個共同點(diǎn)是：都具有自相似結(jié)構(gòu)（self-similar）。自相似就是說，你可以無限放大圖形，卻會看到類似的結(jié)構(gòu)和模式。這如現(xiàn)像的原因是：當(dāng)前看到的圖形都來自于之前一步計(jì)算結(jié)果。計(jì)算會一直進(jìn)行下去，但你可以定義一個最大迭代（iteration）值。迭代次數(shù)越多，看到的細(xì)節(jié)就越多。
上圖是lissajous圖形（以后會有教程專門介紹，如何跟RF粒子聯(lián)系到一起）。上面分形圖形就是使用這種方式生成的。
這是2D的Julia集，動畫顯示了在斷放大后，結(jié)構(gòu)還是差不多的，自相似性
這是海岸線，從高空往下看越來越拉近，但總體結(jié)構(gòu)是差不多的。這是大自然中的分形。
維基百科對分形定義：（http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal）
分形通常被定義為“一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀”[1]，即具有自相似的性質(zhì)。
通俗一點(diǎn)說就是研究無限復(fù)雜但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)。什么是自相似呢？例如一棵蒼天大樹與它自身上的樹枝及樹枝上的枝杈，在形狀上沒 什么大的區(qū)別，大樹與樹枝這種關(guān)系在幾何形狀上稱之為自相似關(guān)系；我們再拿來一片樹葉，仔細(xì)觀察一下葉脈，它們也具備這種性質(zhì)；動物也不例外，一頭牛身體 中的一個細(xì)胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長信息；還有高山的表面，您無論怎樣放大其局部，它都如此粗糙不平等等。這些例子在我們的身邊到處可見。分形幾 何揭示了世界的本質(zhì)，分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)。
整體上看，分形幾何圖形是處處不規(guī)則的。例如，海岸線和山川形狀，從遠(yuǎn)距離觀察，其形狀是極不規(guī)則的。不同尺度上，圖形的規(guī)則性又是相同的。上 述的海岸線和山川形狀，從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態(tài)相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當(dāng)然，也有一些分形幾何圖形，它們并不完全是自相似 的。其中一些是用來描述一般隨即現(xiàn)象的，還有一些是用來描述混沌和非線性系統(tǒng)的。
幾種著名的分形集：
這兩張圖是典型的Mandelbrot集圖
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這類的分形有精確自相似性質(zhì)（分通常依據(jù)自相似性質(zhì)分為三種：精確自相似，半自相似，統(tǒng)計(jì)自相似。）不斷挖去中心一個圖形
Maya 2013一個重要的更新就是加入了一個分形的結(jié)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)名字就是叫Mandelbrot（有2D，和3D紋理）
二、分形藝術(shù)和它在國內(nèi)的現(xiàn)狀
對于分形的可視化直接導(dǎo)致了分形藝術(shù)的產(chǎn)生，這里說的分形藝術(shù)僅指分形圖形圖像方面，不包括分形音樂等形式。分形藝術(shù)是數(shù)學(xué)理論和藝術(shù)的完美結(jié) 合，它帶給我們無窮無盡的想象空間。初次看到分形藝術(shù)的時(shí)候大都會有耳目一新的感覺，因?yàn)榉中嗡囆g(shù)的精致是傳統(tǒng)藝術(shù)所無法達(dá)到的。分形的自相似性讓分形藝 術(shù)成為一種超級藝術(shù)形式，它可以被無限放大而保持精致的細(xì)節(jié)。我們創(chuàng)作分形藝術(shù)作品的時(shí)候，通常會在復(fù)平面空間中來回的探索，以求找到一個最佳的觀察點(diǎn)。 這就如同攝影需要進(jìn)行精心的構(gòu)圖一樣。
國內(nèi)的分形藝術(shù)和國外比起來顯得很新穎，目前還沒有大規(guī)模的普及應(yīng)用開來。一方面是因?yàn)榉中嗡囆g(shù)的技術(shù)門檻很高，另一方面是因?yàn)閲鴥?nèi)的傳統(tǒng)藝術(shù)流派的阻礙。CGPAD.COM的使命之一就是讓中國人都了解分形藝術(shù)，使用分形藝術(shù)。
三、分形藝術(shù)是創(chuàng)作出來的
也許你會覺得分形藝術(shù)全部是數(shù)學(xué)公式的產(chǎn)物，那么你可能誤會了這種新興的藝術(shù)形式。任何藝術(shù)都是需要人的腦力勞動的，分形藝術(shù)也不例外。分形藝 術(shù)家在創(chuàng)作分形藝術(shù)作品的時(shí)候，需要多方面的修養(yǎng)才能創(chuàng)造出好的作品來。首先是藝術(shù)修養(yǎng)，如果沒有對色彩的準(zhǔn)確把握和對形體的空間認(rèn)識是不可能進(jìn)行分形藝 術(shù)設(shè)計(jì)的。另外是數(shù)學(xué)修養(yǎng)，只有具備相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)修養(yǎng)才能輕松自如的控制分形創(chuàng)作軟件來設(shè)計(jì)理想中的分形藝術(shù)作品。現(xiàn)在常用的高級分形藝術(shù)創(chuàng)作軟件降低了數(shù) 學(xué)的要求，但并不是說數(shù)學(xué)在分形藝術(shù)創(chuàng)作中就沒有一點(diǎn)作用。創(chuàng)作者同樣需要對分形藝術(shù)的數(shù)學(xué)原理有所了解才能對軟件運(yùn)用自如，否則就只能靠運(yùn)氣來創(chuàng)作。所 以，分形藝術(shù)作品不只是數(shù)學(xué)公式自動生成的，它是融合了人類智慧的藝術(shù)形態(tài)。
四、分形藝術(shù)的應(yīng)用
分形藝術(shù)存在多方面的應(yīng)用，其中，制作裝飾畫是一種完美的應(yīng)用模式。我們能用分形藝術(shù)制作出超出人類想象的裝飾藝術(shù)作品，它們?yōu)楝F(xiàn)代社會的各個 場合注入新的活力。另外，分形藝術(shù)還可以用于印染行業(yè)，比如頭巾和服裝等的設(shè)計(jì)上。分形藝術(shù)還非常適合用于設(shè)計(jì)卡片、臺歷、掛歷、筆筒、文具盒等文化用 品。相信在CGPAD的努力下，會有越來越多的場合使用分形藝術(shù)。
在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了大量處處連續(xù)處處不可微的曲線，也就是說不能定義成微分方程解集。這些曲線可以為自然界的描述提供更完整更直觀 的模型。Benoit Mandelbrot發(fā)明了“分形”（fractal）一詞來描述這些曲線，于是分形科學(xué)誕生了。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，分形可視化導(dǎo)致了后來的分形藝術(shù) （Fractal Art）的出現(xiàn)。有人認(rèn)為，分形圖像以其高度復(fù)雜性和精細(xì)結(jié)構(gòu)使其具有很大的藝術(shù)價(jià)值。也有人認(rèn)為分形藝術(shù)是可以再現(xiàn)的計(jì)算機(jī)生成圖像，不具有傳統(tǒng)藝術(shù)形 態(tài)所帶來的獨(dú)特性以及搜藏價(jià)值。但事實(shí)證明，分形藝術(shù)正在快速的被大眾所認(rèn)識和承認(rèn)。通常，流行的分形藝術(shù)形態(tài)主要有如下幾類：
其中，復(fù)數(shù)分形是最為流行也是最早得到發(fā)展的一個分形藝術(shù)表現(xiàn)形態(tài)。從建模方式（或者渲染方法上）通常包括Mandelbrot集及其變體和 Julia集及其變體。Newton和Nova分形其實(shí)可以歸到這兩類里面，因?yàn)榈^程是相似的，只不過迭代方程有點(diǎn)特殊而已。這也是FerryMan Fractal一直以來的劃分方法，實(shí)際證明是比較科學(xué)的。
另外就是IFS (Iterated Function System)，在Scott Daves發(fā)明的Flame渲染方法的支撐下大力的發(fā)展起來了。另外，XenoDream也是基于IFS的，只不過它是在三維空間中進(jìn)行的。Scott Daves的Flame算法的重要貢獻(xiàn)是引入了Variant以及Log density處理。后來的Apophysis 3D Hack將Flame繼續(xù)提升到一個全新的高度。
L-System是基于規(guī)則改寫的分形建模方法，特別適合于模擬生長模型，因?yàn)橐?guī)則的改寫本身就和生長有類似的地方。目前LinSys3d和 ContextFreeArt是使用L系統(tǒng)進(jìn)行分形藝術(shù)創(chuàng)作的主要軟件，前者使用OpenGL編寫而后者使用QT庫實(shí)現(xiàn)的。特別是后者，實(shí)現(xiàn)了一個漂亮的 上下文無關(guān)文法解析器，可以用它內(nèi)嵌的腳本語言進(jìn)行相當(dāng)豐富而靈活的規(guī)則建模。
再就是普遍意義上的矢量圖形，我覺得他們可以說是分形藝術(shù)的延伸。分形藝術(shù)中的復(fù)數(shù)分形，在迭代次數(shù)為0次的情況下，實(shí)際生就相當(dāng)于一個矢量圖像渲 染器。不過這種矢量和傳統(tǒng)意義上的矢量有所不同，它具有無限細(xì)分后增加細(xì)分細(xì)節(jié)的可能。而且，通常情況下線條將具有一定的寬度，而傳統(tǒng)的矢量通?？梢杂袑?/span> 度（Solid）也可以是沒有寬度的（Hairline）。
分形藝術(shù)和數(shù)學(xué)的關(guān)系很密切，也許在其它地方或多或少會了解到一些這方面的內(nèi)容。但玩分形藝術(shù)并不一定需要很多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，因?yàn)楝F(xiàn)在的分形藝術(shù) 創(chuàng)作軟件大都屏蔽了數(shù)學(xué)的底層技術(shù)。再者，分形藝術(shù)就其產(chǎn)生原理來分類，可以有好幾個類別，不只是復(fù)數(shù)分形和IFS分形，還有很多種類的生成方法，而且將來也可能會有更新的生成方法出現(xiàn)。所以，不要以為分形藝術(shù)就是什么了，其實(shí)分形藝術(shù)和CG藝術(shù)是同等層次的東西。我們甚至可以把任何CG作品看成分形藝術(shù)。
分形研究的參考網(wǎng)站
分形幾何:
PS：根據(jù)我這兩個月來所看的資料：發(fā)現(xiàn)分形是非常值得深入的。特別是對我們CG工作者。我們可以只把它考慮成一種藝術(shù)。雖然它是建立在復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論之上的?？梢哉f所有的Cg技術(shù)都能與之有千絲萬縷聯(lián)系。一張分形圖片。從最初構(gòu)造（需要數(shù)學(xué)公式，計(jì)算機(jī)編程），然后顯示出來（計(jì)算機(jī)圖形學(xué)），建模，材質(zhì)，燈光，渲染，后期合成。跟我們制作Cg的流程完全是重合的。
分形的思想，跟現(xiàn)在很流行的混沌，統(tǒng)計(jì)等等一些最新學(xué)科有緊密關(guān)系。用它來探索，梳理出自己的知識樹，是一個非常好的途徑。最讓我著迷的就是，它讓我領(lǐng)略到理論中的“四維世界”，這是我一直想看又看不到的。
三維的Julia集（是用四元數(shù)構(gòu)造的，也就是第四維）
下面是一組分形圖片欣賞（google,Bing什么一搜索 Fractal 就有非常多的結(jié)果）：
繁花盛開
不用說，這是Mandelbrot放大后的一部分，與原始有很多相似的地方。并且它還包含了Julia集。
荷花樣的分形
大自然中的分形植物。這是純天然的。大自然果然是最最美妙的藝術(shù)家。
迷幻朦朧
這種半透的感覺是本人最喜歡的分形。
