正文：
對(duì)于圓周率Pi，想必大部分人都不陌生，這個(gè)介于3到4之間的常數(shù)深入到了數(shù)學(xué)和物理各個(gè)方面，歐拉公式，高斯分布，傅里葉變換，廣義相對(duì)論的場(chǎng)方程，測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系......關(guān)于π的公式定理不勝枚舉。
在十進(jìn)制中，π≈3.14159...是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，（強(qiáng)行轉(zhuǎn)折）但是，有沒(méi)有可能，在某種特殊的條件下，π可以取到其他值，甚至不必是一個(gè)無(wú)理數(shù)，比如3或4呢？
想回答上面的問(wèn)題，需要弄明白π的跟腳。
數(shù)學(xué)上，π被定義為一個(gè)圓的周長(zhǎng)與其直徑之比。這個(gè)定義清晰無(wú)比，涉及到三個(gè)概念，圓，周長(zhǎng)，直徑。其中最根本的概念是“圓”，“周長(zhǎng)”和'直徑'都是對(duì)“圓”的特征描述。
那么，什么是“圓”？
圓...圓圓的...沒(méi)有角..能...滾起來(lái)的...太陽(yáng)那樣的...瞳孔...大頭兒子....就是圓？
將生活中經(jīng)驗(yàn)的模糊的概念抽象為精確的數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)家的基本素養(yǎng)。所謂圓，幾何上來(lái)看，就是到一個(gè)固定點(diǎn)的距離為常數(shù)的所有點(diǎn)的集合。
繼續(xù)挖掘。上面圓的概念中提到了距離，那么我們還要弄明白所謂“距離”的跟腳。
一般來(lái)說(shuō)，兩點(diǎn)之間的距離就是連接兩點(diǎn)的直線的長(zhǎng)度，等等，那直線是什么？長(zhǎng)度是什么？這樣下去問(wèn)題沒(méi)完沒(méi)了，還可能陷入循環(huán)定義當(dāng)中。所以，我們不從原始幾何的角度，而是從代數(shù)出發(fā)，建立平面坐標(biāo)系，兩個(gè)點(diǎn)之間的“距離”，就是根據(jù)勾股定理計(jì)算的下圖中直角三角形的斜邊長(zhǎng)度
直角三角形是什么？長(zhǎng)度是什么？上面的表述還沒(méi)有將“距離”的概念更好的抽象出來(lái)，依賴平面幾何中“直角”、“三角形”、“長(zhǎng)度”等概念。事實(shí)上，根據(jù)表達(dá)式，完全可以將這些概念去掉，而保留最本質(zhì)的東西：
所謂距離，就是從兩個(gè)二（多）元數(shù)組P1（x1,y1)、P2(x2,y2)到非負(fù)實(shí)數(shù)集合的一種映射，即
就是一個(gè)多元函數(shù)。在此意義下，所謂“圓”，就是到定點(diǎn)P0的距離d(P,P0)=r常數(shù)的所有點(diǎn)的集合。
現(xiàn)在搞清楚了，要嘗試圓周率Pi有沒(méi)有其他可能的取值，歸根結(jié)底就是要嘗試“距離”這一概念有沒(méi)有其他可能的定義。
數(shù)學(xué)不是無(wú)源水。生活中，“距離”確實(shí)有其他含義。地圖上，直線距離，步行距離，打車距離......街道距離。如下所示的街道，規(guī)定只能沿著灰色街道上下左右行走，那么從左下角到右上角的“距離”，就不是圖中的綠線，而是紅線、或者藍(lán)線、或者黃線。他們都是最短的路徑。也就是，兩點(diǎn)之間的“距離”。
思考一下，這樣的“距離”合不合理呢？
我們對(duì)這樣的“距離”，同樣提取其本質(zhì)，抽象出精確的數(shù)學(xué)概念：這個(gè)“距離”，也是從兩個(gè)二（多）元數(shù)組P1（x1,y1)、P2(x2,y2)到非負(fù)實(shí)數(shù)集合的一個(gè)映射，即
在此意義上，根據(jù)“圓”的定義，也就是到定點(diǎn)P0的距離d(P,P0)=r常數(shù)的所有點(diǎn)的集合，來(lái)定義新的“圓”。特別地，我們看“單位圓”，到原點(diǎn)（0，0）“距離”為1的“圓”：d(P,(0,0)）=1，也就是|x|+|y|=1所表示的圖形：
新的距離定義下的“圓”
這，這是圓？？？小編，這明明是個(gè)正方形，哪里像個(gè)“圓”？確實(shí)，這個(gè)“圓”反直覺，反生活，但在數(shù)學(xué)上完全沒(méi)有問(wèn)題，定義清楚，邏輯自洽，這就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的（在某種“距離”定義下的）“圓”。
好了，我們現(xiàn)在可以計(jì)算'圓周率'了。這個(gè)'圓'的直徑是......等等，'直徑'是什么？'圓'上關(guān)于'圓心'對(duì)稱的兩點(diǎn)之間的'距離'。容易證明，這個(gè)”圓“的直徑是定值2（還好是定值，不然就糟了）。再計(jì)算'周長(zhǎng)'：勾股定理，秒算，4根號(hào)2。等等，這不是新的'距離'定義下的'周長(zhǎng)'。這里的'周長(zhǎng)'，要用到新的'距離'概念。先計(jì)算四分之一'圓弧'的'長(zhǎng)度'，也就是（0，1）到（1，0）之間的連線的”長(zhǎng)度“。（0，1）到（1，0）之間的連線，在新的距離定義下，是一條”曲線“（想一想，WHY？)我們用類似的'以直代曲'計(jì)算曲線長(zhǎng)度的方法，計(jì)算這條”曲線“的長(zhǎng)度：
'以直代曲'
等于2。
于是'周長(zhǎng)'等于4*2=8。
于是'圓周率'
π'=8/2=4
大功告成。
奇怪嗎？先不要管結(jié)論如何奇怪，小編碼這么多字的目的，不是為了故弄玄虛，而是希望各位可以通過(guò)上面的過(guò)程，體會(huì)到數(shù)學(xué)的過(guò)程和方法、她的抽象性和邏輯性，以及如何思考和解決問(wèn)題。
最后，留一個(gè)小問(wèn)題，除了3.14159...和4，“圓周率”還可以取到其他值嗎？比如，3？
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