專題26 矩形與正方形
（滿分：100分 時(shí)間：90分鐘）
班級(jí)_________ 姓名_________ 學(xué)號(hào)_________ 分?jǐn)?shù)_________
一、單選題(共10小題，每小題3分，共計(jì)30分)
1．（浙江中考真題）四邊形具有不穩(wěn)定性，對(duì)于四條邊長(zhǎng)確定的四邊形．當(dāng)內(nèi)角度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，其形狀也會(huì)隨之改變．如圖，改變正方形ABCD的內(nèi)角，正方形ABCD變?yōu)榱庑?/span>ABC′D′．若∠D′AB＝30°，則菱形ABC′D′的面積與正方形ABCD的面積之比是（ ）
A．1 B．
【答案】B
【分析】
如圖，連接DD＇,延長(zhǎng)C＇D＇交AD于E，由菱形ABC＇D＇，可得AB∥C＇D＇,進(jìn)一步說明∠ED＇D=30°,得到菱形AE=AD;又由正方形ABCD,得到AB=AD,即菱形的高為AB的一半,然后分別求出菱形ABC＇D＇和正方形ABCD的面積,最后求比即可．
【詳解】
解：如圖：延長(zhǎng)C＇D＇交AD于E
∵菱形ABC＇D＇
∴AB∥C＇D＇
∵∠D＇AB=30°
∴∠A D＇E=∠D＇AB=30°
∴AE=AD
又∵正方形ABCD
∴AB=AD,即菱形的高為AB的一半
∴菱形ABC′D′的面積為，正方形ABCD的面積為AB2．
∴菱形ABC′D′的面積與正方形ABCD的面積之比是．
故答案為B．
2．（內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在正方形
A．15° B．35° C．45° D．55°
【答案】C
【分析】
根據(jù)正方形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)求出∠DAE=150°，∠AED=15°，再求∠BED．
【詳解】
在正方形中，，，
在等邊中，，，
在中，，，
所以，，
所以．
故選：C．
3．（山東棗莊市·中考真題）如圖，點(diǎn)
A．4 B．
【答案】D
【分析】
利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出四邊形 AECF的面積等于正方形 ABCD的面積，進(jìn)而可求
出正方形的邊長(zhǎng)，再利用勾股定理得出答案．
【詳解】
繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置．
四邊形的面積等于正方形的面積等于20，
，
，
中，
故選．
4．（浙江臺(tái)州市·中考真題）下是關(guān)于某個(gè)四邊形的三個(gè)結(jié)論：①它的對(duì)角線相等；②它是一個(gè)正方形；③它是一個(gè)矩形．下列推理過程正確的是（ ）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
【答案】A
【詳解】
根據(jù)正方形特點(diǎn)由②可以推理出③，再由矩形的性質(zhì)根據(jù)③推出①，
故選A．
5．（浙江金華市·中考真題）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH.連結(jié)EG，BD相交于點(diǎn)O，BD與HC相交于點(diǎn)P.若GO=GP，則
A．
【答案】B
【分析】
證明，得出．設(shè)，則，，由勾股定理得出，則可得出答案．
【詳解】
解：四邊形為正方形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
設(shè)，
為，的交點(diǎn)，
，，
四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，
，
，
，
．
故選：．
6．（湖南懷化市·中考真題）在矩形
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】
根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA=OB=OC=OD，推出，即可求出矩形ABCD的面積.
【詳解】
∵四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，
∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD，
∴,
∴矩形的面積為,
故選：C.
7．（內(nèi)蒙古鄂爾多斯市·中考真題）將三角尺按如圖所示放置在一張矩形紙片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，則∠BFG的大小為（ ）
A．125° B．115° C．110° D．120°
【答案】B
【分析】
根據(jù)矩形得出AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1+∠BFE＝180°，求出∠BFE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠EFG，即可求出答案．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1+∠BFE＝180°，
∵∠1＝125°，
∴∠BFE＝55°，
∵在△EGF中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，
∴∠EFG＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝60°，
∴∠BFG＝∠BFE+∠EFG＝55°+60°＝115°，
故選：B．
8．（山東棗莊市·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3，點(diǎn)E在邊BC上，將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，若∠EAC=∠ECA，則AC的長(zhǎng)是（ ?。?/span>
A．
【答案】B
【解析】
∵將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，
∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°，
∴EF⊥AC，
∵∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，
∴AF=CF，
∴AC=2AB=6，
故選B．
9．（內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在
A．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意將BD,BC算出來(lái),再利用勾股定理列出方程組解出即可．
【詳解】
∵AC=2,BC=,
∴,
∵D是AB的中點(diǎn),
∴AD=CD=BD=．
由題意可得:
兩式相減得: ,
解得DE=,BE=,
故選A．
10．（內(nèi)蒙古赤峰市·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段DE上的一點(diǎn)連接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，則EF的長(zhǎng)是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DF=4，根據(jù)BC= 14，由三角形中位線定理得到DE=7，解答即可．
【詳解】
解：∵∠AFB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴DF= AB=4，
∵BC= 14，D、E分別是AB，AC的中點(diǎn)，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故選：B
二、填空題(共5小題，每小題4分，共計(jì)20分)
11．（湖南岳陽(yáng)市·中考真題）如圖：在
【答案】
【分析】
先根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出，則有，最后利用三角形外角的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】
∵在中，是斜邊上的中線，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
12．（山東威海市·中考真題）如圖，四邊形
【答案】4
【分析】
由四邊形的面積算出邊長(zhǎng),再用a表示出EB,即可表示出四個(gè)三角形的面積,列出等式即可求解．
【詳解】
∵四邊形是由四個(gè)直角邊翻折得到的,
∴四邊形是正方形,
∵四邊形是9cm2,
∴．
∵,
∴EB=FC=DG=HD=(a－3)cm．
∴2S△AEH=(S□ABCD－S□A1B1C1D1)÷4=(25－9)÷4=4cm2,
即,,
因式分解得:,
∴a=4或a=﹣1(舍去)．
故答案為4．
13．（湖南郴州市·中考真題）如圖，在矩形
【答案】2．
【分析】
連接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根據(jù)勾股定理可得BD的長(zhǎng)，根據(jù)作圖過程可得，MN是BD的垂直平分線，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根據(jù)勾股定理得DN的長(zhǎng)，在Rt△DON中，根據(jù)勾股定理得ON的長(zhǎng)，進(jìn)而可得MN的長(zhǎng)．
【詳解】
如圖，連接DN，
在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，
∴BD=，
根據(jù)作圖過程可知：
MN是BD的垂直平分線，
∴DN=BN，OB=OD=2，
∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN，
在Rt△ADN中，根據(jù)勾股定理，得
DN2=AN2+AD2，
∴DN2=（8-DN）2+42，
解得DN=5，
在Rt△DON中，根據(jù)勾股定理，得
ON=，
∵CD∥AB，
∴∠MDO=∠NBO，
∠DMO=∠BNO，
∵OD=OB，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM=ON=，
∴MN=2．
故答案為：2．
14．（江蘇鎮(zhèn)江市·中考真題）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)位于對(duì)角線AC下方的一點(diǎn)，∠1＝∠2，則∠BPC的度數(shù)為_____°．
【答案】135
【分析】
由正方形的性質(zhì)可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形內(nèi)角和定理可求解．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案為：135．
15．（山東淄博市·中考真題）如圖，矩形紙片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E為邊CD上一點(diǎn)．將△BCE沿BE所在的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)F處，過點(diǎn)F作FM⊥BE，垂足為點(diǎn)M，取AF的中點(diǎn)N，連接MN，則MN＝_____cm．
【答案】5
【詳解】
連接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位線定理解決問題即可．
【解答】解：連接AC，FC．
由翻折的性質(zhì)可知，BE垂直平分線段CF，
∴FM⊥BE，∴F．M，C共線，FM＝MC，
∵AN＝FN，∴MN＝AC，
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝10（cm），∴MN＝AC＝5（cm），
故答案為5．
三、解答題(共5小題，每小題10分，共計(jì)50分)
16．（北京中考真題）在
（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】（1）；（2）圖見解析，，證明見解析．
【分析】
（1）先根據(jù)中位線定理和線段中點(diǎn)定義可得，，，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，然后利用勾股定理即可得；
（2）如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，，然后根據(jù)垂直平分線的判定與性質(zhì)可得，最后在中，利用勾股定理、等量代換即可得證．
【詳解】
（1）∵D是AB的中點(diǎn)，E是線段AC的中點(diǎn)
∴DE為的中位線，且
∴，
∵
∴
∵
∴
∴四邊形DECF為矩形
∴
∴
則在中，；
（2）過點(diǎn)B作AC的平行線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接FG
∵
∴，
∵D是AB的中點(diǎn)
∴
在和中，
∴
∴，
又∵
∴DF是線段EG的垂直平分線
∴
∵，
∴
在中，由勾股定理得：
∴．
17．（山東中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O，點(diǎn)G，H在對(duì)角線AC上，AG＝CH，直線GH繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，與邊AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合）．
（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的長(zhǎng)．
【答案】（1）詳見解析；（2）AE＝5．
【分析】
（1）由“ASA”可證△COF≌△AOE，可得EO＝FO，且GO＝HO，可證四邊形EHFG是平行四邊形；
（2）由題意可得EF垂直平分AC，可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的長(zhǎng)．
【詳解】
證明：（1）∵對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O
∴AO＝CO，且AG＝CH
∴GO＝HO
∵四邊形ABCD是矩形
∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB
∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA
∴△COF≌△AOE（ASA）
∴FO＝EO，且GO＝HO
∴四邊形EHFG是平行四邊形；
（2）如圖，連接CE
∵∠α＝90°，
∴EF⊥AC，且AO＝CO
∴EF是AC的垂直平分線，
∴AE＝CE，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，
∴AE2＝（9﹣AE）2+9，
∴AE＝5
18．（內(nèi)蒙古呼和浩特市·中考真題）如圖，正方形
（1）求證：
（2）四邊形
【答案】（1）見解析；（2）不可能，理由見解析
【分析】
（1）證明△ABF≌△DAE，從而得到AF=DE，AE=BF，可得結(jié)果；
（2）若要四邊形是平行四邊形，則DE=BF，則∠BAF=45°，再證明∠BAF≠45°即可.
【詳解】
解：（1）證明：∵正方形，
∴AB=AD，∠BAF+∠DAE=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
又∵，
∴∠BFA=90°=∠AED，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF=DE，AE=BF，
∴；
（2）不可能，理由是：
如圖，若要四邊形是平行四邊形，
已知DE∥BF，則當(dāng)DE=BF時(shí)，四邊形BFDE為平行四邊形，
∵DE=AF，
∴BF=AF，即此時(shí)∠BAF=45°，
而點(diǎn)G不與B和C重合，
∴∠BAF≠45°，矛盾，
∴四邊形不能是平行四邊形.
19．（四川自貢市·中考真題）如圖，在正方形
求證：
【答案】證明見解析．
【分析】
利用正方形的性質(zhì)證明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再證明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】
證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，
∴（SAS），
∴AE=BF．
20．（山東日照市·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB為邊在AB上方作正方形ABDE，過點(diǎn)D作DF⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：△ABC≌△BDF；
（2）P，N分別為AC，BE上的動(dòng)點(diǎn)，連接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．
【答案】（1）見解析；（2）14
【分析】
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BD=AB，∠DBA=90°，進(jìn)而得出∠DBF=∠CAB，因?yàn)椤?/span>C=∠DFB=90°．根據(jù)AAS即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)AN=DN，如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一條直線上，根據(jù)垂線段最短，作DP1⊥AC，交BE于點(diǎn)N1，垂足為P1，則AN+PN的最小值等于DP1=FC=14．
【詳解】
（1）證明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，
∴∠C＝∠DFB＝90°．
∵四邊形ABDE是正方形，
∴BD＝AB，∠DBA＝90°，
∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠DBF＝∠CAB，
∴△ABC≌△BDF（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△BDF，
∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，
∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．
如圖，連接DN，
∵BE是正方形頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)D的對(duì)稱軸，
∴AN＝DN．
如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一條直線上，
由于點(diǎn)P、N分別是AC和BE上的動(dòng)點(diǎn)，
作DP1⊥AC，交BE于點(diǎn)N1，垂足為P1，
所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．
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