難點一：二次函數(shù)相關(guān)知識及精華小結(jié)論
1.定義：一般地，如果 是常數(shù)， ，那么 叫做 的二次函數(shù).
2.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.
① 的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng) 時，開口向上；當(dāng) 時，開口向下；
相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
②平行于 軸（或重合）的直線記作 .特別地， 軸記作直線 .
幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：
函數(shù)解析式
開口方向
對稱軸
頂點坐標(biāo)
當(dāng) 時
開口向上
當(dāng) 時
開口向下
（ 軸）
（0,0）
（ 軸）
(0, )
( ,0)
( , )
( )
4.求拋物線的頂點、對稱軸的方法
（1）公式法： ，∴頂點是 ，對稱軸是直線 .
（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為 的形式，得到頂點為( , )，對稱軸是直線 .
（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點是頂點。
若已知拋物線上兩點 （及y值相同），則對稱軸方程可以表示為：
9.拋物線 中， 的作用
（1） 決定開口方向及開口大小，這與 中的 完全一樣.
（2） 和 共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線 的對稱軸是直線
，故：① 時，對稱軸為 軸；② （即 、 同號）時，對稱軸在 軸左側(cè)；③ （即 、 異號）時，對稱軸在 軸右側(cè).
（3） 的大小決定拋物線 與 軸交點的位置.
當(dāng) 時， ，∴拋物線 與 軸有且只有一個交點（0， ）：
① ，拋物線經(jīng)過原點; ② ,與 軸交于正半軸；③ ,與 軸交于負(fù)半軸.
以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在 軸右側(cè)，則 .
11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
（1）一般式： .已知圖像上三點或三對 、 的值，通常選擇一般式.
（2）頂點式： .已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.
（3）交點式：已知圖像與 軸的交點坐標(biāo) 、 ，通常選用交點式： .
12.直線與拋物線的交點
（1） 軸與拋物線 得交點為(0, ).
（2）拋物線與 軸的交點
二次函數(shù) 的圖像與 軸的兩個交點的橫坐標(biāo) 、 ，是對應(yīng)一元二次方程
的兩個實數(shù)根.拋物線與 軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點 ( ) 拋物線與 軸相交；
②有一個交點（頂點在 軸上） ( ) 拋物線與 軸相切；
③沒有交點 ( ) 拋物線與 軸相離.
（3）平行于 軸的直線與拋物線的交點
同（2）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐
標(biāo)為 ，則橫坐標(biāo)是 的兩個實數(shù)根.
（4）一次函數(shù) 的圖像 與二次函數(shù) 的圖像 的交點，由方程組 的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時 與 有兩個交點; ②方
程組只有一組解時 與 只有一個交點；③方程組無解時 與 沒有交點.
（5）拋物線與 軸兩交點之間的距離：若拋物線 與 軸兩交點為 ，則
1、多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)180o（n≥3，n是正整數(shù)），外角和等于360o
2、平行線分線段成比例定理：
（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。
如圖：a∥b∥c，直線l1與l2分別與直線a、b、c相交與點A、B、C
D、E、F，則有
（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。
如圖：△ABC中，DE∥BC，DE與AB、AC相交與點D、E，則有：
＊3、直角三角形中的射影定理：如圖：Rt△ABC中，∠ACB＝90o，CD⊥AB于D，則有：
（1） （2） （3）
4、圓的有關(guān)性質(zhì)：
（1）垂徑定理：如果一條直線具備以下五個性質(zhì)中的-任意兩個性質(zhì)：①經(jīng)過圓心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所對的劣??；-⑤平分弦所對的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另外三個性質(zhì)．注：具備①，③時，弦不能是直徑．（2）兩條平行弦所夾的弧相等．（3）圓心角的度-數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．（4）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．（5）圓周-角等于它所對的弧的度數(shù)的一半．（6）同弧或等-弧所對的圓周角相等．（7）在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．（8）90o的圓周角-所對的弦是直徑，反之，直徑所對的圓周角是90o，直徑是最長的弦．（9）圓內(nèi)接四邊形的對角互補．
5、三角形的內(nèi)心與外心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點．三-角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三邊中垂線的交點．
常見結(jié)論：（1）Rt△ABC的三條邊分別為：a、b、c（c為斜邊），則它的內(nèi)切圓的半徑- ；
（2）△ABC的周長為，面積為S，其內(nèi)切圓的半徑為r，則
＊6、弦切角定理及其推論：
（1）弦切角：頂點在圓上，并且一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖：∠PAC為弦切角。
O
P
B
C
A（2）弦切角定理：弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。
如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切線，A為切點，則
推論：弦切角等于所夾弧所對的圓周角（作用證明角相等）
如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切線，A為切點，則
＊7、相交弦定理、割線定理、切割線定理：
相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的積相等。 如圖①，即：PA·PB = PC·PD
割線定理 ：從圓外一點引圓的兩條割線，這點到每條割線與圓交點的兩條線段長的積相等。
如圖②，即：PA·PB = PC·PD
切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。如圖③，即：PC2 = PA·PB
① ② ③
8、面積公式：
①S正△＝--×(邊長)2．
- ②S平行四邊形＝底×高．
③S菱形＝底×高＝--×(對角線的積)，-
④S圓＝πR2．
⑤l圓周長＝2πR．
⑥弧長L＝--．
- ⑦
⑧S圓柱側(cè)＝底面周長×高＝2πrh，S全面積＝S側(cè)＋S底＝2πrh＋2πr2
⑨S圓錐側(cè)＝--×底面周長×母線＝πrb， S全面積＝S側(cè)＋S底＝πrb＋πr2
中考數(shù)學(xué)常用公式定理
1、整數(shù)(包括：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(包括：有限小數(shù)和無限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù)．如：－3，- -，0.231，0.737373…，- -，- -．-無限不環(huán)循小數(shù)叫做無理數(shù)．-如：π，－ -，0.1010010001…(兩個1之間依次多1個0)．有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)．
2、-絕對值：a≥0- -丨a丨＝a；-a≤0- -丨a丨＝－a．如：丨－- -丨＝- -；丨3.14－π丨＝π－3.14．
3、一個近似數(shù)，從左邊笫一個不是0的數(shù)字起，到最末一個數(shù)字止，所有的數(shù)字，都叫做這個-近似數(shù)的有效數(shù)字．如：0.05972精確到0.001得0.060，結(jié)果有兩個有效數(shù)字6，0．
4、把一個數(shù)寫成±a×10n-的形式(其中1≤a＜10，n是整數(shù))，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝-4.3×10－5．
5、乘法公式(反過來就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③-(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．
6、冪的運算性質(zhì)：①-am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑤( -)n＝-n-．
⑥a－n＝ ，特別：(- -)－n＝(- -)n．-⑦-a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3-)3＝27a9，(－3)－1＝－- -，5－2＝- -＝- -，-( -)－2＝(- -)2＝- -，(－3.14)o＝1，-(- -－ -)0＝1．
7、二次根式：①-(- -)2＝a-(a≥0)，②- -＝丨a丨，③- -＝- -×- -，④- -＝- -(a＞0，b≥0)-．如：①-(3- -)2＝45．②- -＝6．③a＜0時，- -＝－a- -．④- -的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念）A
8、一元二次方程：對于方程：ax2＋bx＋c＝0：
①求根公式是x＝- -，其中-△＝b2－4ac叫做根-的判別式．
當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；
當(dāng)-△＜0時，方程沒有實數(shù)根．注意：當(dāng)△≥0時，方程有實數(shù)根．
②若方程有兩個實數(shù)根x1和x2，并且二次三項式ax2＋bx＋c可分解為a(x－x1)(x－x2)．
③以a和b為根的一-元二次方程是-x2－(a＋b)x＋ab＝0．
9、一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象是一條直線(b是直線與y軸的交點的縱坐標(biāo)即一次函數(shù)在y軸上的截距)．當(dāng)k＞0時，y-隨x的增大而增大(直線從左向右上升)；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小(直線從左向右下降)．特別：當(dāng)b＝0時，y＝kx-(k≠0)又叫做正比例函數(shù)(y與x成正比例)，圖象必過原點．
10、反比例函數(shù)y＝- -(k≠0)的圖象叫做雙曲線．當(dāng)k＞0時，雙曲線在一、三象限(在每一象限內(nèi)，從左向右降)；當(dāng)k＜0時，雙曲線在二、四象限(在每一象限內(nèi)，從左向右上升)．因此，它的增減性與一次函數(shù)相反．
11、統(tǒng)計初步：（1）概念：①所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一個考察對象叫做個體．從總體中抽取的一部份個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量．②在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時不止一個)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．③將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處在最中間的一個數(shù)(或兩個數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
（2）公式：設(shè)有n個數(shù)-x1，x2，…，xn-，那么：
①平均數(shù)為：；
②極差：
用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，即：極差=最大值-最小值；
一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定。
12、頻率與概率：
（1）頻率=，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于1，頻率分布直方圖中各個小長方形的面積為各組頻率。
（2）概率
①如果用P表示一個事件A發(fā)生的概率，則0≤P（A）≤1；
P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；
②在具體情境中了解概率的意義，運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計算簡單事件發(fā)生的概率。
③大量的重復(fù)實驗時頻率可視為事件發(fā)生概率的估計值；
13、銳角三角函數(shù)：
①設(shè)∠A是Rt△ABC的任一銳角，則∠A的正弦：sinA＝ -，∠A的余弦：cosA＝- -，∠A的正切：tanA＝- ．并且sin2A＋cos2A＝1．
0＜sinA＜1，-0＜cosA＜1，-tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小．
②余角公式：sin(90o－A)＝cosA，-cos(90o－A)＝sinA．
h
l
α③特殊角的三角函數(shù)值：sin30o＝cos60o＝- -，sin45o＝cos45o＝- -，sin60o＝cos30o＝- -， tan30o＝ ，tan45o＝1，tan60o-＝ ．
④斜坡的坡度：-i＝- -＝- -．設(shè)坡角為α，則i＝tanα＝- -．
14、平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識：
（1）對稱性：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點P（a，b），則P關(guān)于x軸對稱的點為P1（a，－b），P關(guān)于y軸對稱的點為P2（－a，b），關(guān)于原點對稱的點為P3（－a，－b）.
（2）坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點P（a，b）向左平移h個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a－h(huán)，b），向右平移h個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a＋h，b）；向上平移h個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a，b＋h），向下平移h個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a，b－h(huán)）.如：點A（2，－1）向上平移2個單位，再向右平移5個單位，則坐標(biāo)變?yōu)锳（7，1）.
常用數(shù)學(xué)公式
公式分類 公式表達(dá)式
乘法與因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a
-b-√(b2-4ac)/2a
根與系數(shù)的關(guān)系 X1+X2=-b/a
X1*X2=c/a 注：韋達(dá)定理
判別式
b2-4ac=0 注：方程有兩個相等的實根
b2-4ac>0 注：方程有兩個不等的實根
b2-4ac<0 注：方程沒有實根，有共軛復(fù)數(shù)根
某些數(shù)列前n項和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
