前不久，筆者談過“黃金分割和白銀分割及其在建筑學(xué)中的應(yīng)用”。其實，黃金比例和東方比例并不是建筑設(shè)計中的唯二選擇。這次我們再介紹一個塑膠比例及其在建筑設(shè)計中的應(yīng)用。
所謂塑膠數(shù)()是指代數(shù)方程 的唯一實數(shù)解 ：
顯然，塑膠比例也像白銀比例一樣也是黃金比例的一個推廣。白銀比例是一種在平面上的推廣，而塑膠比例則是一種向空間的推廣，因為它的方程中出現(xiàn)了三次方。為了更直觀地看到這一點，讓我們看下面的兩個圖：
在圖 1 的左邊，我們看到的是黃金比例使得兩個矩形中的三個對角共線；右邊表示的是塑膠比例使得兩個立方體的三個對角共線。所以，塑膠比例是黃金比例在三維空間的推廣。
讓我們再從另一個角度來比較黃金比例和塑膠比例。
如圖 2（左），給一條線段 ，將 按黃金分割的比例在中間加一個點 ，使得 。然后在大的子區(qū)間 上再次按黃金分割加一個點 ，使得 。這時，我們發(fā)現(xiàn)，?，F(xiàn)在我們把這四條線段按長度排序，就得到了圖 2（右），其中有
也就是說，我們得到了對稱的兩個點（或者說兩個線段）。從建筑學(xué)的角度來說，這不一定是一件好事，因為建筑師追求的的是和諧與相似。
現(xiàn)在讓我們重復(fù)上面的步驟，如圖 3（左），將線段 按塑膠分割的比例在中間加一個點 ，使得 。然后在大的子區(qū)間 CB 上再次按塑膠分割加一個點 ，使得 。我們看到，這時 。我們把全部六條線段按長短排列出來（圖 3（右）），我們發(fā)現(xiàn)：
從和諧的角度來看，這個結(jié)果比黃金分割給出的結(jié)果好多了。
作為對照，下面的圖 4 （左）是塑膠矩形，（右）則為黃金矩形。
這個矩形看起來似乎沒有那么美妙，因為它過于“肥胖”。不過，從建筑學(xué)方面來看，它也有其獨到之處。事實上，提出這個數(shù)的正是 1928 年一位荷蘭本篤派教士建筑學(xué)家漢斯·范德蘭（Hans van der Laan，1904–1991）從建筑設(shè)計的角度提出的。我們不知道他為社么他用了塑膠數(shù)這個名字。可能范德蘭當(dāng)時感覺到了第一次世界大戰(zhàn)后，化學(xué)技術(shù)的進步導(dǎo)致了新型塑料的爆炸式增長，特別是德國人開發(fā)的聚苯乙烯（PS）和聚氯乙烯（PVC）。
范德蘭認(rèn)為人們在心里上其實是按這個數(shù)來為物品分類的。當(dāng)然人們不會把一個無理數(shù)用于日常。他用的是一個近似值：。他的思考是這樣的：比如你有一大堆大大小小的圓圈，你可以按半徑給他們排序。但如果你想把把他們分為大、中、小類，那么兩個圓相差多大你就認(rèn)為它們應(yīng)該屬于兩個不同的類呢？這個問題大概屬于心理學(xué)的范疇。范德蘭請人做了一個實驗。他的結(jié)論是，當(dāng)兩個圓的半徑比值大于 時，它們就應(yīng)該屬于不同的兩類；當(dāng)兩個圓的半徑相差 時，它們就應(yīng)該屬于同一類。所以給定一個線段，把它分成七等份，那么從左邊數(shù)在第 個結(jié)點上把這個線段分為兩節(jié)，那么就相當(dāng)于用塑膠比例進行劃分了。
范德蘭用這個思想建造了許多建筑。下面是他在 1967 年為荷蘭的圣本尼迪克圖斯貝格修道院（St. Benedictusberg Abbey）設(shè)計的教堂。見圖 5：
另一個更精彩的作品是他設(shè)計的羅森堡修道院（Roosenberg Abbey）的入口。這個修道院在比利時。如果讀者有機會去參觀，請告訴我們你看到了多少塑膠矩形。
讓我們再看幾個塑膠比例的性質(zhì)。塑膠比例也可以寫成連分式，但其結(jié)果并不漂亮。如果用連根式的話，就漂亮多了：
能有比這個更簡單的連根式嗎？那就是：
黃金比例可以生成黃金螺旋，而塑膠比例也可以生成一個封閉的螺旋。見圖 7，假定中間的等邊三角形的邊長為 6，在它邊上的三個灰色等邊三角形的邊長為 ，它們周圍的三個淺灰色的等邊三角形的邊長為 ，依次類推，無限次地進行下去。這些三角形就形成了三個螺旋并覆蓋了整個區(qū)域。
還有一個用邊長按塑膠比例縮小的正方形系列做成的正方形向內(nèi)螺旋的方法。這個方法也很有趣。
給定一個正方形。問如何能把它劃分為三個相似的矩形？答案是一共有三種辦法。其中之一就要用到塑膠比例 （準(zhǔn)確地說是 ）。我們把細(xì)節(jié)留在下面的圖片里：
建筑風(fēng)格是百花齊放的。黃金比例、白銀比例和塑膠比例是其中的幾個重要的例子。奇妙的是，它們在一組簡單的代數(shù)方程下達到了統(tǒng)一。這就是數(shù)學(xué)的力量。
