從難以置信的弱到不可思議的強(qiáng)
在本節(jié)中，我們要做一件順理成章的事，那就是應(yīng)用引力波四極輻射的功率表達(dá)式 dE/dt = -1/5G (?3Qij/?t3) (?3Qij/?t3)，來計(jì)算或估算一些具體例子，并得出數(shù)值結(jié)果，從而使我們對引力波，尤其是它的強(qiáng)弱，有一個(gè)比抽象公式更直觀的了解。
由于此前功率表達(dá)式及其他類似公式都采用了光速c = 1 的特殊單位制，因此公式中未出現(xiàn)光速。通過量綱分析手段可以得到恢復(fù)光速后的引力波輻射功率公式為
dE/dt = -(G/5c5) (?3Qij/?t3) (?3Qij/?t3) （6.1）
有了輻射功率公式，我們便可計(jì)算體系的引力波輻射功率了。其中一個(gè)最簡單而不失現(xiàn)實(shí)意義的體系是作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)——或者更確切地說，是相對于背景時(shí)空作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)。太陽系內(nèi)多數(shù)行星繞太陽的公轉(zhuǎn)、 多數(shù)衛(wèi)星繞行星的公轉(zhuǎn)，乃至繞共同質(zhì)心作圓周或接近圓周運(yùn)動(dòng)的雙星等，都可在一定程度上近似為這樣的體系。
假設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r，則在原點(diǎn)位于圓心、隨質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的所謂隨動(dòng)坐標(biāo)系 (x′1, x′2,x′3) 中，可將質(zhì)點(diǎn)的位置取為 (r, 0, 0)，轉(zhuǎn)軸取為 x′3。若ω 是隨動(dòng)坐標(biāo)系相對于固定坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度——也就是質(zhì)點(diǎn)繞圓心的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。則該體系的引力波輻射功率為：dE/dt = -(32G/5c5) m2r4ω6 。引力波輻射功率公式中所有的物理量：質(zhì)量、 半徑、 角速度都是能直接測量的，從而可付諸計(jì)算。
我們以太陽系最大的行星——木星——繞太陽的公轉(zhuǎn)為例，計(jì)算得木星體系的引力波輻射功率為 5.3 × 103 瓦或5.3 千瓦，這是一個(gè)小得可憐的功率。太陽系最大的行星，一個(gè)質(zhì)量達(dá) 1.9 億億億噸的龐然大物，以每小時(shí) 46800千米的巨大速度繞太陽公轉(zhuǎn)所發(fā)射的引力波的輻射功率居然是 5.3 千瓦這么一個(gè) “ 家常” 數(shù)字，僅相當(dāng)于幾臺家用電器的能耗，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是 “ 九牛一毛” 可以形容其小的?？窟@樣的輻射功率，哪怕使木星的軌道半徑減小一毫米也需要 10 億年以上的時(shí)間 ！
木星尚且如此，更小的體系的引力波輻射功率自然就更微不足道了。事實(shí)也正是如此，比如水星繞太陽公轉(zhuǎn)的引力波輻射功率約為幾十瓦，只相當(dāng)于幾盞燈泡—— 恐怕還是節(jié)能燈泡—— 的能耗。而月球繞地球公轉(zhuǎn)的引力波輻射功率更是 “ 迷你”，僅為幾微瓦。在一個(gè)天文體系中涉及如此 “ 微觀” 的功率，這在引力波以外的領(lǐng)域是不易見到的，引力波的微弱在這一例子中可以說是體現(xiàn)得淋漓盡致。
這些例子印證了加萊所寄望的用引力波造成的能量損失來解釋水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)是完全錯(cuò)誤的。事實(shí)上，太陽系范圍內(nèi)的任何天體運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的引力波都絕非今天的觀測技術(shù)所能企及，從而也不能用來解釋任何觀測現(xiàn)象。
不過，這一切只不過說明我們這個(gè)從很多其他角度看起來相當(dāng)浩瀚的太陽系對引力波來說實(shí)在不是一個(gè)大舞臺，但并不意味著引力波總是微弱的。為了說明這一點(diǎn)，讓我們把注意力轉(zhuǎn)向某些引力波輻射功率極為可觀的體系，看看引力波能強(qiáng)大到什么程度。
不過為偷懶起見，同時(shí)也為展示物理學(xué)家們不拘一格的計(jì)算手段，我們將不再重復(fù)上面這種 “ 死算”，而要采用一些近似手段。當(dāng)然，我們其實(shí)一直就在用近似手段，首先是弱場近似，然后是在多極展開中只取四極輻射，現(xiàn)在我們要在近似之路上再多走一步。不過，多走的這步跟前面幾步有一個(gè)很大的不同：前面的近似都有一定的適用條件，只要滿足條件，誤差可以控制得很小，如今要多走的這步則不然，名曰近似，實(shí)為估算—— 數(shù)量級意義上的估算。在這種估算中，我們不在乎任何數(shù)量級為 1 的常數(shù)，也不在乎諸如質(zhì)量分布、 速度分布之類的細(xì)節(jié)，而代之以某種平均。既然分布由平均取代，則積分就可變?yōu)槌朔?，?dǎo)數(shù)則可化為除法。
除這些簡單數(shù)學(xué)外，我們還要用一點(diǎn)簡單物理，那就是：能輻射強(qiáng)引力波的體系必然是以引力為主導(dǎo)的體系，這種體系中物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的典型速度乃是引力束縛下的軌道運(yùn)動(dòng)速度v ~ (GM/R)1/2，典型周期則是 T ~R/v ~ (R3/GM)1/2。
利用這些結(jié)果，引力波輻射功率公式可在數(shù)量級意義上被估算為 dE/dt ~—(c5/G) (GM/Rc2)5。最后，我們注意到 c5/G 是一個(gè)量綱為功率的常數(shù)，我們用 L0 來表示它。L0 的數(shù)值約為 1052，是一個(gè)極為驚人的功率，相當(dāng)于每秒鐘消耗10萬個(gè)太陽質(zhì)量 ( 請注意，“ 每秒鐘消耗10萬個(gè)太陽質(zhì)量” 不是太陽光度的10萬倍，而是每秒鐘將10萬個(gè)太陽的總質(zhì)量全部轉(zhuǎn)化為能量)。利用所有這些結(jié)果，引力波輻射功率公式可最終簡化為
dE/dt ~ —(GM/Rc2)5 L0 （6.2）
對廣義相對論或黑洞物理學(xué)有一定了解的讀者也許注意到了，引力波輻射功率公式中的 GM/Rc2 乃是所考慮的體系的施瓦西半徑 與真實(shí)線度之比。對普通的體系來說，這個(gè)比值是非常小的，比如對太陽來說，施瓦西半徑約為3千米，真實(shí)線度卻在100萬千米的量級，兩者之比為百萬分之一的量級。對木星的公轉(zhuǎn)來說，施瓦西半徑是木星和太陽這一體系的施瓦西半徑，實(shí)際上也就是太陽的施瓦西半徑 ( 因?yàn)槟拘琴|(zhì)量只有太陽質(zhì)量的千分之一，可以忽略)，而真實(shí)線度乃是木星軌道的線度，在10億千米的量級，兩者之比只有十億分之一的量級。更何況，出現(xiàn)在公式中的乃是這一比值的5次方，更是小之又小。這是引力波輻射功率通常極其微小的重要原因。
那么什么樣的體系可能會有輻射功率極為可觀的引力波呢？從引力波輻射功率公式中立刻可以看出是強(qiáng)引力場天體。強(qiáng)引力場天體的基本特點(diǎn)就是施瓦西半徑不比真實(shí)線度小太多，從而 GM/Rc2 是一個(gè)不太小的比值，由于輻射功率公式中的L0是一個(gè)極為驚人的數(shù)值，因此一旦 GM/Rc2 不太小，引力波的輻射功率便會走向另一個(gè)極端，變得極為可觀。
高速轉(zhuǎn)動(dòng)的中子星——這種中子星通常發(fā)射看似脈沖式的電磁輻射 ( 其實(shí)只是由于電磁輻射周期性地掃過我們的方向)，因而也被稱為脈沖星——就是強(qiáng)引力場天體的典型例子。這種天體是大質(zhì)量恒星的幾類主要 “ 尸體” 之一，平均物質(zhì)密度高達(dá)每立方米數(shù)百萬億噸，相應(yīng)的半徑只比施瓦西半徑大一個(gè)數(shù)量級左右，即GM/Rc2 約為 10-1， 由此對應(yīng)的引力波輻射功率高達(dá)1047 瓦( 一千萬億億億億億瓦)，或相當(dāng)于每秒鐘輻射掉一個(gè)太陽質(zhì)量。這樣的輻射功率相當(dāng)于太陽光度的一萬億億倍，或相當(dāng)于銀河系中所有星星輻射功率總和的100億倍。由于可觀測宇宙中的星系總數(shù)在1000億的量級，而銀河系在星系中屬于較大的，因此 1047 瓦的引力波輻射功率已能跟可觀測宇宙中所有星星輻射功率的總和相提并論了。
有些讀者或許還記得，我們在本系列開篇談及美國激光干涉引力波天文臺首次探測到的引力波時(shí)曾提到過，那次探測到的引力波源自一對黑洞的合并，其最大的引力波輻射功率甚至超過了可觀測宇宙中所有星星輻射功率的總和。我們上面的估算可以印證了這一陳述，因?yàn)榕c中子星相比，黑洞是更極端的強(qiáng)引力場天體，相應(yīng)地，涉及黑洞的某些過程所輻射的引力波也更可觀，既然前者的輻射功率已能跟可觀測宇宙中所有星星輻射功率的總和相提并論，后者超過可觀測宇宙中所有星星輻射功率的總和也就并不奇怪了。
在經(jīng)受了這么多公式和數(shù)字的 “ 折磨” 后，從環(huán)環(huán)相扣的理論推演中初步印證出了科學(xué)新聞中的描述，是不是有一點(diǎn)小小的成就感？
不過，輻射功率如此驚人的引力波就算出現(xiàn)了也不可能持久，而注定只是曇花一現(xiàn)的瞬態(tài)過程。甚至，這種輻射其實(shí)未必真能出現(xiàn)在我們所提到的中子星這一例子之中。這是因?yàn)槲覀兊墓浪悴粌H粗略，而且還忽略了四極輻射的一個(gè)重要特點(diǎn)，即對稱性高的運(yùn)動(dòng)——比如球?qū)ΨQ的脈動(dòng)或軸對稱的轉(zhuǎn)動(dòng)——根本不會有四極輻射。由此造成的缺陷是：引力波輻射功率公式有一個(gè)隱含的先決條件，那就是體系必須處于高度非對稱的運(yùn)動(dòng)中。對單個(gè)的中子星來說，也許只有在其形成過程中變動(dòng)最劇烈的爆炸或坍塌瞬間能出現(xiàn)較大程度的非對稱運(yùn)動(dòng)，使上述估算勉強(qiáng)有一定的適用性。不過上述估算并非只適用于單個(gè)的中子星，若轉(zhuǎn)而考慮中子雙星的合并，則高度非對稱的運(yùn)動(dòng)不難出現(xiàn)，而且在合并過程的末期整個(gè)體系的 GM/Rc2 與單個(gè)中子星相似，約為 10-1，從而確實(shí)能在一個(gè)極短的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生如前所述的驚人的引力波輻射功率。對于那樣的過程，以及更驚人的黑洞的合并，我們在后文中會有更多介紹，這里就不贅述了。
除了這種輻射功率驚人卻至多只能曇花一現(xiàn)的引力波外，中子星也可以相對穩(wěn)定地輻射出功率很強(qiáng)的引力波。不過為顯示這一點(diǎn)，我們需對引力波輻射功率公式略作修正，以擴(kuò)大其適用范圍。
我們剛才提到，引力波輻射功率公式忽略了四極輻射的一個(gè)重要特點(diǎn)，即對稱性高的運(yùn)動(dòng)，比如球?qū)ΨQ的脈動(dòng)或軸對稱的轉(zhuǎn)動(dòng)，根本不會有四極輻射。因此修正引力波輻射功率公式的關(guān)鍵就在于將對稱性高的運(yùn)動(dòng)排除掉。為此我們注意到，出現(xiàn)在引力波輻射功率公式中的四極矩張量乃是體系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量的無跡形式。利用這一特點(diǎn)，我們可以用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量來表述和排除對稱性高的運(yùn)動(dòng)。
具體地說，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量，乃至一切二階對稱張量能在一個(gè)被稱為主軸坐標(biāo)系的特殊坐標(biāo)系中被對角化，這種坐標(biāo)系的三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸——姑記為 x，y，z——稱為主軸，相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量的對角分量——姑記為 Ix，Iy，Iz——稱為主慣量。我們考慮一個(gè)相對簡單卻不失現(xiàn)實(shí)意義的情形：中子星繞主軸 z 轉(zhuǎn)動(dòng)。在這種情形下，四極矩張量的 z 分量是不變的，從而不會對四極輻射產(chǎn)生貢獻(xiàn)，不僅如此，x-y 平面上的兩個(gè)主慣量Ix 和Iy 若相等，則相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)是軸對稱的轉(zhuǎn)動(dòng)，四極矩也不會隨時(shí)間變化，從而也不會對四極輻射產(chǎn)生貢獻(xiàn)。這些正是需從引力波輻射功率公式中排除掉的所謂對稱性高的運(yùn)動(dòng)。由此我們可將產(chǎn)生四極輻射的條件表述為：x-y 平面上的主慣量 Ix 和Iy 不相等。描述這種不相等的一個(gè)方便的參數(shù)是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量的所謂赤道橢率，記作e，定義為 e = (Ix-Iy)/(Ix + Iy)。可以證明，由引力波輻射功率公式給出的引力波輻射功率正比于 e2，即：
dE/dt~ -(GM/Rc2)5 e2 L0 （6.4）
有了這個(gè)修正，中子星的引力波輻射功率就不是 1047 瓦，而是 1047e2 瓦。對于中子星這種強(qiáng)引力場天體來說，運(yùn)動(dòng)偏離對稱的幅度通常是很小的，e 的典型量級只有 10-4 左右，相應(yīng)的引力波輻射功率則約為 1039 瓦，或相當(dāng)于幾年內(nèi)輻射掉一個(gè)太陽質(zhì)量。1039 瓦雖比 1047 瓦小得多 ( 也合理得多)，卻依然足以在幾年內(nèi)耗掉中子星的轉(zhuǎn)動(dòng)能量，從而造成其轉(zhuǎn)速的顯著減小，以及 e 的減小。當(dāng)轉(zhuǎn)速或 e 減小時(shí)，引力波的輻射功率及對自轉(zhuǎn)的減速作用也將減小，并逐漸遜色于其他因素——比如磁偶極輻射等，細(xì)節(jié)則視具體情形而定。此外，當(dāng)轉(zhuǎn)速減小到一定程度后，引力波輻射功率公式這種與轉(zhuǎn)速無關(guān)的粗略估算也將不再適用，而需重新使用未做估算的引力波輻射功率公式來計(jì)算。
計(jì)算引力波輻射功率的例子還可舉出許多，其中包括人工物體產(chǎn)生的引力波。當(dāng)然，結(jié)果將是可以預(yù)料的微乎其微，比如線度數(shù)十米、 質(zhì)量數(shù)百噸，對人工物體而言相當(dāng)龐大的金屬圓柱以每秒十余圈的速度繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)所產(chǎn)生的引力波輻射功率僅為一百萬億億億分之一 (10-30) 瓦的量級。感興趣的讀者可自己找?guī)讉€(gè)例子計(jì)算或估算一下，以加深理解。通過所有這些例子，我們對引力波的強(qiáng)弱可算是有了大致了解，一言以蔽之的話，引力波既可以難以置信的弱，也能夠不可思議的強(qiáng)，除某些實(shí)際上不可能嚴(yán)格滿足的高度對稱的運(yùn)動(dòng)外，它的存在極其普遍，倘能探測到，無疑將為物理學(xué)和天文學(xué)開辟一個(gè)廣闊而繽紛的新領(lǐng)域。
不過在轉(zhuǎn)入引力波的探測之前，我們還有一段有趣的插曲要介紹。這段插曲—— 我向讀者保證——將完全不帶數(shù)學(xué)，從而可以喘口氣。（未完待續(xù)）
本文選自《現(xiàn)代物理知識》2017年第3期 時(shí)光摘編
