維度，又稱維數(shù)，是數(shù)學(xué)中獨立參數(shù)的數(shù)目。在物理學(xué)和哲學(xué)的領(lǐng)域內(nèi)，指獨立的時空坐標的數(shù)目。0維是點，沒有長度。1維是線，只有長度。2維是一個平面，是由長度和寬度(或曲線)形成面積。3維是2維加上高度形成體積。
人們對整數(shù)維度習以為常，幾乎可以不加思索地判斷出物的維度。想要認識非整數(shù)的維度，就先得重新思考一下整數(shù)的維度：為什么點是0維，線是1維，面是2維而體是3維？
為了方便起見，下面討論的幾何圖形都是直線構(gòu)成的圖形。
先看0維的點。
數(shù)學(xué)上的點，是無限小的，沒有體積、長度等大小概念。不論你對這個點放大縮小多少倍，它都還和原來一樣。換成數(shù)字描述，將一個點放縮x倍，”點“始終等于其自身，是自身的1倍（x^0=1）。
再看1維的線段。
對一條有限長度的線段，將其線度放大x倍，相應(yīng)地，線段本身就等于原來的x倍。比如放大2倍，需要2條原來的線段來填滿新的線段，放大5倍，就需要5條原來的線段來填滿新的線段（x^1）。
再看2維的平面圖形。
對一個正方形，將其線度放大x倍，也就是各條邊放大x倍，相應(yīng)地，放大以后的圖形是原來的x^2倍大小。比如每條邊放大2倍，得到的新的圖形就需要4個原來的正方形來填滿，放大3倍，就需要9個原來的正方形來填滿（x^2）。
最后看3維圖形。
相信機智如你，已經(jīng)總結(jié)出規(guī)律，不需要再多說了吧。
有上面的認識，維度D的計算公式就可以用通俗的語言總結(jié)如下，對一個圖形，將其線度上放大x倍后，需要y個原來的圖形來填滿，則其維度D
上面的公式相當樸素與原始，如果深究，還有許多值得商榷之處。關(guān)于維度的嚴謹定義，感興趣可以取了解一下豪斯道夫維度，閔可夫斯基上界維數(shù)，閔可夫斯基下界維數(shù)等。過于專業(yè)，此處不予討論。
接下來看兩個具有非整數(shù)維度的分形（fractal）的例子：
這是一個平面圖形，構(gòu)造方法比較簡單。首先取一個三角形，取各邊中點，連線，劃分成四個完全一樣的三角形。將中間的三角形去掉（如下圖中的A)。對剩下的三個小三角形，重復(fù)以上操作,就得到下圖中的B。這樣無限迭代下去，就得到了Sierpinski三角形。
如果將這個圖形各邊放大為原來的2倍，則只需要3個原來的圖形，就能填滿新的圖形，于是它的維度
類似地，對下面這樣的Sierpinski正方形，取各邊的三等分點，構(gòu)造過程與上面類似。
將這個圖形各邊放大3倍，則只需要8個原來的圖形，就能填滿新圖形，于是它的維度
該如何理解這種大于1又小于2的非整數(shù)維度呢？
可以通過“度量”來把握。假設(shè)一開始的圖形面積為單位1，每經(jīng)過一步操作，圖形面積都減小到原來的r倍（r<1，對Sierpinski三角形，r=3/4，對Sierpinski正方形，r=8/9)。于是經(jīng)過無窮次迭代后，其面積變?yōu)?。即Sierpinski地毯的面積為0。也就是說，該地毯處處都是漏洞。我們知道只有二維圖形才有面積，而Sierpinski地毯的維度小于2，故面積為0。另外，其維度又大于1，所以也不能通過有限長的直線將其覆蓋。這樣一想，是不是可以幫助理解這個介于1維到2維之間的奇怪圖形？
注意：Sierpinski地毯是無限迭代的結(jié)果。經(jīng)過任意有限次的操作后，圖形的面積都存在且大于0，其維度始終是2維，這個2維圖形不是“Sierpinski地毯”。
圖形的作法是，從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間長度為底邊，分別向外作正三角形，再把“底邊”線段抹掉。經(jīng)過無窮次這樣的操作，就會得到一個“雪花”樣子的曲線：
如果我們看科赫雪花的內(nèi)部，其面積有限，是一個標準的二維圖形。但這里需要澄清的是，與Sierpinski地毯不同，科赫雪花指的是它的邊。容易知道，如果將其放大3倍，需要4個原來的圖形才能填滿。于是其維度
通過計算可知，科赫雪花的長度為無窮，這與其維度大于1相符合。而科赫雪花本質(zhì)上還是“線”，不論經(jīng)過多少次迭代，這條“線”都不具有面積，面積為0。故維度小于2。
注意：Koch雪花是無限迭代的結(jié)果。經(jīng)過任意有限次的操作后，圖形的長度都是有限值，其維度始終是1維，都不是“Koch雪花”。
最后欣賞一下來自復(fù)數(shù)的Mandelbrot集合：
這是一個非常復(fù)雜的分形，具有無窮自相似的結(jié)構(gòu)。不一樣的距離，可以產(chǎn)生循環(huán)往復(fù)的美。設(shè)想它是一個島嶼，被熱帶海洋環(huán)繞著，你可以看到它在海面下的底部。現(xiàn)在，你從九霄云外出發(fā)，朝著他不斷墜落，拉近，乃至沉入，就能感受到“一沙一世界，一葉一天堂”的禪意。
