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「予人玫瑰, 手留余香」
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希帕索斯，生活于大約公元前500年，生卒年月不詳，屬于畢達哥拉斯學派門生.
公元前5世紀，畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數”，世界上只有整數和分數(有理數). 而希帕索斯卻發(fā)現了令人震驚的“無限不循環(huán)小數”，即無理數，令該學派感到恐慌，并引發(fā)了第一次數學危機. 有傳言說最終希帕索斯被自己的老師畢達哥拉斯(Pythagoras)判決淹死.
正文
01
被懲罰的哲人
正如希臘神話中許多英雄一樣, 哲學家希帕索斯(Hippasus)被傳說要接受神的懲罰.
但他錯在哪兒了呢? 是他殺人了. 還是他破壞了神圣的儀式. 都不是! 希帕索斯的罪源于一個數學證明 - 無理數的發(fā)現.
希帕索是畢達哥拉斯學派中的一員, 他們對于數字有著宗教般的崇敬.
他們的格言"萬物皆數"(All is Number): 暗示著他們認為數字是宇宙建立的基石, 而且他們也相信任何事物從宇宙研究到音樂發(fā)展, 從形而上學到道德觀念歸, 根到底都是數字比例的問題.
因此，任何數字都可以被寫成一個比例形式（分數）.
5就是5/1, 0.5就是1/2等等, 甚至一個可以被無限延伸的十進制數字, 也可以被準確表示成34/45.
這些數字都被稱為有理數(Rational ), 而希帕索斯卻發(fā)現了一個背離這種和諧規(guī)律的數字 - 一個本不該存在的數字 .
02
反證法證明存在著無理數
這個問題起源于一個非常簡單的圖形一個四邊長度均為單位 1 的正方形.
根據畢達哥拉斯的理論這個正方形的對角線長度應該為 , 但是無論希帕索斯如何嘗試都不能將 變?yōu)閮蓚€整數的比例形式. 他并沒有選擇放棄而是決定證明這個數字確實無法被比例表示出來.
希帕索斯首先假設畢達哥拉斯的"萬物皆數"的觀點是正確的, 是可以被表示成兩個整數之比.
他假設這兩個整數分別為 p 和 q, 并假定這個比例已經被最簡化. 因此，p 和 q 應該沒有相同公約數, 要證明 并不是有理數, 希帕索斯只需要證明 p/q 并不存在即可.
他將等號兩側均乘以 q , 然后兩側均計算平方, 這樣得到了一個等式.
任何數字乘以 2 的結果都是偶數, 所以 p 的平方是偶數如果 p 是奇數，則 p 的平方不可能為偶數因為奇數乘以本身，得到的還是奇數, 所以 p 也應該是一個偶數. 因此，p 可以表示為 2a, 其中 a 也是一個整數. 把這個等式帶入原來的方程，并簡化得到：q^2 = 2a^2. 再一次，任何數字乘以 2 得到的結果為偶數, 所以 q 的平方一定是偶數, 那么q也一定是偶數, 這就得到 p 和 q 都是偶數的結果.
但如果這是正確的話 p 和 q 就有一個共同的因子 2, 這就跟最初的題設矛盾!!
至此，希帕索斯得以證明, 這樣的比例是不存在的, 這被稱為矛盾證明法. 而根據傳說上帝并不喜歡矛盾的存在.
03
無理數可以畫出來
有趣的是，即便我們無法將無理數表示成為整數的比例形式, 我們卻可以將它準確表現在圖形之中, 以 為例. 我們需要做的就是準確的畫出一個兩條直角邊均為單位一的三角形, 他的的斜邊的長度就是 .
這同時也可以被延伸下去, 我們可以繼續(xù)畫另外一個直角三角形, 其中一條邊以剛才的斜邊為基礎，另一條邊長度為單位1, 這個三角形的斜邊程度就是單位 ,
它同時還可以繼續(xù)被延展下去, 關鍵問題是小數和分數都只是表現數字的方法之一, 只是一個邊長為單位一的直角三角形的斜邊長度罷了相似的.
著名的無理數 π 也是與它描述的圖形關系, 一樣代表者圓周長和半徑的比例, 近似值 22/7 或者 355/133 是永遠無法準確的表達出 π 值的.
我們永遠也無法知道在希帕索斯身上到底發(fā)生過什么, 但是我們知道他的發(fā)現引發(fā)了第一次數學危機并激勵更多數學家繼續(xù)前行, 所以無論神話里面怎么說, 永遠不要害怕去探索不可能!
