目錄
·1.指數(shù)平滑定義及公式
·2.一次指數(shù)平滑
·3二次指數(shù)平滑
·4.三次指數(shù)平滑
·5指數(shù)平滑系數(shù)α的確定
1、指數(shù)平滑的定義及公式
產(chǎn)生背景：指數(shù)平滑由布朗提出、他認(rèn)為時(shí)間序列的態(tài)勢具有穩(wěn)定性或規(guī)則性，所以時(shí)間序列可被合理地順勢推延；他認(rèn)為最近的過去態(tài)勢，在某種程度上會(huì)持續(xù)的未來，所以將較大的權(quán)數(shù)放在最近的資料。
基本原理：指數(shù)平滑法是移動(dòng)平均法中的一種，其特點(diǎn)在于給過去的觀測值不一樣的權(quán)重，即較近期觀測值的權(quán)數(shù)比較遠(yuǎn)期觀測值的權(quán)數(shù)要大。根據(jù)平滑次數(shù)不同，指數(shù)平滑法分為一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等。但它們的基本思想都是：預(yù)測值是以前觀測值的加權(quán)和，且對(duì)不同的數(shù)據(jù)給予不同的權(quán)數(shù)，新數(shù)據(jù)給予較大的權(quán)數(shù)，舊數(shù)據(jù)給予較小的權(quán)數(shù)。
方法應(yīng)用：指數(shù)平滑法是生產(chǎn)預(yù)測中常用的一種方法。也用于中短期經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢預(yù)測，所有預(yù)測方法中，指數(shù)平滑是用得最多的一種。
指數(shù)平滑法的基本公式：St=a*yt+(1-a)*St-1 式中，
St--時(shí)間t的平滑值；
yt--時(shí)間t的實(shí)際值；
St-1--時(shí)間t-1的平滑值；
a--平滑常數(shù)，其取值范圍為[0,1]
據(jù)平滑次數(shù)不同，指數(shù)平滑法分為：一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑和三次指數(shù)平滑法等。
當(dāng)時(shí)間數(shù)列無明顯的趨勢變化，可用一次指數(shù)平滑預(yù)測。其預(yù)測公式為：
yt+1'=a*yt+(1-a)*yt' 式中，
· yt+1'--t+1期的預(yù)測值，即本期（t期）的平滑值St ；
· yt--t期的實(shí)際值；
· yt'--t期的預(yù)測值，即上期的平滑值St-1 。
例題：已知某種產(chǎn)品最近15個(gè)月的銷售量如下表所示：
用一次指數(shù)平滑值預(yù)測下個(gè)月的銷售量y16。
為了分析加權(quán)系數(shù)a的不同取值的特點(diǎn)，分別取a=0.1,a=0.3,a=0.5計(jì)算一次指數(shù)平滑值，并設(shè)初始值為最早的三個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，：以a= 0.5的一次指數(shù)平滑值計(jì)算為例，有
計(jì)算得到下表：
按上表可得 時(shí)間15月對(duì)應(yīng)的19.9 26.2 28.1可以分別根據(jù)預(yù)測公式來預(yù)測第16個(gè)月的銷售量。
以a = 0.5為例： y16=0.5*29+(1-0.5)*28.1=28.55（萬臺(tái)）
由上述例題可得結(jié)論
1）指數(shù)平滑法對(duì)實(shí)際序列具有平滑作用，權(quán)系數(shù)（平滑系數(shù)）a 越小，平滑作用越強(qiáng)，但對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)的變動(dòng)反應(yīng)較遲緩。
2）在實(shí)際序列的線性變動(dòng)部分，指數(shù)平滑值序列出現(xiàn)一定的滯后偏差的程度隨著權(quán)系數(shù)（平滑系數(shù)）a 的增大而減少，但當(dāng)時(shí)間序列的變動(dòng)出現(xiàn)直線趨勢時(shí)，用一次指數(shù)平滑法來進(jìn)行預(yù)測仍將存在著明顯的滯后偏差。因此，也需要進(jìn)行修正。修正的方法也是在一次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上再進(jìn)行二次指數(shù)平滑，利用滯后偏差的規(guī)律找出曲線的發(fā)展方向和發(fā)展趨勢，然后建立直線趨勢預(yù)測模型，故稱為二次指數(shù)平滑法。
3、二次指數(shù)平滑預(yù)測
1） a為加權(quán)系數(shù)；
2） 指數(shù)平滑法對(duì)實(shí)際序列具有平滑作用，權(quán)系數(shù)（平滑系數(shù)）越小，平滑作用越強(qiáng)，但是對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)的變動(dòng)反映較遲緩；
3） 在實(shí)際序列的線性變動(dòng)部分，指數(shù)平滑值序列出現(xiàn)一定的滯后偏差的程度隨著權(quán)系數(shù)(平滑系數(shù))的增大而減少；但當(dāng)時(shí)間序列的變動(dòng)出現(xiàn)直線趨勢時(shí)，用一次指數(shù)平滑法來進(jìn)行預(yù)測仍將存在著明顯的滯后偏差。因此，也需要進(jìn)行修正。
4） 修正的方法也是在一次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上再進(jìn)行二次指數(shù)平滑，利用滯后偏差的規(guī)律找出曲線的發(fā)展方向和發(fā)展趨勢，然后建立直線趨勢預(yù)測模型，故稱為二次指數(shù)平滑法。
在一次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上得二次指數(shù)平滑 的計(jì)算公式為：
· 式中： St(2)——第t周期的二次指數(shù)平滑值；
· St(1)——第t周期的一次指數(shù)平滑值；
· St-1(2)——第t-1周期的二次指數(shù)平滑值；
· a ——加權(quán)系數(shù)（也稱為平滑系數(shù)）。
二次指數(shù)平滑法是對(duì)一次指數(shù)平滑值作再一次指數(shù)平滑的方法。它不能單獨(dú)地進(jìn)行預(yù)測，必須與一次指數(shù)平滑法配合，建立預(yù)測的數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)模型確定預(yù)測值。
二次指數(shù)平滑數(shù)學(xué)模型：
例題2：某地1983年至1993年財(cái)政入的資料如下，試用指數(shù)平滑法求解趨勢直線方程并預(yù)測1996年的財(cái)政收入
例3：已知某廠1978～1998年的鋼產(chǎn)量如下表所示，試預(yù)測1999年、2000年該廠的鋼產(chǎn)量。（用excel如何實(shí)現(xiàn)平滑指數(shù)）
下面利用指數(shù)平滑工具進(jìn)行預(yù)測，具體步驟如下：
選擇工具菜單中的數(shù)據(jù)—數(shù)據(jù)分析命令，此時(shí)彈出數(shù)據(jù)分析對(duì)話框。
在分析工具列表框中，選擇指數(shù)平滑工具。
這時(shí)將出現(xiàn)指數(shù)平滑對(duì)話框，如圖所示：
一次指數(shù)平滑設(shè)置及輸出
二次指數(shù)平滑設(shè)置及輸出
最終結(jié)果輸出及計(jì)算
根據(jù)二次平滑指數(shù)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算a、b值。
得到趨勢線預(yù)測模型：y=3994.9+141.2T，從而可以計(jì)算出：
y1999=3994.9+141.2*1=4136.14
y2000=3994.9+141.2*2= 4277.34
4、三次指數(shù)平滑預(yù)測
若時(shí)間序列的變動(dòng)呈現(xiàn)出二次曲線趨勢，則需要采用三次指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測。三次指數(shù)平滑是在二次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上再進(jìn)行一次平滑，其計(jì)算公式為：
三次指數(shù)平滑法的預(yù)測模型為：
三次指數(shù)平滑的計(jì)算表：
解：通過實(shí)際數(shù)據(jù)序列呈非線性遞增趨勢，采用三次指數(shù)平滑預(yù)測方法。解題步驟如下。確定指數(shù)平滑的初始值和權(quán)系數(shù)（平滑系數(shù)）a。設(shè)一次、二次指數(shù)平滑的初始值為最早三個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，即
實(shí)際數(shù)據(jù)序列的傾向性變動(dòng)較明顯，權(quán)系數(shù)（平滑系數(shù)）a 不宜取太小，故取a= 0.3。
根據(jù)指數(shù)平滑值計(jì)算公式依次計(jì)算一次、二次、三次指數(shù)平滑值：
計(jì)算非線性預(yù)測模型的系數(shù)at,bt,ct。目前周期數(shù)t = 11，將表1.6中的有關(guān)數(shù)據(jù)代入式（1-19）、式（1-20）、式（1-21）后分別得
建立非線性預(yù)測模型。將各系數(shù)代入式（1-18）得
預(yù)測2007年和2008年的產(chǎn)品銷售量。2007年，其預(yù)測超前周期為T = 1；2008年，其預(yù)測超前周期為T = 2。代入模型，得預(yù)測2007年和2008年的產(chǎn)品銷售量。2007年，其預(yù)測超前周期為T= 1；2008年，其預(yù)測超前周期為T= 2。代入模型，得
于是得到2007年的產(chǎn)品銷售量的預(yù)測值為809萬臺(tái)，2008年的產(chǎn)品銷售量的預(yù)測值為920萬臺(tái)。預(yù)測人員可以根據(jù)市場需求因素的變動(dòng)情況，對(duì)上述預(yù)測結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)和修正。
在指數(shù)平滑法中，預(yù)測成功的關(guān)鍵是a的選擇。a的大小規(guī)定了在新預(yù)測值中新數(shù)據(jù)和原預(yù)測值所占的比例。a值愈大，新數(shù)據(jù)所占的比重就愈大，原預(yù)測值所占比重就愈小，反之亦然。
指數(shù)平滑法的缺點(diǎn)：· （1）對(duì)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)缺乏鑒別能力，但這一點(diǎn)可通過調(diào)查預(yù)測法或?qū)＜翌A(yù)測法加以彌補(bǔ)。
· （2）長期預(yù)測的效果較差，故多用于短期預(yù)測。
指數(shù)平滑法的優(yōu)點(diǎn)：
· （1）對(duì)不同時(shí)間的數(shù)據(jù)的非等權(quán)處理較符合實(shí)際情況。
· （2）實(shí)用中僅需選擇一個(gè)模型參數(shù)a 即可進(jìn)行預(yù)測，簡便易行。
· （3）具有適應(yīng)性，也就是說預(yù)測模型能自動(dòng)識(shí)別數(shù)據(jù)模式的變化而加以調(diào)整。
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