這次我們主要做一個回顧, 再進(jìn)一步將行列式的幾何意義用動畫展示說明. 我們說矩陣 A 可以視為一種線性變換, 所以
上面的式子意味著求一個向量 x 在線性變換 A 后的位置與向量 v 重合. 現(xiàn)在看個例子, 整個空間在矩陣 A 的作用下是怎樣的變化過程:
原來向量(1, 0.5)在經(jīng)過變換后是(2, 1.5);
水平方向變成了原來的 2 倍;
縱向變成了原來的 3 倍;
原來的直線變換后依然還是直線, 平行的依然保持平行;
原點(diǎn)沒有改變(如果沒有原點(diǎn), 則為仿射空間)
并且注意紅色的方塊面積擴(kuò)大了 6 倍, 這樣的面積(或體積)增大倍率就是行列式(Determinant)的幾何意義, 記作: det(A) 或者 |A|
再看另一個作用矩陣線性變換的動畫:
觀察看到:
空間發(fā)生了傾斜, 但沒有扭曲;
直線依然還是直線, 平行的依然保持平行;
A 的第一列(1.5, -1)的落腳點(diǎn)為(1, 0) - 像, 第二列(-0.5, 2)的落腳點(diǎn)為(0, 1);
單位紅色小方塊擴(kuò)大為 2.5 倍, 也就是 det(A) = 2.5
再來看這個線性變換的例子, 注意矩陣 A 中兩個列向量是成比例的 - 線性相關(guān):
觀察得到:
空間被壓縮成一條線;
向量(1, 0.5) 在整個變換過程中完全沒有發(fā)生改變(這跟特征值與特征向量有關(guān), 我們后文書再說);
面積增大倍率為 0, 也就是 det(A)=0;
這跟上一節(jié)中矩陣對角線含有 0 元素情況類似, 在這種情況下意味著不存在逆矩陣, 不過也是以后要介紹的內(nèi)容了.
行列式的幾何意義表示面積(體積)的增大倍率, 如在經(jīng)過鏡像翻轉(zhuǎn)后就為負(fù)值, 上一節(jié)我們看到三維矩陣的情況, 現(xiàn)在看一看二維中經(jīng)過鏡像翻轉(zhuǎn)后行列式的變化, 請注意最下變換過程中 det(A) 值從正數(shù)到負(fù)數(shù)的變化過程:
上面就是本次圖解線性代數(shù)所回顧的知識點(diǎn). 好了, 現(xiàn)在讓我們在下一篇的中再見!
因為本人水平有限, 疏忽錯誤在所難免, 還請各位老師和朋友多提寶貴意見, 幫助我改進(jìn)這個系列, 您的關(guān)注和轉(zhuǎn)發(fā)就是鼓勵我繼續(xù)前行的最大動力, 感謝感謝!
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