“1”的自述
我的名字叫做“1”，
自然數(shù)中是小弟；
正弦、余弦我最大，
真分?jǐn)?shù)永遠(yuǎn)比我低。
稟性忠厚又老實(shí)，
“乘以”、“除以”沒關(guān)系。
兩數(shù)之積若是我，
互為倒數(shù)無置疑。
同學(xué)莫把我藐視，
我的作用妙無比。
說明：在恒等變形時(shí)，巧用1（如將1 與tg45°，tgα·ctgα，sin2α＋cos2α，
lg10，a0（a≠0），x/x，x·1/x 互化）（x≠0）可使解法簡便。
式子無意義三訣
分母不得為零，
偶次方根為負(fù)，
零負(fù)沒有對數(shù)。
注：開偶次方時(shí)，根號中式子的值為負(fù)數(shù)時(shí)，沒有意義。
多個(gè)有理數(shù)相乘符號法則歌
多個(gè)有理數(shù)相乘，
負(fù)號當(dāng)家起作用；
奇負(fù)偶正規(guī)律定，
一數(shù)為0 必得0。
說明：幾個(gè)不等于0 的有理數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定（“負(fù)號當(dāng)家起
作用”）。當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正。幾個(gè)有理數(shù)
相乘，其中若有一個(gè)因數(shù)為0，則積為0。
常用速算口訣（三則）
（一）十幾與十幾相乘
十幾乘十幾，
方法最容易，
保留十位加個(gè)位，
添零再加個(gè)位積。
證明：設(shè)m、n 為1 至9 的任意整數(shù)，則
（10＋m）（10＋n）
＝100＋10m＋10n＋mn
＝10［10＋（m＋n）］＋mn。
例：17×l6
∵10＋ （7＋6）＝23（第三句），
∴230＋7×6＝230＋42＝272（第四句），
∴17×16＝272。
（二）十位數(shù)字相同、個(gè)位數(shù)字互
補(bǔ)（和為10）的兩位數(shù)相乘
十位同，個(gè)位補(bǔ)，
兩數(shù)相乘要記?。?br>十位加一乘十位，
個(gè)位之積緊相隨。
證明：設(shè)m、n 為1 到9 的任意整數(shù)，則
（10m＋n）［10m＋（10－n）］
＝100m（m＋1）＋n（10－n）。
例：34×36
∵（3＋1）×3＝4×3＝12（第三句），
個(gè)位之積4×6＝24，
∴34×36＝1224。 （第四句）
注意：兩個(gè)數(shù)之積小于10 時(shí)，十位數(shù)字應(yīng)寫零。
（三）用11 去乘其它任意兩位數(shù)
兩位數(shù)乘十一，
此數(shù)兩邊去，
中間留個(gè)空，
用和補(bǔ)進(jìn)去。
證明：設(shè)m、n 為1 至9 的任意整數(shù)，則
（10m＋n）×（10＋1）＝100m＋10（m＋n）＋n。
例：36×ll
∵306＋90＝396，
∴36×11＝396。
注意：當(dāng)兩位數(shù)字之和大于10 時(shí)，要進(jìn)到百位上，那么百位數(shù)數(shù)字就成為m＋1，
如：
84×11
∵804＋12×10＝804＋120＝924，
∴84×11＝924。
奇數(shù)連加法
從1 開始連續(xù)奇數(shù)加，
其中自有妙算法，
1 加末數(shù)除以2，平方得數(shù)即是它。
舉例：1＋3＋5＋7??＋21
＝〔（1＋21）÷2〕2
＝112
＝121。
合并同類項(xiàng)法則
合并同類項(xiàng)，
法則不能忘；
只求系數(shù)代數(shù)和，
字母、指數(shù)不變樣。
分解因式歌
首先提取公因式，
然后考慮用公式。
十字相乘試一試，
分組分得要合適。
四種方法反復(fù)試，
分解完成連乘式。
算術(shù)根運(yùn)算法則歌
絕對值，算術(shù)根，
永不為負(fù)記在心。
兩個(gè)好像親姐妹，
形影相隨不離分。
兩人一旦分了手，
謬誤可能就降臨。
說明：絕對值和算術(shù)根都是非負(fù)數(shù)。對于算術(shù)根的運(yùn)算，一般是先化成絕對值的
形式，再根據(jù)絕對值的概念，化去絕對值符號，這樣可以減少差錯(cuò)。
二元二次方程組一般解法
未知項(xiàng)，成比例，
消元降次都可以。
方程一邊等于零，
因式分解再降次。
方程缺了一次項(xiàng)，
常數(shù)消去再求解。
一元一次不等式的解法
如有分母，去分母；
如有括號，去括號。
常數(shù)都往右邊挪，
未知都往左邊靠。（注）如有同類須合并，
化為標(biāo)準(zhǔn)再求解。
注：未知指未知數(shù)。
一元一次不等式組的四種情況
大大取較大，
小小取較小，
小大，大小中間找，
小小，大大解不了。
不等式解集的幾種情況
兩大從大，
兩小從小，
一大一小就相連，
不能相連是空集。
取對數(shù)口訣
已知真數(shù)求對數(shù)，
首數(shù)尾數(shù)分別求，
根據(jù)位數(shù)定首數(shù)，
再用數(shù)表查尾數(shù)。
取反對數(shù)口訣
已知對數(shù)求真數(shù)，
定數(shù)定位兩步走，
先用數(shù)表查數(shù)字，
再用首數(shù)定位數(shù)。
巧背圓周率
解放前，江南某處山下有一所學(xué)校，山巔有一座寺廟。一天，教師上山
同和尚對飲，臨走時(shí)布置學(xué)生背圓周率，要求背到小數(shù)點(diǎn)以后22 位。學(xué)生背
誦終日，還是記不住。眼看就要日落西山，有個(gè)學(xué)生靈機(jī)一動(dòng)，把老師上山
喝酒的事編成一段順口溜：
山巔一寺一壺酒，（3，14159）
爾樂苦煞吾。 （26535）
把酒吃，酒殺爾， （897932）
殺不死，樂爾樂。（384626）
求積順口溜
周長除以π得直徑，
直徑除以2 得半徑。
半徑平方乘π等于圓面積，
外圓內(nèi)圓面積相減求環(huán)形。
扇形面積是乘以圓心角，
pr 2
360
圓柱側(cè)面積是底面周長乘以高。
圓柱表面積兩底加一側(cè)，
圓柱體積底面積乘高。
套管體積外圓柱減內(nèi)圓柱，
圓錐體積底面積乘高再三等分。
面積公式歌
正方長方最簡單，
要知面積長乘寬；
平行四邊底乘高，
三角乘后再折半；
梯形上底加下底，
乘高除二便算完；
知道直徑就知周，
圓形面積也好求，
直徑折半自相乘，
再乘3.1416。
遇到奇形與怪狀，
先截后算莫慌張，
能截三角截三角，
能截方來就截方，
大塊小塊加一起，
整個(gè)面積就知詳。
幾種體積的計(jì)算
長方形體積如何求？
長乘寬來再乘高。
正方形體積如何求？
就是棱長三次方。
圓柱體體積如何求？
圓底面積乘以高。
圓錐體體積如何求？
先把底面積乘以高，
然后再乘三分之一，
這步千萬別忘了。
角的集合
數(shù)學(xué)里面角很多，
組成一個(gè)大集合。
射線繞著端點(diǎn)轉(zhuǎn)，
生成一個(gè)平面角。
轉(zhuǎn)一圈，叫周角，
轉(zhuǎn)半圈，叫平角。
順時(shí)針轉(zhuǎn)，叫負(fù)角，
逆時(shí)針轉(zhuǎn)，叫正角。
繞著端點(diǎn)不斷轉(zhuǎn)，
生成終邊相同的角。
90°角是直角，
還有銳角和鈍角。
兩角之和為直角，
它們互相稱余角；
兩角之和為平角，
它們彼此稱補(bǔ)角。
許多角和圓有關(guān)：
圓心角，圓周角，
圓內(nèi)角，圓外角，
還有一個(gè)弦切角。
搞測量，也要角，
望物體，稱視角，
測目標(biāo)，方位角，
向上看，叫仰角，
向下瞧，是俯角。
就是劃分經(jīng)緯度，
處處也要用到角。
一條直線有傾斜角，
兩條交成對頂角。
三條直線若相交，
還會構(gòu)成許多角：
同位角，內(nèi)錯(cuò)角，
同旁內(nèi)角和外角。
多邊形，有頂角，
相似就有對應(yīng)角。
有內(nèi)角，有外角，
外角角和為周角。
內(nèi)外兩角若相鄰，
彼此互為鄰補(bǔ)角。
若是等腰三角形，
頂角之外叫底角。
圓的內(nèi)接四邊形，
外角等于內(nèi)對角。
扇形有個(gè)中心角，
還可定義新的角。
就是平日解題目，
也常設(shè)個(gè)輔助角。
記住上面種種角，
科學(xué)研究唱主角。
幾何證明題歌訣
幾何證明并不難，
首先過好審題關(guān)。
字斟句酌細(xì)琢磨，
命題反復(fù)看幾遍。
畫圖正確利思考，
已知求證要寫全。
知識聯(lián)想更重要，
緊扣題意再“優(yōu)選”。
分析途徑是逆轉(zhuǎn)，
根據(jù)結(jié)論尋條件。
字跡工整層次清，
論證步驟寫周全。
證明兩線垂直或平行
欲證垂直、平行線，
多依定理來判斷。
平行、垂直?；プ?，
其中直角是關(guān)鍵。
四點(diǎn)共圓很有用，
找角相等極方便。
如有公用一斜邊，
證出直角不為難。
若用中點(diǎn)證平行，
常常利用中位線。
如能找到弦中點(diǎn)，
連接中心即垂線。
若知兩圓相外切，
必有一外公切線。
連接切點(diǎn)必垂直，
再做一個(gè)公切線。
內(nèi)外公切線相交，
連線也能成垂直。
平行、垂直挺有用，
證明常添輔助線。
只要規(guī)律掌握好，
平行、垂直題得證。
證明成比例（成等積）線段
證明比例是重點(diǎn)，
掌握規(guī)律并不難。
比例等積可互換，
先把定理牢記全。
射影定理分角線，
圓冪定理平行線。
若無定理可引用，
相似定理排里邊。
相似不行也好辦，
只尋等比或等線。
再用定理或相似，
找到等比好代換。
條件一定要認(rèn)準(zhǔn)，
常常需添輔助線。
平面幾何輔助線一般添加法
角之關(guān)系要細(xì)辨，
構(gòu)造等、差、倍、半是關(guān)鍵。
比例線段平行線，
構(gòu)造相似三角形也常見。
比例線段中有和差，
延截相等線段好辦法。
諸圓相交公共弦，
有時(shí)得用連心線。
諸圓相切公切線，
切點(diǎn)圓心還需連。
直角相對想共圓，
互補(bǔ)二角共弦想共圓，
四邊形外角等于不相鄰內(nèi)對角想共圓。
若遇中點(diǎn)找中點(diǎn)，
兩點(diǎn)相連平行線。
角之平分線遇垂線，
延長垂線得等邊。
圓的輔助線之歌
三圓和兩圓，
圓心緊相連；
兩圓緊為伴，
必連公切線；
兩圓扣成環(huán)，
必連公共弦。
說明：幾何題目涉及兩圓、三圓的問題，常常把它們的圓心連起來。兩圓若外切
和內(nèi)切要作出它們的公切線；兩圓若相交要作出其公共弦。
三角函數(shù)值在象限內(nèi)的符號
鄭玄吃魚
說明：鄭玄是我國三國時(shí)的一位數(shù)學(xué)家。“鄭玄吃魚”可以幫助記憶六個(gè)三角函
數(shù)在四個(gè)不同象限內(nèi)的符號。“鄭”，（Ⅰ）中皆為正（音同鄭）；“玄”，（Ⅱ）只
有正弦（音近弦）和它的倒函數(shù)余割為正；“吃”，（Ⅲ）中只有正切（音近切）和它
的倒函數(shù)余切為正；“魚”，（Ⅳ）只有余（音同魚）弦和它的倒函數(shù)正割為正。
三角函數(shù)符號、互倒及奇偶性記憶法
如果將三角函數(shù)按順序編號，正弦函數(shù)為一，余弦函數(shù)為二，正切函數(shù)
為三，余切函數(shù)為四，正割函數(shù)為五，余割函數(shù)為六，那么可以熟記下面的
口訣：
全正；一、六；
三、四；二、五；
二、五不變。
說明：在第一象限六個(gè)函數(shù)都為正，第二象限一、六為正（即正弦，余割函數(shù)為
正，其余四個(gè)函數(shù)都為負(fù)）；第三象限三、四為正（即正切，余切為正，其它為負(fù)）；
第四象限二、五為正（即余弦、正割為正，其余為負(fù)）。二、五不變，是說余弦，正割
為偶函數(shù)〔cos（－x） ＝cosx，sec（－x）＝secx〕，其余四個(gè)函數(shù)均為奇函數(shù)。并
且一、六，三、四，二、五互為倒數(shù)關(guān)系（即sinα· cscα＝1，tgα·ctgα＝1，
cosα·secα＝1）。
記憶誘導(dǎo)公式
關(guān)于180°±α， 360°±α，－α的誘導(dǎo)公式口訣為：
函數(shù)名不變，
符號看象限。
關(guān)于90°±α，270°±α的誘導(dǎo)公式口訣為：
函數(shù)名改變，
符號看象限。
說明，①不管α是什么樣的角，都把它看作銳角來確定誘導(dǎo)公式中角所在的象限，
從而確定它的符號。
②符號的確定，是由原來函數(shù)的角所在象限決定的。
③函數(shù)名改變，指正弦、余弦互變，正切、余切互變，正割、余割互變。
三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的共同特點(diǎn)
奇變偶不變
符號看象限
通過正六邊形記三角公式
記憶三角公式，有一張圖形會對我們有所幫助：
在這個(gè)六邊形中，位于對角線兩端的兩項(xiàng)乘積均為1，即：tgα·ctgα
＝1，sinα·cscα＝1，cosα·secα＝1，共三個(gè)公式。畫有格線的三角形
中，肩上兩角兩項(xiàng)的平方和等于下面一項(xiàng)的平方，即sin2α＋cos2α＝1，ctg2
α＋1＝csc2α，tg2α＋1＝sec2α，共三個(gè)公式。相鄰三個(gè)頂點(diǎn)的外項(xiàng)乘積
等于中間一項(xiàng)，即：sinα＝cosα·tgα，cosα＝sinα·ctgα，tgα＝sin
α·secα??共六個(gè)公式。該圖形中，正弦、正切、正割依次位于六邊形右
側(cè)，而余弦、余切、余割位于左側(cè)，易于記住。記住一個(gè)圖形即可記起十幾
個(gè)公式，確是一種經(jīng)濟(jì)省力的記憶方法。
積化和差公式
正弦·余弦（＝ ）正加正。
余弦·正弦（＝ ）正減正。
余弦·余弦（＝ ）余加余。
系數(shù)二分之一要牢記。
角角關(guān)系變和差。
公式符號記憶法
一減余弦想正弦，
一加余弦想余弦，
異名減，同名加，
冪高一次角減半。
三倍角正弦與余弦函數(shù)公式
三倍角正弦：3 減43。
三倍角余弦：43 減3。
系數(shù)后面很好記，
都是單角的同名函數(shù)。
公式：
sin3θ＝3sinθ－4sin3θ。
cos3θ＝4cos3θ－3cosθ。
和差化積公式
和差化積需同名，
變量置換要記清；
假若函數(shù)不同名，
互余角度換名稱。
簡記為：
S＋S＝2S·C
S－S＝2C·S
C＋C＝2C·C
C－C＝－2S·S
