上周最強大腦第四關進30強的題目：立體一筆畫，大家看完嘆為觀止
我們作為普通人，是否能來解一下這道題目呢？
黃老師想說，如果你學了黃老師的奧數(shù)課程，未必不可以一試。
好，那黃老師的今天的課程從一筆畫講起。
講到一筆畫，不得不講最著名的“七橋問題”：
二百五十年前，有一個問題曾出現(xiàn)在普通人的生活中，向人們的智力挑戰(zhàn)，使得很多人冥思苦想.在相當長的一段時間里，很多人都想解決它，但他們都失敗了.
今天，我們小學生也要大膽地研究研究它.
這個問題叫做“七座橋問題”.
當時，德國有個城市叫哥尼斯堡.城中有條河，河中有個島，河上架有七座橋，這些橋把陸地和小島連接起來，這樣就給人們提供了一個游玩的好去處（見下圖）.俗話說，“人是萬物之靈”，他們就是在游玩時候想出了這樣一個問題：
如果在陸地上可以隨便走，而對每座橋只許通過一次，那么一個人要連續(xù)地走完這七座橋怎么個走法？
好動腦筋的朋友請先不要接著往下讀，你也試一試，走一走.
你是怎樣試的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像當年的游人那樣親自步行過橋上島.因為你并沒有離開自己的教室，你坐在教室里，在你的面前沒有河流，沒有小島，也沒有橋，但在你面前卻有一張圖！
可是，這又是一張什么樣的圖呢？圖上并沒河流、小島和小橋的原樣，只是用一些線條來代表它們，但卻明白無誤地顯示出了它們之間的位置關系和連接方式.可以說，這是一張為了做數(shù)學而舍棄了許多無關的真實內容而抽象出來的“數(shù)學圖”.
這樣的抽象過程非常重要，這種抽象思維對于學習數(shù)學來講非常重要.
也許你是用鉛筆尖在圖上畫來畫去進行試驗的吧！好！你做得很好！為什么這樣說呢？因為當你這樣做的時候，就發(fā)揮了自己的想像力：你在無意中把自己想像成了一個小筆尖.你把小筆尖在七橋圖上畫來畫去，想像成了你自身的經歷，有位教育家曾說“強烈而活躍的想像是偉大智慧不可缺少的屬性”.看來你并不缺少這種想像力！
讓我們再好好地想一想，剛才你把小筆尖在七橋圖上畫來畫去，想像成你自己過橋的親身經歷，這不就是把過橋問題和一筆畫問題聯(lián)系在一起了嗎？用一句數(shù)學上常用的話說，這就是把實際生活中的問題轉化成了數(shù)學問題，下面的圖把這種轉化過程詳細地畫了出來.
在下頁左圖中把陸地想像成了幾大塊.這對過橋問題并不產生影響.
在下頁右圖中進一步把陸地塊縮小，同時改用線段代表小橋，這也不改變過橋問題的實質.
在下面左圖中，進一步把陸地和島都用小圓圈代表，這已是“幾何圖形”了，但還是顯得復雜.
在下面右圖中，圓進一步縮成了點.這樣它變成了只由點和線構成的最簡單的幾何圖形了.經過上面這樣的一番簡化，七橋問題的確就變成了上右圖（即為第五講習題1中的圖（9））是不是能一筆畫成的問題了.很容易看出圖中共有4個奇點，由上一講得到的判定法則可知，它不能一筆畫成，因而人們根本不能一次連續(xù)不斷地走過七座橋.
這樣七橋問題就得到了圓滿的解決.
這種解法是大數(shù)學家歐拉找到的.這種簡化也就是一種抽象過程.所謂“抽象”就是在解決實際問題的過程中，舍棄與問題無關的方方面面.而只抓住那個能體現(xiàn)問題實質的東西.就像在七橋問題中，陸地和島的大小、橋的寬窄和長短都是與問題無關的東西.
最后，再把解決七橋問題的要點總結一下：
①把陸地和島縮小畫成點，把橋畫成線，這樣就把原圖變成了簡單的幾何圖形了.
②如果這種由點和線組成的圖形是一筆畫，人就能一次通過所有的橋；如果這種圖形不能一筆畫成，人就不能一次通過所有的橋.
③由前述判定法則可知，有0個奇點或2個奇點的圖形是一筆畫，超過兩個奇點時，圖形就不能一筆畫出來.
說了這么半天，那么什是奇點？為什么0個奇點或2個奇點的圖形可以一筆畫出，是不是超過兩個奇點時，就不能一筆畫出呢？
那么，什么叫奇點呢？
奇點：把和一條、三條、五條等奇數(shù)條線相連的點叫做奇點；把和兩條、四條、六條等偶數(shù)條線相連的點叫偶點，這樣圖中的要么是奇點，要么是偶點.
舉例說明如下：
第一組：
上圖1中：
A點只有一條線段與之相連，所以A點為奇點；
B點有三條線段與之相連，所以B點為奇點；
其他三個點均有兩條線段與之相連，所以其他三個點均為偶點。
圖1中，只有2個奇點，所以可以一筆畫出，如圖所示。
上圖2中：
A點有三條線段與之相連，所以A點為奇點；
B點有三條線段與之相連，所以B點為奇點；
其他四個點均有兩條線段與之相連，所以其他四個點均為偶點。
圖2中，只有2個奇點，所以可以一筆畫出，如圖所示。
這兩個圖都能一筆畫出來，如箭頭所示那樣畫.即起點必需是A點（或B點），而終點則定是B點（或A點）.
第二組：
第二組：
（1）四個點，三條線.
三個端點各與一條線相連，中間點與三條線相連.
四個點都是奇點，無法一筆畫出；
（2）四個點，六條線.
每個點都與三條線相連，4個奇點，無法一筆畫出；
（3）五個點，八條線.
點O與四條線相連，其他四個頂點各與三條線相連.
1個偶點，4個奇點，無法一筆畫出；
第三組：
第三組：
（1）這個圖通常叫五角星.
五個角的頂點各與兩條線相連，其他各點都各與四條線相連.
全是偶點，可以一筆畫出；
（2）由一個圓及一個內接三角形構成.
三個交點，每個點都與四條線相連（這四條線是兩條線段和兩條弧線）.
全是偶點，可以一筆畫出；
（3）一個正方形和一個內切圓構成.
正方形的四個頂點各與兩條線相連，四個交點各與四條線相連（四條線是兩條線段和兩條弧線）.
全是偶點，可以一筆畫出；
第三組的三個圖雖然比較復雜，但每一個圖都可以一筆畫成，而且畫的時候從任何一點開始畫都可以.
那么是不是全是偶點就一定可以一筆畫出呢？我們來看下一組：
第四組：
（1）這是“品”字圖形，它由三個正方形構成，它們之間沒有線相連.
（2）這是古代的錢幣圖形，它是由一個圓形和中間的正方形方孔組成.圓和正方形之間沒有線相連.
第四組的兩個圖形叫不連通圖，顯然不能一筆把這樣的不連通圖畫出來.
定義及規(guī)律總結：
把和一條、三條、五條等奇數(shù)條線相連的點叫做奇點；把和兩條、四條、六條等偶數(shù)條線相連的點叫偶點，
①不連通的圖形必定不能一筆畫；能夠一筆畫成的圖形必定是連通圖形.
②有0個奇點（即全部是偶點）的連通圖能夠一筆畫成.（畫時可以任一點為起點，最后又將回到該點）.
③只有兩個奇點的連通圖也能一筆畫成（畫時必須以一個奇點為起點，而另一個奇點為終點）；
④奇點個數(shù)超過兩個的連通圖形不能一筆畫成.最后，綜合成一條判定法則：
有0個或2個奇點的連通圖能夠一筆畫成，否則不能一筆畫成.
能夠一筆畫成的圖形，叫做“一筆畫”.
用這條判定法則看一個圖形是不是一筆畫時，只要找出這個圖形的奇點的個數(shù)來就能行了，根本不必用筆試著畫來畫去.
綜上，在平面上，可以很快找出哪些圖形可以一筆畫，但轉換到立體圖形上，這個定理適用嗎？
以黃老師的認識，是可以的：
看下面幾個簡單的立體圖形:
正四面體，4個點都是奇點（各有三條線）所以不能一筆畫；
正六面體，8個點都是奇點（各有三條線）所以不能一筆畫；
正八面體，6個點都是偶點，所以可以一筆畫出；
……
正二十面體，超過2個奇點，所以不能一筆畫出。
學會了本節(jié)課的內容，是不是覺得自己瞬間也強大了起來？
