你相信嗎，僅僅利用一張日落的照片，你就能得出地球的半徑大??！ Princeton 大學(xué)的 Robert Vanderbei 在最近的一篇論文中對一張攝于密歇根湖的日落照片進行了分析，不但證實了地球是圓的，還依據(jù)照片上的內(nèi)容對地球半徑進行了估算。我把計算的大致過程向大家描述一下，供大家膜拜。
這是因為——想到這個問題的答案并不容易——地球是圓的。上圖就是人站在地球上看日出的一個比例夸張版示意圖，其中 O 為地球的中心， A 為人眼的位置， AB 為視平線， B 點為水天交界處。由于太陽距離我們相當遙遠，因此我們把太陽光看作是一束理想的平行光線。我們把直接射入人眼的太陽光與 AB 的夾角記為 α ，把經(jīng)過水面上的一點 C 反射進入人眼的光線與 AB 的夾角記為 β 。從圖上可見，視角 β 比 α 小，也就是說太陽在水面上的鏡像比本身要小一些。
β 究竟比 α 小多少呢？對照片進行精確地測量，可知太陽的直徑相當于照片中的 317 個像素，而露出水面的部分高 69 像素，水中的倒影則只有 29 像素。眾所周知太陽的視直徑（看太陽的視角）為 0.5 度，因此我們就得到 α = 0.5 * 69 / 317 ≈ 0.1088 度， β = 0.5 * 29 / 317 ≈ 0.0457 度。
如果再已知人眼（或者說相機）離水面的垂直距離 h 為 2 米，那么根據(jù)這些數(shù)據(jù)我們就足以估算出地球的半徑了。不妨把 ∠AOB 記為 φ ，把 ∠AOC 記為 θ ，把人眼到水天相接處的距離 AB 記為 D ，把人眼到反射點的距離 AC 記為 d ，入射角和反射角記為 γ ，最后用 r 來表示地球半徑，那么此時我們一共有 6 個未知量。為了求解出這 6 個未知數(shù)，我們需要尋找 6 個不同的方程。這 6 個方程可以由以下 6 組等量關(guān)系得到：
1. 四邊形 OBAC 的內(nèi)角和為 360° ，即 (φ – θ) + 90° + β + (180° – γ + 90°) = 360° ， 化簡得 方程(1) φ + β = θ + γ
2. 兩條平行線的同旁內(nèi)角相加為 180° ，即 (α + β) + (180° – 2γ) = 180° ，即 方程(2) α + β = 2γ
3. 由于 AO = h + r ，同時又有 AO = AD + DO = D·sinφ + r·cosφ ，因此有 方程(3) h + r = D·sinφ + r·cosφ
4. BD 既可以等于 D·cosφ ，又可以等于 r·sinφ ，于是有 方程(4) D·cosφ = r·sinφ
5. 由于 AO = h + r ，同時又有 AO = AE + EO = d·sin(γ+θ) + r·cosθ ，因此有 方程(5) h + r = d·sin(γ+θ) + r·cosθ
6. CE 既可以等于 d·cos(γ+θ) ，又可以等于 r·sinθ ，于是有 方程(6) d·cos(γ+θ) = r·sinθ
一系列復(fù)雜的代數(shù)運算（省略數(shù)百字）最終告訴我們：
r = h / (√1 – 2·cosβ·cosγ + cos2γ / sinβ – 1)
其中 γ = (α + β)/2 。代入已知的 α 、 β 和 h 可以得到，地球半徑 r 大約為 7.29312 * 106 米，也即 7293 千米。
這個估算的誤差有多大呢？事實上，地球的半徑大約為 6300 多千米，可見誤差不是一般的大。不過，考慮到我們估算的依據(jù)僅僅是一張照片，能把數(shù)量級估對就已經(jīng)相當牛 B 了。除了測量的精度之外，還有很多潛在的因素會導(dǎo)致誤差。目前看來，誤差的最主要來源似乎是不完全平靜的水面——一點小小的波浪就會給 α 、 β 的值帶來巨大的影響。
