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如圖：直角三角形ABC，AB=8，BC=6，AC=10.D在AC從A往B運(yùn)動(dòng)，每秒2個(gè)單位，E在BC從B往C運(yùn)動(dòng)，每秒1個(gè)單位，EF始終平行AB。當(dāng)時(shí)間為何值時(shí)，四邊形AFED為平行四邊形

1.表示線段

2.求解DE∥AC

3.A字形相似時(shí)即可

4.解方程

1．（寧波期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始，沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A開(kāi)始，沿邊AB向點(diǎn)B以每秒5/3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，且恰好能始終保持連結(jié)兩動(dòng)點(diǎn)的直線PD⊥AC，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始，沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ．點(diǎn)P，D，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另兩個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BQPD的面積為△ABC面積的一半？

（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

【分析】（1）先根據(jù)題意用t表示出CQ，AP，AD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理得出PD的長(zhǎng)，由S四邊形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD即可得出t的值；

（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等即可得出結(jié)論．

【解答】

解：（1）∵由題意可得：CQ＝2t，AP＝t，AD＝5/3t，

∴BQ＝8﹣2t，CP＝6﹣t．

又∵PD⊥AC，

∴PD＝√AP2-√AD2＝4/3t．

∵S四邊形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD，

∴24﹣（1/2×2t×（6﹣t）+1/2t×4/3t）＝12，

（t﹣9)2＝45，解得t＝9±3√5，

t＝9+3√5（不合題意，舍去），

∴當(dāng)t＝9﹣3√5時(shí)，四邊形BQPD的面積為三角形ABC面積的一半；

（2）存在，t＝2.4（秒）．

若四邊形BQPD為平行四邊形，則BQ與PD平行且相等，

即：3/4t＝8﹣2t，

解得t＝2.4．

答：存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形，此時(shí)t＝2.4秒．

1．（2018春·達(dá)川區(qū)期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥BC，交AB于點(diǎn)D，連接PQ，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB＝　8﹣2t　，PD＝3/4t　；

（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

（3）如圖2，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

【分析】

（1）根據(jù)題意得到CQ＝2t，AP＝t，求出BQ，證明△ADP∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PD；

（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法列出關(guān)于t的方程，解方程即可；

（3）以點(diǎn)C為原點(diǎn)，以AC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出直線M′M′′的解析式，根據(jù)一次函數(shù)圖象上得的坐標(biāo)特征得到PQ的中點(diǎn)M在直線M′M′′上，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

【解答】

解：（1）由題意得，CQ＝2t，AP＝t，

則BQ＝8﹣2t，

∵DP⊥AC，BC⊥AC，

∴PD∥BC，

∴△ADP∽△ABC，

∴AP/AC＝PD/BC，即t/6＝PD/8，

解得，PD＝4/3t，

故答案為：8﹣2t；4/3t；

（2）存在，

∵PD∥BC，

∴當(dāng)PD＝BQ時(shí)，四邊形PDBQ為平行四邊形，

∴8﹣2t＝4/3t，

解得，t＝2.4，

則當(dāng)t＝2.4時(shí)，四邊形PDBQ為平行四邊形；

（3）以點(diǎn)C為原點(diǎn)，以AC所在的直線為x軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，

由題意得，0≤t≤4，

當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（3，0），

當(dāng)t＝4時(shí)，點(diǎn)M′′的坐標(biāo)為（1，4），

設(shè)直線M′M′′的解析式為：y＝kx+b，

則，

3k+b=0

k+b=4

解得，k=-2，b=6

∴直線M′M′′的解析式為：y＝﹣2x+6，

由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6﹣t，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，2t）

∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為[(6-t)/2，t]，

當(dāng)x＝(6-t)/2時(shí)，y＝﹣2×(6-t)/2+6＝t，

∴點(diǎn)M在直線M′M′′上，

作M′′N⊥x軸于N，

則M′′N＝4，M′N＝2，

由勾股定理得，M′M′′＝√42+√22＝2√5，

∴線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為2√5．

2．（2014春·湖北校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB∥OC，A（0，12），B（21，12），C（16，0）．一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)在線段OC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、O同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．

（1）設(shè)△PQC面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCB是平行四邊形？并求出此時(shí)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQC是以PQ為腰的等腰三角形？并求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

【分析】

（1）根據(jù)題意可得QO＝t，QC＝16﹣t，根據(jù)三角形的面積公式可得S＝×12×（16﹣t），再整理可得關(guān)系式；

（2）由題意得：QP＝2t，QO＝t，PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t，根據(jù)平行四邊形的判定可得21﹣2t＝16﹣t，再解方程即可；

（3）①當(dāng)PQ＝CQ時(shí)，122+t2＝（16﹣t)2，解方程得到t的值，再求P點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)PQ＝PC時(shí)，由題意得：QM＝t，CM＝16﹣2t，進(jìn)而得到方程t＝16﹣2t，再解方程即可．

【解答】

解：（1）運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QO＝t，

∵CO＝16，

∴QC＝16﹣t，

∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上移動(dòng)，

∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為12，

∴S＝1/2×12×（16﹣t）＝﹣6t+96；

（2）由題意得：AP＝2t，QO＝t，

則：PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t，

∵當(dāng)PB＝QC時(shí)，四邊形PQCB是平行四邊形，

∴21﹣2t＝16﹣t，

解得：t＝5，

∴P（10，12），Q（5，0）；

（3）當(dāng)PQ＝CQ時(shí)，過(guò)Q作QN⊥AB，

由題意得：122+t2＝（16﹣t)2，

解得：t＝7/2，

故P（7，12）Q（7/2，0），

當(dāng)PQ＝PC時(shí)，過(guò)P作PM⊥x軸，

由題意得：QM＝t，CM＝16﹣2t，

t＝16﹣2t，

解得：t＝16/3，

2t＝32/3，

故P（ 32/3，12）Q（16/3，0）．