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如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，且OA=4，點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，如果把△AOB沿著直線BC折疊，那么點(diǎn)A恰好落在y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)D處．
（1）求直線AB的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）求線段CD的長；
（4）求tan∠ABC的值．

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題．

專題：綜合題．

分析：（1）由OA的長得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入y=kx+3中求出k的值，從而確定出直線AB的表達(dá)式；
（2）令直線AB的表達(dá)式中的x=0，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得到OB的長，由OA的長，利用勾股定理求出AB的長，由折疊可知三角形ABC與三角形DBC全等，故AB與BD相等，由BD的長求出OD的長，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）由折疊可知三角形ABC與三角形DBC全等，所以∠BAO與∠BDC相等，它們的正切值也相等，根據(jù)正切函數(shù)定義列出比例式求出OC的長，利用勾股定理可求出CD；
（4）由折疊可知三角形ABC與三角形DBC全等，所以∠ABC與∠DBC相等，把要求的tan∠ABC轉(zhuǎn)換為tan∠DBC，根據(jù)正切函數(shù)定義求出值即可．

解答：解：（1）由OA=4得到：A（4，0），代入y=kx+3中得：
4k+3=0，解得：k=-

3

4

，
則直線AB的表達(dá)式為y=-

3

4

x+3；

（2）令x=0得：y=-

3

4

×0+3=3，故B（0，3），
則OB=3，又OA=4，根據(jù)勾股定理得：AB=5，
由折疊可知：△ABC≌△DBC，∴AB=BD=5，
∴OD=2，故點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，-2）；

（3）由折疊可知：△ABC≌△DBC，
∴∠BAO=∠BDC，
則tan∠BAO=tan∠BDC，即

BO

AO

=

OC

OD

，則OC=

3×2

4

=

3

2

，
在Rt△OCD中，CD=

OC2+OD2

=

5

2

．

（4）由折疊可知：△ABC≌△DBC，∠ABC=∠DBC，
則tan∠ABC=tan∠DBC=

OC

OB

=

3 2

3

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義以及一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．本題的關(guān)鍵是由折疊得三角形全等，利用全等得對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，借助轉(zhuǎn)化的思想解決數(shù)學(xué)問題．