前言 PREFACE
姜勝昊老師 專注初中數(shù)學(xué)壓軸
定時更新最干貨的初中數(shù)學(xué)壓軸題型講解。
青島中考數(shù)學(xué)壓軸填空題都是線段的求解，線段求解在全國里面非常的常見，這也是考察學(xué)生對于幾何綜合理解的能力。大家可以學(xué)習(xí)對比，這也是綜合幾何處理最精彩的地方。
實操真題講解
1．（2020·青島）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，點E在CD的延長線上，連接AE，點F是AE的中點，連接OF交AD于點G．若DE＝2，OF＝3，則點A到DF的距離為4√5/5．
【分析】
解法一：根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AO＝DO，∠ADC＝90°，求得∠ADE＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DF＝AF＝EF＝1/2AE，根據(jù)三角形中位線定理得到FG＝1/2DE＝1，求得AD＝CD＝4，過A作AH⊥DF于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．
解法二：同理得FG的長，利用勾股定理計算DF的長，最后根據(jù)△ADF的面積列等式可得AH的長．
【解答】
解：解法一：∵在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，
∴AO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵點F是AE的中點，
∴DF＝AF＝EF＝1/2AE，
∴OF垂直平分AD，
∴AG＝DG，
∴FG＝1/2DE＝1，
∵OF＝3，
∴OG＝2，
∵AO＝CO，
∴CD＝2OG＝4，
∴AD＝CD＝4，
∴AE＝√AD2+√DE2＝√42+√22＝2√5．
過A作AH⊥DF于H，
∴∠H＝∠ADE＝90°，
∵AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAE，
∴△ADH∽△EAD，
∴AH/DE=AD/AE，
∴AH/2=4/（2√5），
∴AH＝4√5/5，
即點A到DF的距離為4√5/5
，
解法二：在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，
∴AO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵點F是AE的中點，
∴DF＝AF＝EF＝1/2AE，
∴OF垂直平分AD，
∴AG＝DG，
∴FG＝1/2DE＝1，
∵OF＝3，
∴OG＝2，
∵AO＝CO，
∴CD＝2OG＝4，
∴AD＝CD＝4，
∴DG＝2，
∴DF＝√DG2+√FG2＝√(4+1)＝√5，
過A作AH⊥DF于H，
∴∠H＝∠ADE＝90°，
∴S△ADF＝1/2DF·AH＝1/2AD·FG，
∴AH＝4√5/5，
故答案為：4√5/5．
【點評】
本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
2．（2019·青島）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點，將正方形紙片折疊，點B落在線段AE上的點G處，折痕為AF．若AD＝4cm，則CF的長為 （6﹣2√5） cm．
【分析】
設(shè)BF＝x，則FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（2√5﹣4)2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x)2+22，從而得到關(guān)于x方程，求解x，最后用4﹣x即可．
【解答】
解：設(shè)BF＝x，則FG＝x，CF＝4﹣x．
在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝2√5．
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AG＝AB＝4，所以GE＝2√5﹣4．
在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（2√5﹣4)2+x2，
在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x)2+22，
所以（2√5﹣4)2+x2＝（4﹣x)2+22，
解得x＝2√5﹣2．
則FC＝4﹣x＝6﹣2√5．
故答案為6﹣2√5．
【點評】
本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理．折疊問題主要是抓住折疊的不變量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．
3．（2018·青島）如圖，已知正方形ABCD的邊長為5，點E、F分別在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE與AF相交于點G，點H為BF的中點，連接GH，則GH的長為√34/2．
【分析】
根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB＝AD，每一個角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“邊角邊”證明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，進一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，從而知GH＝1/2BF，利用勾股定理求出BF的長即可得出答案．
【解答】
解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵AB=AD
∠BAE=∠D
AE=DF
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵點H為BF的中點，
∴GH＝1/2BF，
∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝√BC2+√CF2＝√34，
∴GH＝1/2BF＝√34/2，
故答案為：√34/2．
【點評】
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識，掌握三角形全等的判定方法與正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2017·青島）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E為對角線AC的中點，連接BE，ED，BD．若∠BAD＝58°，則∠EBD的度數(shù)為 32 度．
【分析】
根據(jù)已知條件得到點A，B，C，D在以E為圓心，AC為直徑的同一個圓上，根據(jù)圓周角定理得到∠DEB＝116°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE＝BE＝AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】
解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴點A，B，C，D在以E為圓心，AC為直徑的同一個圓上，
∵∠BAD＝58°，
∴∠DEB＝116°，
∵DE＝BE＝1/2AC，
∴∠EBD＝∠EDB＝32°，
故答案為：32．
【點評】
本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，圓周角定理，推出A，B，C，D四點共圓是解題的關(guān)鍵．
5．（2016·青島）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E為BC上一點，CE＝5，F(xiàn)為DE的中點．若△CEF的周長為18，則OF的長為（7/2）
【分析】
先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DE的長，再由勾股定理得出CD的長，進而可得出BE的長，由三角形中位線定理即可得出結(jié)論．
【解答】
解：∵CE＝5，△CEF的周長為18，
∴CF+EF＝18﹣5＝13．
∵F為DE的中點，
∴DF＝EF．
∵∠BCD＝90°，
∴CF＝1/2DE，
∴EF＝CF＝1/2DE＝6.5，
∴DE＝2EF＝13，
∴CD＝√DE2-√CE2＝√132-√52＝12．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝12，O為BD的中點，
∴OF是△BDE的中位線，
∴OF＝1/2（BC﹣CE）＝1/2（12﹣5）＝7/2．
故答案為：7/2．
【點評】
本題考查的是正方形的性質(zhì)，涉及到直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，難度適中．
