中考沖刺：幾何綜合問題—知識講解（基礎）
【中考展望】
幾何綜合題是中考試卷中常見的題型，大致可分為幾何計算型綜合題與幾何論證型綜合題，它主要考查學生綜合運用幾何知識的能力.這類題型在近幾年全國各地中考試卷中占有相當?shù)姆至?，不僅有選擇題、填空題、幾何推理計算題以及代數(shù)與幾何的綜合計算題,還有更注重考查學生分析問題和解決問題能力的探究性的問題、方案設計的問題等等.主要特點是圖形較復雜，覆蓋面廣、涉及的知識點較多，題設和結論之間的關系較隱蔽，常常需要添加輔助線來解答.
幾何綜合題的呈現(xiàn)形式多樣，如折疊類型、探究型、開放型、運動型、情景型等，背景鮮活，具有實用性和創(chuàng)造性，考查方式偏重于考查考生分析問題、探究問題、綜合應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.
以幾何為主的綜合題常常在一定的圖形背景下研究以下幾個方面的問題：
1、證明線段、角的數(shù)量關系（包括相等、和、差、倍、分及比例關系等）；
2、證明圖形的位置關系（如點與線、線與線、線與圓、圓與圓的位置關系等）；
3、幾何計算問題；
4、動態(tài)幾何問題等.
【方法點撥】
一、幾何計算型綜合問題，常常涉及到以下各部分的知識：
1、與三角形有關的知識；
2、等腰三角形，等腰梯形的性質(zhì)；
3、直角三角形的性質(zhì)與三角函數(shù)；
4、平行四邊形的性質(zhì)；
5、全等三角形，相似三角形的性質(zhì)；
6、垂徑定理，切線的性質(zhì)，與正多邊形有關的計算；
7、弧長公式與扇形面積公式.
二、幾何論證型綜合題的解答過程，要注意以下幾個方面：
1、注意圖形的直觀提示，注意觀察、分析圖形，把復雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過
添加輔助線補全或構造基本圖形；
2、注意分析挖掘題目的隱含條件、發(fā)展條件，為解題創(chuàng)造條件打好基礎，要由已知聯(lián)想經(jīng)
驗，由未知聯(lián)想需要，不斷轉(zhuǎn)化條件和結論來探求思路，找到解決問題的突破點；
3、要運用轉(zhuǎn)化的思想解決幾何證明問題，運用方程的思想解決幾何計算問題，還要靈活運用
數(shù)學思想方法如數(shù)形結合、分類討論、轉(zhuǎn)化、方程等思想來解決問題.
【典型例題】
類型一、動態(tài)幾何型問題
1．如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間（0≤t≤6），那么：
⑴當t為何值時，△QAP為等腰直角三角形？
⑵求四邊形QAPC的面積；提出一個與計算結果有關的結論；
⑶當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似？
【思路點撥】⑴中應由△QAP為等腰直角三角形這一結論，需補充條件AQ=AP，由AQ=6－t，AP=2t，可求出t的值；
⑵中四邊形QAPC是一個不規(guī)則圖形，其面積可由矩形面積減去△DQC與△PBC的面積求出；
⑶中由于題目中未給出三角形的相似對應方式，因此需分類討論.
【答案與解析】
解：（1）對于任何時刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t．
當QA=AP時，△QAP為等腰直角三角形，即6-t=2t，解得：t=2（s），
所以，當t=2s時，△QAP為等腰直角三角形．
（2）在△QAC中，QA=6-t，QA邊上的高DC=12，
∴S△QAC=QA·DC=
（6-t）·12=36-6t．
在△APC中，AP=2t，BC=6，
∴S△APC=AP·BC=·2t·6=6t．
∴S四邊形QAPC=S△QAC+S△APC=（36-6t）+6t=36（cm2）．
由計算結果發(fā)現(xiàn)：在P、Q兩點移動的過程中，四邊形QAPC的面積始終保持不變．（也可提出：P、Q兩點到對角線AC的距離之和保持不變）
（3）根據(jù)題意，可分為兩種情況，在矩形ABCD中：
①當時，△QAP∽△ABC，則有：，解得t=1.2（s），
即當t=1.2s時，△QAP∽△ABC；
②當時，△PAQ∽△ABC，則有：，解得t=3（s），
即當t=3s時，△PAQ∽△ABC；
所以，當t=1.2s或3s時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似．
【總結升華】本題是動態(tài)幾何題，同時也是一道探究題．要求學生具有一定的發(fā)現(xiàn)、歸納和表達能力，這就要求我們通過計算分析，抓住其本質(zhì)，揭示出變中不變的規(guī)律．四邊形QAPC的面積也可由△QAC與△CAP的面積求出，；⑶中考查了分類討論的數(shù)學思想，結論具有一定的開放性.
2．（永春縣校級月考）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高為4，動點M從點B出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度向終點C運動；動點N同時從點C出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．設運動的時間為t秒
（1）直接寫出梯形ABCD的中位線長；
（2）當MN∥AB時，求t的值；
（3）試探究：t為何值時，使得MC=MN．
【思路點撥】（1）直接利用梯形中位線的定理求出即可；
（2）平移梯形的一腰，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求解；
（3）利用MC=MN時，結合路程=速度×時間求得其中的有關的邊，運用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識求解．
【答案與解析】
解：（1）∵AD=3，BC=10，
∴梯形ABCD的中位線長為：（3+10）÷2=6.5；
（2）如圖1，過D作DG∥AB交BC于G點，則四邊形ADGB是平行四邊形．
∵MN∥AB，
∴MN∥DG，
∴BG=AD=3．
∴GC=10﹣3=7．
由題意知，當M、N運動到t秒時，CN=t，CM=10﹣2t．
∵DG∥MN，
∴△MNC∽△GDC．
∴=，
即=．
解得，t=；
（3）當MC=MN時，如圖2，過M作MF⊥CN于F點，FC=NC=t．
∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，
∴△MFC∽△DHC，
∴=，
即=，
解得：t=．
綜上所述，t=時，MC=MN．
【總結升華】解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒動，通過分析動態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關系求解，但是對于大多數(shù)題目來說，都有一個由動轉(zhuǎn)靜的拐點.
3.（2016秋·泗陽縣期末）（1）已知：如圖1，△ABC為等邊三角形，點D為BC邊上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE，連接CE．求證：①BD=CE，②AC=CE+CD；聰明的小明做完上題后進行了進一步變式探究．
（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，點D為BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE，類比題（1），請你猜想線段BD、CD、DE之間會有怎樣的關系，請直接寫出，不需論證；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若D點在BC的延長線上運動，以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE．
①題（2）的結論還成立嗎？請說明理由；
②連結BE，若BE=10，BC=6，求AE的長．
【思路點撥】（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，進而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出結論；②由△ABD≌△ACE，以及等邊三角形的性質(zhì)，就可以得出AC=DC+CE；
（2）先判定△ABD≌△ACE（SAS），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根據(jù)勾股定理得出CE2+CD2=DE2，即可得到BD2+CD2=DE2；
（3）①運用（2）中的方法得出BD2+CD2=DE2；②根據(jù)Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得CE==8，進而得出CD=8﹣6=2，在Rt△DCE中，求得DE==，最后根據(jù)△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的長．
【答案與解析】
解：（1）①如圖1，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
②∵BD=CE，AC=BC，
又∵BC=BD+CD，
∴AC=CE+CD；
（2）BD2+CD2=DE2．
證明：如圖2，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°，
∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，
∴BD2+CD2=DE2；
（3）①（2）中的結論還成立．
理由：如圖3，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°=∠ECD，
∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，
∴BD2+CD2=DE2；
②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6，
∴CE==8，
∴BD=CE=8，
∴CD=8﹣6=2，
∴Rt△DCE中，DE==，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=．
【總結升華】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應用.
舉一反三：
【變式】△ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個動點，BP=BA，若＜∠PBC＜180°，且∠PBC平分線上的一點D滿足DB=DA，
（1）當BP與BA重合時（如圖1），∠BPD= °；
（2）當BP在∠ABC的內(nèi)部時（如圖2），求∠BPD的度數(shù)；
（3）當BP在∠ABC的外部時，請你直接寫出∠BPD的度數(shù)，并畫出相應的圖形．
【答案】（1）∠BPD= 30°；
（2）如圖3，連結CD．
∵ 點D在∠PBC的平分線上，
∴ ∠1=∠2．
∵ △ABC是等邊三角形，
∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°．
∵ BP=BA，
∴ BP=BC．
∵ BD= BD，
∴ △PBD≌△CBD．
∴ ∠BPD=∠3．
∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD，
∴ △BCD≌△ACD．
∴ ．
∴ ∠BPD =30°．
（3）∠BPD= 30°或 150°.
類型二、幾何計算型問題
4.如圖，直角三角形紙片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折疊該紙片使點B與點C重合，折痕與AB、BC的交點分別為D、E.
(1) DE的長為 ；
(2) 將折疊后的圖形沿直線AE剪開，原紙片被剪成三塊，其中最小一塊的面積等于 ．
【思路點撥】（1）由題意可得：DE是線段BC的垂直平分線，易證DE∥AC，即DE是△ABC的中位線，即可求得DE的長；
（2）由DE∥AC，DE=AC，易證△AOC∽△EOD，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得OA：OE=2，然后求得△ACE的面積，利用等高三角形的面積比等于對應底的比，即可求得答案．
【答案與解析】
（1）根據(jù)題意得：DE⊥BC，CE=BE，
∵∠ACB=90°，
即AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴AD=BD，
∴DE=AC=×8=4；
（2）∵DE∥AC，DE=AC，
∴△AOC∽△EOD，
∴OA：OE=AC：DE=2，
∵CE=BC=×6=3，
∵∠ACB=90°，AC=8，
∴S△ACE=CE·AC=×3×8=12，
∴S△OCE=S△ACE=4，
∴S△ADE+S△ODE=S△ABC-4-12=8，
∴其中最小一塊的面積等于4．
【總結升華】考查了折疊的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意數(shù)形結合思想的應用，注意掌握折疊前后圖形的對應關系,是一道典型的幾何綜合題．
舉一反三
【變式】在邊長為2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE為BC邊上的高，將△ABE沿AE所在直線翻折得△AB′E，那么△AB′E與四邊形AECD重疊部分的面積是 .
【答案】在Rt△ABE中，∵∠B=45°，AB=2，
∴AE=BE= ，∴S△ABE=1．
由翻折的性質(zhì)可知：△AB′E≌△ABE，∴EB′=EB=
∴B′C=BB′－BC=2－2，
∵四邊形ABCD是菱形，∴CF∥BA．
∴∠ B′FC=∠B′AB=90°, ∠B′CF=∠B=45°
∴CF=， ∴S ==3－2
∴S陰=S－S=2－2．
5．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10 cm，CD=4cm，等腰直角△PMN的斜邊MN=10 cm， A點與N點重合， MN和AB在一條直線上，設等腰梯形ABCD不動，等腰直角△PMN沿AB所在直線以1 cm／s的速度向右移動，直到點N與點B重合為止.
(1)等腰直角△PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由________形變化為________形；
(2)設當?shù)妊苯恰鱌MN移動x (s)時，等腰直角△PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y(cm2)，求y與x之間的函數(shù)關系式；
(3)當x=4 (s)時，求等腰直角△PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積.
【思路點撥】（1）根據(jù)已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN，根據(jù)等腰直角三角形的判定判斷即可；推出∠DAB=∠PNM=45°，根據(jù)等腰梯形的判定判斷即可；
（2）可分為以下兩種情況：
①當0＜x≤6時，重疊部分的形狀為等腰直角△EAN，AN=x（cm），過點E作EH⊥AB于點H，則EH平分AN，求出EH，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；②當6＜x≤10時，重疊部分的形狀是等腰梯形ANED，求出AN=x（cm），CE=BN=10-x，DE=x-6，過點D作DF⊥AB于F，過點C作CG⊥AB于G，求出DF，代入梯形面積公式求出即可.
【答案與解析】
(1)等腰直角三角形；等腰梯形.
(2)等腰直角△PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重合部分圖形的形狀可分為以下兩種情況：
①當0＜x≤6時，重疊部分的形狀為等腰直角△EAN(如圖①).此時AN=x(cm)，過點E作EH⊥AB于點H，則EH平分AN，
∴EH=AN=x， ∴y=S△ANE=AN·EH=x·x=.
②當6＜x≤10時，重疊部分的形狀是等腰梯形ANED(如圖②)．
此時，AN=x(cm)，∵∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC，
∵CE∥BN，∴四邊形ENBC是平行四邊形，
CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6，
過點D作DF⊥AB于F，過點C作CG⊥AB于G，
則AF=BG，DF=AF=(10-4)=3，
∴y=S梯形ANED=(DE+AN)·DF=(x-6+x)×3=3x-9.
綜上，.
(3)當?shù)妊苯恰鱌MN運動到PN邊經(jīng)過點D時，移動時間為6(s)，
∴當x=4 (s)時，y=x2=×42=4.
∴當x=4 (s)時，等腰直角△PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積是4cm2.
【總結升華】本題主要考查對等腰梯形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的面積，平移的性質(zhì)，等腰直角三角形等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關鍵．
舉一反三：
【變式】如圖，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°．點M、N同時以相同速度分別從點A、點D開始在AB、AD(包括端點)上運動.
(1)設ND的長為x，用x表示出點N到AB的距離，并寫出x的取值范圍；
(2)當五邊形BCDNM面積最小時，請判斷△AMN的形狀.
【答案】
(1)過點N作BA的垂線NP，交BA的延長線于點P.則AM=x，AN=20-x.
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，
∴∠PAN=∠D=30°.
在Rt△APN中，PN=AN×sin∠PAN=(20-x)，即N到AB距離為(20-x).
∵點N在AD上，0≤x≤20，點M在AB上，0≤x≤15，∴x取值范圍是0≤x≤15.
(2)∵S五邊形BCDNM=S梯形-S△AMN且S梯形為定值，
∴當S五邊形BCDMN最小時，應使S△AMN最大
據(jù)(1)，S△AMN=AM·NP=.
∵＜0，∴當x=10時，S△AMN有最大值.
∴當x=10時，S五邊形BCDNM有最小值．
當x=10時， 即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN．
則當五邊形BCDNM面積最小時，△AMN為等腰三角形.
