廣義相對論的想法源于1907年，當時愛因斯坦受邀寫一篇關于狹義相對論的綜述文章。愛因斯坦注意到牛頓理論依賴于絕對同時性(absolute simultaneity)的概念，筆者以為確切的說法應是引力相互作用的即時性問題((instantaneity)。如何改造牛頓力學使其象電動力學呢，如同在電動力學里那樣引入時間延遲?但那樣的效應很小，且會得出一些錯誤的結(jié)果，比如拋體會因為存在側(cè)向速度其下落距離要短一些。愛因斯坦覺得不能在狹義相對論的框架內(nèi)解決這個問題。愛因斯坦后來說他之所以發(fā)展廣義相對論是對狹義相對論偏愛慣性運動不滿意，一個從一開始就不偏愛任何運動狀態(tài)的理論應該更讓人滿意些。狹義相對論的洛倫茲不變性太窄了，應該構(gòu)造相對于四維連續(xù)統(tǒng)上非線性坐標變換的物理定律不變性。
牛頓引力場中的自由落體感覺不到自己的重量，這一事實給了愛因斯坦以醒酬灌頂似的啟發(fā)。愛因斯坦覺得引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量之間的等價性不是偶然的，它應該更有深意，可以基于這個弱等價原理去擴展狹義相對論。進一步地，愛因斯坦認識到勻加速運動和均勻引力是等價的，或者直截了當?shù)卣f勻加速運動產(chǎn)生一個均勻引力場[6]—這意味著引力場可以用加速度(數(shù)學上為二階微分形式)描述。加速度意味著速度的不停變化，結(jié)合狹義相對論坐標變換中速度描述時空坐標系的轉(zhuǎn)動，顯然引力場的相對論必然涉及彎曲時空。還有重要的一點是，馬赫的力學批判引導愛因斯坦認為某個運動狀態(tài)占優(yōu)是由宇宙中的物質(zhì)分布造成的，則物質(zhì)分布應可自其所產(chǎn)生之引力場中的自由落體徑跡推知。這樣，到1912年夏天愛因斯坦手里有了構(gòu)成廣義相對論的諸多重要元素，他還需要合適的數(shù)學工具把思想翻譯成方程。
廣義協(xié)變性要求物理定律在所有的參考框架內(nèi)應該取相同的數(shù)學形式。對非慣性參考框架要求物理定律不變，其實就是要求(二階微分方程形式的)物理定律對含二階微分項的變換的某種不變性，即微分同胚協(xié)變性”。這是一個強的、絕對性的約束。這個不變性的要求以及要構(gòu)造的引力論本質(zhì)上是幾何的理論決定了張量語言是合適的表達工具。愛因斯坦為此不得不花時間學習張量的數(shù)學(圖4)，試著在其上每一點狹義相對論都成立的洛倫茲流型上構(gòu)造能描述引力的張量場。
即便有了物理思想與數(shù)學工具的準備，也并不存在指向正確的非線性引力場方程的明確路徑。愛因斯坦能指望的就是基于哲學思考和對偉大綜合理論的向往[11]去猜測了。從質(zhì)量密度ρ產(chǎn)生的弱靜引力場出發(fā)，其度規(guī)張量的分量g00近似地為g00~-(1 + 2φ)，其中φ是由泊松方程▽2φ=4πGρ所決定的牛頓引力勢。注意到非相對論性能量密度T00~ ρ，可得到關系▽2 g00=-8πGT00。這啟發(fā)了愛因斯坦去猜測對于一般的能量-動量張量Tμν，引力場的方程應該取Gμν=-8πGTμν的形式。顯然張量Gμν應該具有度規(guī)張量的二階微分的量綱?？紤]到能量-動量張量Tμν是對稱的且在協(xié)變微分的意義上是守恒的等因素，愛因斯坦選取了Gμν=Rμν-1/2Rgμν從而最終到了廣義相對論的場方程Rμν-1/2Rgμν=-8πGTμν [2,11,12]。能量-動量張量成了時空彎曲的起源，因此廣義相對論是引力的幾何理論。如同在狹義相對論中那樣，物體運動沿時空中的測地線進行，廣義相對論彎曲時空中的測地線方程為。用數(shù)學的語言，所謂的測地線就是流型上能平行移動其切矢量的曲線。
有趣的是，愛因斯坦在1915年11月報告了其廣義相對論場方程的內(nèi)容，1916年3月正式發(fā)表，但是針對此引力場方程的一個解已由Schwarzschild在1916年1月就給出了。1917年，愛因斯坦期望從場方程得到一個靜態(tài)宇宙的解，于是引人了宇宙常數(shù)項，由此場方程變成了Rμν-1/2Rgμν+Λgμν=-8πGTμν的形式[[13]。
圖五 （上）托勒密宇宙體系中天空是遙遠的背景，右下角代表天穹的符號?是量子力學標志性的符號；（下）廣義相對論關注宇宙大尺度的結(jié)構(gòu)。
在廣義相對論之前的物理學，即便采用了日心說，也還是離地不遠的物理學。天空，或者更遙遠的宇宙，是作為敘事背景存在的。1917年愛因斯坦將廣義相對論用于模型化宇宙的大尺度結(jié)構(gòu)，引導了引力論與現(xiàn)代宇宙學的發(fā)展[11,14]，只是有了廣義相對論以后，宇宙的大尺度結(jié)構(gòu)才成了物理學研究的對象(圖5)。愛因斯坦的廣義相對論不只是帶來了宇宙圖景認識的革命，也為理論物理學帶來了獨特的研究模式—憑借哲學與數(shù)學支撐的理性思維去洞察自然的奧秘。愛因斯坦的思想一直主導著其后基礎物理的研究模式。愛因斯坦強調(diào)的研究方向，包括物理幾何化、非線性(真正的物理定律不可能是線性的也不可能從線性得到)以及關于場之拓撲的考慮(其實就是注重理論架構(gòu)及物理現(xiàn)實的整體性，反映的是其整體論的哲學)，在過去幾十年間得到了長足的進展。廣義相對論還促進了幾何學的大發(fā)展和催生了統(tǒng)一理論的發(fā)展。雖然最終的大統(tǒng)一理論尚未成功，但是強一電磁一弱三種相互作用的統(tǒng)一依然是個了不起的進步，為物理學打開了更加廣闊的視野。此外，雖然閔可夫斯基是對稱性作為物理學主導原則的肇始者，愛因斯坦在構(gòu)造相對論過程中對對稱性原則的推崇以及成功運用讓對稱性原則更加深入人心，使之成了指導和塑造理論物理的決定性概念或者原則。坐標變換不變性給出了廣義相對論，阿貝爾規(guī)范對稱性給出了電磁學，而非阿貝爾規(guī)范對稱性給出非阿貝爾規(guī)范場，這些都是對稱性原則在基礎物理領域的勝利。對稱性原則加上對稱性破缺如今也是凝聚態(tài)物理研究的范式。
廣義相對論是愛因斯坦一個人的輝煌，但廣義相對論卻不是無源之水。從樸素相對論簡單的參照點平移下的不變性，伽利略相對論的關于絕對時空中觀察者勻速運動的不變性，到閔可夫斯基空間中的洛倫茲不變性，再到一般贗黎曼流型上二階微分方程(或者二次型微分形式)的坐標變換不變性，相對論是一條綿密的思想河流。它一定程度上—愚以為—是對(物理學上時空結(jié)構(gòu)與動力學所涉及的)二階微分方程變換不變性理論的由易到難的探索。愛因斯坦憑一己之力建立起相對論，不光是靠天才的大腦，重要的因素還包括其對電磁學細節(jié)的熟悉，德國社會深厚的哲學與數(shù)學底蘊對愛因斯坦的熏陶和幫助，前者得益于馬赫、康德、萊布尼茲等人，后者得益于格羅斯曼、閔可夫斯基和希爾伯特等人。因此愛因斯坦是幸運的，也從來都是謙虛的，其所追求的物理學之表述都是清晰簡單的(圖6)。如果把相對論同愛因斯坦的熱力學成就相參校，也許對這種哲學、數(shù)學與物理學的協(xié)同效應在愛因斯坦身上的天才體現(xiàn)會有更深刻的認識。檢視愛因斯坦其人其事，筆者有時甚至覺得是否可以這樣說，(理論)物理學是得以數(shù)學化的自然哲學。此外，愛因斯坦后期把精力的大部分都花在尋求大統(tǒng)一場論的建立上并一直為其作辯護—自從廣義相對論被創(chuàng)建以來這個問題就一直盤踞在他的腦海里。追求物理理論框架的大統(tǒng)一，是德意志這個遲來的民族國家追求統(tǒng)一的集體潛意識在物理學上的投射。
廣義相對論是純粹理性思維的巔峰之作。但是，考察愛因斯坦創(chuàng)立廣義相對論的過程，無疑會看到愛因斯坦從未放棄把物理實在性作為其理論的錨點。在廣義相對論創(chuàng)立之前，愛因斯坦就預言了光線在引力場中的偏轉(zhuǎn)以及光譜在引力場深處的紅移[15]，在廣義相對論發(fā)表的同時愛因斯坦就用該理論計算了水星近日點的進動。愛因斯坦的引力理論被接受，不只是因為其優(yōu)雅的數(shù)學結(jié)構(gòu)和能夠納人此前的牛頓理論的事實，更在于它始終關切可實證的物理實在。愛因斯坦構(gòu)建廣義相對論時所采取的思維方式，其對數(shù)學簡單性的追求以及對實在性、整體論哲學的堅持，在一百年后的今天對理論物理——甚至其它自然科學領域——的研究依然具有不可忽視的指導意義。
