人類使用圓周率π有著相當(dāng)漫長的歷史，古人早就知道任何一個圓的周長和直徑之比是一個常數(shù)，這個常數(shù)被定義為圓周率，相關(guān)證明方法并不復(fù)雜。
如上圖所示，假設(shè)有兩個同心圓O1和O2，圓心為O，它們的半徑分別為r1和r2，并且r1<r2。然后把兩個同心圓分成n等份，考察其中一等份?？梢钥吹?，△AOB和△COD均為等腰三角形，OA=OB=r1，OC=OD=r2。再由∠AOB=∠COD，就能證明△AOB∽△COD。由此可得如下的關(guān)系：
圓O1和O2內(nèi)接正n邊形的周長p1和p2分別為：
p1=n·AB
p2=n·CD
如果圓分成的等份越多，那么，內(nèi)接正多邊形的周長就越接近于圓，所以圓O1和O2的周長c1和c2與p1和p2有如下的關(guān)系：
c1≈p1=n·AB
c2≈p2=n·CD
如果取極限，當(dāng)圓分為無窮多等份時，即n趨于無窮大時，內(nèi)接正多邊形的周長就會等于圓的周長，所以有如下的關(guān)系：
把上述兩式經(jīng)過變形可得如下的形式：
由于相似三角形的關(guān)系，AB/r1=CD/r2，所以可以得到如下的關(guān)系：
因此，任何圓的周長與直徑之比是一個常數(shù)，這個常數(shù)就是我們所說的圓周率π。
當(dāng)然，圓的周長與半徑的比值也是常數(shù)（記作τ，大約為6.28），之所以數(shù)學(xué)家沒有把這個常數(shù)定義為圓周率，是因為用圓的周長與直徑定義的常數(shù)使用起來更為方便，例如，用公式表示圓的面積時，πr^2顯然比τ/2r^2來得更方便。雖然曾有人主張把π換成τ，因為在某些公式中用τ會更簡潔，但也僅限于少數(shù)公式，所以π的地位無可撼動。
