機(jī)器學(xué)習(xí)干貨，一步一步通過(guò)Python實(shí)現(xiàn)梯度下降的學(xué)習(xí)

2019.04.22

Gradient Descent - 梯度下降

梯度下降法（英語(yǔ)：Gradient descent）是一個(gè)一階最優(yōu)化算法，通常也稱為最速下降法。要使用梯度下降法找到一個(gè)函數(shù)的局部極小值，必須向函數(shù)上當(dāng)前點(diǎn)對(duì)應(yīng)梯度（或者是近似梯度）的反方向的規(guī)定步長(zhǎng)距離點(diǎn)進(jìn)行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代進(jìn)行搜索，則會(huì)接近函數(shù)的局部極大值點(diǎn)；這個(gè)過(guò)程則被稱為梯度上升法。

以上是維基百科對(duì)梯度下降的解釋。

下面我們來(lái)一步一步的學(xué)習(xí)一遍：

什么是梯度下降？

為了方便，我們準(zhǔn)備一些數(shù)據(jù)，并通過(guò)Python繪制出圖像。

圖1：數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和圖像

如圖1所示，我們準(zhǔn)備了一組數(shù)據(jù)，x軸為體重（Weight）數(shù)據(jù)，y軸是身高（Height）數(shù)據(jù)，通過(guò)Python中 matplotlib 包，將數(shù)據(jù)圖像話。

此時(shí)，圖像中的點(diǎn)似乎呈現(xiàn)出線性的關(guān)系。

問題來(lái)了，我們?cè)趺礃尤フ业阶钇ヅ涞闹本€關(guān)系式呢？

有的同學(xué)會(huì)直接上手 線性回歸。自然沒錯(cuò)，但是今天的主角是 梯度下降。

那么，我們一起來(lái)用梯度下降的方式來(lái)解決這個(gè)問題吧！

第一步：假設(shè)函數(shù)關(guān)系 h(x)

既然上述圖像可以被看成是線性關(guān)系，我們就可以假設(shè)一個(gè)線性的函數(shù)關(guān)系式：h(x)；

Predicted Height = Intercept + Slope * Weight

身高的預(yù)測(cè)值 = y軸截距 + 斜率 * 體重

找到最優(yōu)化線性關(guān)系的問題就轉(zhuǎn)化成了：找到最優(yōu)的 y軸截距和斜率的問題。

用數(shù)學(xué)的方法來(lái)表示如下：

圖2：數(shù)學(xué)公式

在數(shù)據(jù)中，真實(shí)存在的 y值和預(yù)測(cè)值 h是存在誤差的。這個(gè)誤差可以用殘留誤差（Residual Error）來(lái)表示。

圖3

圖4：殘留誤差（Residual Error）

在圖4中，數(shù)據(jù)點(diǎn)（紅球）的y值與直線給出的預(yù)測(cè)值之間的誤差顯示為藍(lán)色的虛線。

在統(tǒng)計(jì)中，我們將所有誤差的平方和稱為
Sum of the Squared Residuals 殘值平方和；
在機(jī)器學(xué)習(xí)中，所有誤差的平方和稱為
損失函數(shù) Loss Function ~ J；

為什么損失函數(shù)里要用距離的平方而不是距離的絕對(duì)值？

大家有想過(guò)這個(gè)問題嗎？誤差是| 預(yù)測(cè)值_i - 實(shí)際值_i | ，那我取誤差絕對(duì)值的和的最小值不也可以稱為一個(gè)損失函數(shù)嘛。

千萬(wàn)不要以為這個(gè)平方是隨隨便便來(lái)的。背后是有道理的。

誤差 = 預(yù)測(cè)值_i - 實(shí)際值_i

這個(gè)誤差是符合一定概率分布的?？催^(guò)我之前的文章介紹海量數(shù)據(jù)的中心極限定理的朋友，應(yīng)該知道這個(gè)誤差可以被假定為：

平均值 u = 0，方差為σ 的正態(tài)分布。

圖5：正態(tài)分布

那么在已知正太分布的情況下，每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)誤差，而誤差出現(xiàn)的概率，準(zhǔn)確的說(shuō)是Likelihood是可以通過(guò) 正態(tài)分布的函數(shù)求得的。

圖6：likelihood（概率）

所有數(shù)據(jù)點(diǎn) 誤差概率相加

當(dāng)我們對(duì)上述函數(shù)取對(duì)數(shù)可得：

取對(duì)數(shù)

最大似然分析，不懂得看我之前的文章。我們要保證 L 最大，只要保證上式右邊值最大。

式子右邊第一項(xiàng)和第二項(xiàng)是定值，只要保證第三項(xiàng)最小就可以使 L最大。

由于 u = 0，只要sum((誤差值_i)^2) 最小就可以啦！

這就是為什么損失函數(shù) J要采用平方的數(shù)學(xué)解釋啦！

目標(biāo)：找到β0 和 β1使得損失函數(shù) J 最?。。?！

圖7：給出y和x的定義

在Python中，我們首先給β0 和 β1賦值為0，當(dāng)然可以賦值成任何值。

圖8：梯度下降

為什么叫梯度下降？

在圖8中，如果我們將每一個(gè)β0 和 β1對(duì)應(yīng)的的 殘值平方和作圖表示出來(lái)，就能發(fā)現(xiàn)局部最低點(diǎn)，也就是殘值平方和最小的點(diǎn)。圖8是只考慮斜率的情況下。如果同時(shí)考慮β0 和 β1，則是三維圖像，如圖9.

圖9

第二步：將β0 和 β1插入相關(guān)函數(shù)和導(dǎo)數(shù)中；

介紹了這么多梯度下降，接著我們就進(jìn)入如何使用梯度下降找到β0 和 β1吧！

小范圍的極小值點(diǎn)，我們會(huì)想到 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) = 0 對(duì)應(yīng)的 x 值。

圖10：一階導(dǎo)數(shù)

接下來(lái)，我們要定義一個(gè)重要的概念 學(xué)習(xí)效率（Learning Rate): a：梯度下降對(duì)于 Learning Rate的選擇非常敏感。

圖11：梯度下降

當(dāng)我們?cè)诋?dāng)前的β0 和 β1下無(wú)法使得損失函數(shù)對(duì)于β0 和 β1的偏微分為0。

損失函數(shù)對(duì)于β0 和 β1的偏微分可以理解成β0 和 β1 變化的梯度方向（如圖11）。那么，我們?cè)谶@個(gè)梯度下降的方向上給β0 和 β1做一個(gè)微小的移動(dòng)。

圖12

通過(guò)對(duì)β0 和 β1 最終找到是的損失函數(shù) J 最小的β0 和 β1。

Python實(shí)現(xiàn)梯度下降

圖13

先從β0 和 β1都為0開始，圖13中藍(lán)線。

我們運(yùn)行1000次，并且將直線的演變過(guò)程畫出來(lái)：

為了有些同學(xué)想自己試試，我把代碼復(fù)制如下：

import numpy as npfrom matplotlib import pyplot as plt%matplotlib inlinex_data = [1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]y_data = [1, 2, 3, 1, 4, 5, 6, 4, 7, 10, 15, 9]plt.plot(x_data, y_data, 'ro')plt.title('Height vs Weight')plt.xlabel('Weight')plt.ylabel('Height')# y = β0 + β1 * xβ0 = 0β1 = 0y = lambda x : β0 + β1 * xdef plot_line(y, data_points): x_values = [i for i in range(int(min(data_points)) - 1, int(max(data_points)) + 2)] y_values = [y(x) for x in x_values] plt.plot(x_values, y_values, 'b') plot_line(y, x_data)learning_rate = 0.001def summation(y, x_data, y_data): slope_β0 = 0 slope_β1 = 0 for i in range(1, len(x_data)): slope_β0 += y(x_data[i]) - y_data[i] slope_β1 += (y(x_data[i]) - y_data[i]) * x_data[i] return slope_β0 / len(x_data), slope_β1 / len(x_data)for i in range(1000): slope_β0, slope_β1 = summation(y, x_data, y_data) β0 = β0 - learning_rate * slope_β0 β1 = β1 - learning_rate * slope_β1 plot_line(y, x_data) plt.plot(x_data, y_data, 'ro')