1735年，28歲的歐拉解決了一個百年難題，巴塞爾問題。從當時一大堆著名數(shù)學家中脫穎而出，牛頓，萊布尼茨，伯努利家族。。。都倒在這個問題上。歐拉一戰(zhàn)成名，并且一發(fā)不可收拾，直到他完全統(tǒng)治了18世紀的歐洲數(shù)學界。我們來簡單回顧一下巴塞爾級數(shù)的表現(xiàn)形式。
巴塞爾級數(shù)
k=2時，ζ級數(shù)的和
這個結果是怎么得來的，之前的歐拉神作系列已經(jīng)講解得非常細致了。不太熟悉求解過程的同學們都可以去瞧瞧。這是一個了不起的結論，歐拉自然想到，既然這里可以取到自然數(shù)的平方倒數(shù)和，那假如就是求全體自然數(shù)的倒數(shù)和呢？
調(diào)和級數(shù)
這就是大名鼎鼎的調(diào)和級數(shù)，這個級數(shù)是發(fā)散的，既然發(fā)散的，求和就不可能了，但是仍然有性質(zhì)可挖。歐拉對于這個數(shù)列做的工作是，他得到了這個級數(shù)的一個非常好的調(diào)和級數(shù)的近似函數(shù)。
調(diào)和級數(shù)估值函數(shù)
這里的γ是歐拉常數(shù)，約等于0.57721566490153286，于是人們以后再去求解調(diào)和級數(shù)的前n項和時，就完全不必一項一項累加，直接用這個非常精準的估值公式即可。歐拉在研究了這兩個級數(shù)之后，開始了更一般情況的考慮。
這里的k是自然數(shù)，如果k=1時，上面的式子是調(diào)和級數(shù)，k=2時，就是巴塞爾問題。事實上，歐拉可以選擇繼續(xù)讓k=3,4,5...一直嘗試探究下去。但是這仿佛有點機械式處理的意思，歐拉可不干。歐拉及時調(diào)整了研究方向，并最終得到了一個堪稱金鑰匙的法寶。
歐拉：我又來了
我們重現(xiàn)一下歐拉的工作：
金鑰匙第一步推導
到了(5)式這里，我們暫且緩一緩，先來分析一下每步的意義。從(1)跳轉到(2)式，歐拉“故意”地給(1)式左邊增加一個負重，我們仿佛難以揣測歐拉做這一步的出發(fā)點在哪兒。但是這樣處理之后，用(1)式-(2)式之后，我們發(fā)現(xiàn)，(3)式里，已經(jīng)沒有了偶數(shù)項，只有奇數(shù)項。我們也可以這么理解，這么做，將所有2的倍數(shù)項都隱藏起來了。接下來的(3)-(4)之后，我們就可以在(5)右邊更加清晰地發(fā)現(xiàn)，這里已經(jīng)既沒有2的倍數(shù)，也沒有3的倍數(shù)了。
如果這兩步的過程我們能夠接受，那么(5)式，再進行類似的步驟之后，我們會發(fā)現(xiàn)，式子的右邊會逐漸剔除，2,3,5,7...這些數(shù)字的倍數(shù)項。如果給你全體自然數(shù)，讓你逐步剔除2,3,5,7。。。這些數(shù)字的倍數(shù)，那么剩下的數(shù)字還會是什么？當然就只會留下素數(shù)了！
古希臘數(shù)學家埃拉托斯特尼
在這個數(shù)字被層層淘汰的過程像極了用篩子一遍遍過濾掉雜質(zhì)，最后得到結晶的過程。在素數(shù)研究領域，有個古老又很有效的方法——埃拉托斯特尼篩法。開創(chuàng)者是古希臘數(shù)學家埃拉托斯特尼，他也是有史以來第一個測量出地球直徑的數(shù)學家。這個簡單又有效找出一定范圍內(nèi)素數(shù)的方法，其實大家可能都已經(jīng)遇到過了，這也是計算機編程初學者必須要掌握的方法了。
篩法的定義是：
給出要篩數(shù)值的范圍n，找出根號n以內(nèi)的素數(shù)p1,p2,p3...
先用2去篩，即把2留下，把2的倍數(shù)剔除掉；再用下一個素數(shù)，也就是3篩，把3留下，把3的倍數(shù)剔除掉；接下去用下一個素數(shù)5篩，把5留下，把5的倍數(shù)剔除掉；不斷重復下去......,篩到最后留下數(shù)字就是我們要的素數(shù)了。
篩法的具體操作
好了，回到繼續(xù)歐拉的工作上來。我們繼續(xù)(5)式以后的過程。
金鑰匙第二步推導
請注意，這里的(7)式還不完全就是歐拉得到的金鑰匙。我們檢查一下上面的推導過程，雖然這里的k是從1,2延伸得來的，我們理所應當?shù)卣J為后面的k也應該都是自然數(shù)。然而縱觀這個公式的推導過程，我們仿佛沒有用到k是自然數(shù)這個天然的限制條件，僅僅只是把k當做一個數(shù)字進行而已。歐拉顯然也注意到了這點，1737年，也就是在解決了巴塞爾級數(shù)問題兩年之后，歐拉將這里的k改寫成任意復數(shù)s，并且s的實部，即Re(s)>1,上式成立。于是金鑰匙終于現(xiàn)身，也就是：
金鑰匙真身
這個公式也叫歐拉乘積公式，是以歐拉命名的公式里相當出彩的一支。
既然這個公式號稱是金鑰匙，那我們就來小試牛刀來檢驗一下成色。我們從全新的角度來證明“素數(shù)有無窮多個”這個經(jīng)典的問題。
金鑰匙證明素數(shù)有無窮多個
這里，我們只是簡單地使用了一下歐拉乘積公式在s=1的特殊情況，就解決了這個經(jīng)典的素數(shù)問題。我們都有個明顯的印象，很多跟素數(shù)相關的，看似平淡無奇的猜想，動不動就是幾百年都沒有進展。歐拉乘積公式好不容易也帶上了素數(shù)的結論，不去攻克素數(shù)方面的超級難題，那實在是太不應該了。上面的方法來證明素數(shù)無窮多個，其實并不比歐幾里得的方法復雜多少，這些推導過程同樣優(yōu)美典雅。
歐拉乘積公式堪稱金鑰匙
黎曼接過了歐拉的這個閃閃的金鑰匙，并且用自己的技術把這個工具推到極致。1859年，黎曼發(fā)表了一篇驚世駭俗的論文《論小于某給定值的素數(shù)的個數(shù)》，在這個僅僅8頁里，黎曼重新研究了關于ζ(s)級數(shù)的性質(zhì)，并且將古往今來關于素數(shù)個數(shù)的研究推到頂峰，一百五十多年過去了，仍然是頂峰！
逼格最高的黎曼大神
如果說上面的素數(shù)無窮多個的證明是小打小鬧，那黎曼的在歐拉的基礎上擴展的工作就是專業(yè)上的絕對實力了。人們想象不到，素數(shù)分布的全部奧秘會隱藏在這個極不起眼的級數(shù)中。黎曼的估計函數(shù)在大范圍內(nèi)與真實素數(shù)個數(shù)的吻合度簡直令人咋舌！
黎曼J(x)與真實素數(shù)個數(shù)函數(shù)π(x)的吻合情況
高斯每次只把他認為成為一家成熟的結論發(fā)表出來，并且會盡力地隱藏他得到成果的路徑。有人說高斯就像是一只走完沙丘就用尾巴掃平痕跡的老狐貍，那黎曼就是發(fā)表什么都像是從天而降，你不但看不到他得出這個結論的手法，甚至，你壓根不能理解這樣的結論怎么會出現(xiàn)在那個時代。
黎曼猜想
且不說他的研究領域基本上都沒啥關系，黎曼幾何，素數(shù)分布，黎曼積分。。。就只說在那篇8頁的論文里用到的許許多多類似“明顯地”，“顯而易見”，“容易得到”這些詞匯。這些很多在他看來根本不值得在論文里出現(xiàn)的重要推導過程被他一帶而過，但是他過高地認為了同時代乃至后世的數(shù)學家能夠達到的水平。
論在數(shù)學界的逼格，高斯輸給黎曼
論文一開始發(fā)布的時候，人們那被這些“顯而易見”坑得不輕。開始懷疑黎曼是不是真的已經(jīng)把研究進行到了那種天人合一的境界，也許只是在跟世人開個玩笑。但是他的研究太有吸引力了，無數(shù)的數(shù)學家沿著黎曼開創(chuàng)的道路艱苦摸索，每隔幾十年，人們都會發(fā)現(xiàn)當年黎曼用過某些“顯而易見”是對的，這絕不是隨手所得，而是經(jīng)過無比詳盡的推導之后，才能把最精華的內(nèi)容留在論文里。再到后來，人們發(fā)現(xiàn)了黎曼留下的殘存的手稿，甚至在黎曼去世幾十年之后，人們重新整理了他的手稿，并且從中出土了非常有效的求非平凡零點的公式。至此，黎曼躋身人類最偉大的數(shù)學家前五是毫無疑義的了。
黎曼曠世論文手稿
歐拉從來都不是那種解決一個難題就放在一邊的快槍手，而是一個通過表面的研究來觸及問題的根本。就像他發(fā)現(xiàn)的金鑰匙工具一樣，到了黎曼這里變成了核武器，成就了人類素數(shù)研究領域的最高成就。
