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“一題多解”

是從不同角度、不同方法去分析問題，解決問題，對于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維是十分必要的。但“一題多解”的最終目的不是來展示有多少種解決問題的途徑，也不是所有的題目都需要用多種方法去解答，而是要尋求一種最佳、最近的途徑。那么，在“一題多解”后進行“一題多思”，思考問題解答的整個過程，包括解答過程中遇到的難點及突破難點的方法，解答過程中用到的數(shù)學思想方法，問題解答的經(jīng)驗，對于尋求最佳、最近的途徑和提高學生的數(shù)學思維能力都是很有幫助的。

今天，我們就以一道幾何題為例，談談從“一題多解”到“一題多思”。

例題

在△ABC中，點D為BC中點，AB=5，AD=6，AC=13，試判斷AD與AB的位置關系.

分析：在平面上，兩條線段的位置關系分為平行和相交兩大類。其中，相交的特殊情形是垂直。先觀察圖形，AD與AB很像垂直關系；再分析數(shù)字5、13、6與勾股數(shù)5、13、12很接近，而題目中的6是中線長，倍長中線后就能構造出12。所以初步猜想：AD與AB的位置關系是垂直。接下來，考慮如何證明猜想：AD與AB的位置關系是垂直。

代數(shù)法

在△ ABD中，求出BD邊的長，由勾股定理的逆定理證明結論。

方法一

要求出線段BD的長，考慮使用勾股定理，又能使用上5、6、13三條邊，過A作AE垂直BC交BC于E,則AB、AD、AC都在以AE為直角邊的直角三角形中，

平方得

∴△ ABD是直角三角形，∠BAD=90°，AB⊥AD.

此方法思路很常規(guī)，作垂直，設AE=x,利用勾股定理建立方程，解關于x的方程，最后得到BD的長，再根據(jù)勾股定理逆定理判斷.但是計算顯得有些煩雜，難度略大。

方法二

作輔助線如方法一，目的就是為了求BD的長，作AE垂直于BC，目的為了使用上已知的幾條邊，

設BD=a,設BE=x,則DE=(a-x),CE=(2a-x)

由勾股定理可得，

AE2=AB2-BE2=AD2-DE2=AC2-CE2,

選取AB2-BE2=AD2-DE2=AC2-CE2其中兩個等式進行計算,不妨選擇

AB2-BE2=AD2-DE2， AD2-DE2=AC2-CE2，代入得

52-x2=62-(a-x)2 ①

62-(a-x) 2=132-（2a-x）2 ②

由①得 2ax=a2-11

由②得 2ax=3a2-133

則a2-11=3a2-133

a2=61

BD2=61=AB2+AD2

∴△ ABD是直角三角形，∠BAD=90°，AB⊥AD.

此方法在第一種方法的基礎上，直接設BD=a,再設了個輔助未知數(shù)BE=x,利用勾股定理建立等量關系，解方程，當對方程組進行化簡的時候發(fā)現(xiàn)，可以使用整體代入法直接求出a2，計算量不大，但在設未知數(shù)的時候，略費工夫。此處輔助未知數(shù)x作用重大，設而不求，把幾條邊之間的數(shù)量關系表示得非常清楚

幾何法

可以倍長中線，得到數(shù)字12；也可以構造中位線，利用中位線性質得到12。

再利用幾何圖形的性質把數(shù)字5、12、13放到一個三角形中，由勾股定理逆定理證明結論。

方法三

D是BC中點，已知的三條邊不在一個三角形中，考慮倍長中線的辦法

如圖

延長AD至E,使AD=DE,易證△BDE≌△CDA ，則BE=AC=13，在△ABE中，BE2=AB2+AE2，則△ ABE是直角三角形，∠BAD=90°，AB⊥AD.

倍長中線法是典型方法，帶有一定的技巧，此方法是利用了構造全等三角形把AC轉移到了與求證有關的一個三角形中，根據(jù)勾股定理逆定理可以判斷三角形的形狀，從而判斷出兩直線的位置關系。

此種思路還有如下輔助線的作法：

過C作CE∥AB交AD延長線于E, 易證△ABD≌△ECD,CE=5，AE=2DE=12，

在△ACE中，AC2=AE2+CE2，

則△ ACE是直角三角形，∠E=90°，

∵CE∥AB,∴∠E=∠BAD=90°，AB⊥AD.

（還可以連接BE、CE變成矩形來思考）

方法四

此處AB=5，AC=13，AD=6， 5,12,13，就是一組勾股數(shù)，可以利用構造以AD為中位線的三角形解決問題.

延長BA至F，使AF=BA，連接CF，則AD是△BCF的中位線，

CF∥AD且CF=2AD=12,

在△AFC中，AF=5，CF=12，AC=13，

所以△AFC為直角三角形，∠F=90°，CF∥AD，∴∠F=∠BAD=90°，AB⊥AD.

根據(jù)三角形中位線的性質，平行于底邊且等于底邊的一半。平行可以轉移角，而一半或者2倍的數(shù)量關系可以轉化我們所需要的線段，這種方法在很多類似的題目中經(jīng)常用到。

思考

以上四種解法展示了一題多解，分別從代數(shù)和幾何的方法進行了求解。正如前面所說：“一題多解”的最終目的不是來展示有多少種解決問題的途徑，也不是所有的題目都需要用多種方法去解答，而是要尋求一種最佳、最近的途徑。

下面我們對這道例題的“一題多解”進行“一題多思”，思考問題解答的整個過程及難點突破的方法，解答過程中用到的數(shù)學思想方法和學生已有的解題經(jīng)驗，以求遇到問題時能夠選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行突破，提高分析問題、解決問題的能力。

在初中數(shù)學階段，我們證明兩條線段垂直的常用方法有：1、勾股定理逆定理；2、一邊的中線等于這邊的一半，則這邊所對的角為直角；3、等腰三角形三線合一；4、直徑所對的圓周角為直角?？紤]到學生的已有學習經(jīng)驗和這道例題的條件，選擇使用勾股定理逆定理來證垂直。

確定了方法之后，我們接下來從不同的角度思考問題。

從形的方面看，AB與AD的位置關系是垂直。在△ ABD中，已知AB、AD的長，如果能夠求出BD的長，則可直接利用勾股定理的逆定理證明結論。方法一和方法二就是在這個思路的指導下，先做垂線，構造直角三角形，再設未知數(shù)，由勾股定理建立等量關系，通過代數(shù)的方法來求解。此時是“以形助數(shù)”，但顯然計算量很大，比較繁瑣。

從數(shù)的方面看，5、13與6的2倍是勾股數(shù)。通過倍長中線或者中位線構造6的2倍，得到數(shù)字12，把5、13、12放在一個三角形中，很容易得到直角三角形，此時是“以數(shù)輔形”，非常直觀，基本上沒有計算量。

數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。在面對一個數(shù)學幾何問題時，我們可以從數(shù)的角度看，“以數(shù)輔形”；也可以從形的角度看，“以形助數(shù)”。從而找到解決問題的最優(yōu)途徑。

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