在近幾年各地中考中，規(guī)律猜想題深受命題者的青睞與關(guān)注，此類題作為一種重要的研究問題的方法和探索發(fā)現(xiàn)新知識的重要手段，非常有利于同學(xué)們創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練，它不僅給中考試題的形式和內(nèi)容注入了新的活力，而且給當(dāng)前的課堂學(xué)習(xí)帶來了重大影響，此類題經(jīng)常成為中考中考查知識、能力與數(shù)學(xué)思想方法的載體．
規(guī)律猜想題指的是在特定的背景、情境或某些條件下（可以是函數(shù)關(guān)系式、有規(guī)律的數(shù)或式、特定的生活情景、流程圖、某種特征的圖形、圖案或圖表），認(rèn)真分析，仔細(xì)觀察，提取相關(guān)的數(shù)據(jù)、信息，進行適當(dāng)?shù)姆治觥⒕C合歸納，作出大膽猜想，得出結(jié)論，進而加以驗證或解決問題的數(shù)學(xué)探索題。其解題思維過程是：從特殊情況入手→探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律→綜合歸納→猜想得出結(jié)論→驗證結(jié)論，而解決規(guī)律性問題關(guān)鍵在于猜想，猜想是一種直覺思維，通過對研究對象的實驗、觀察和歸納、從而猜想它的規(guī)律和結(jié)論的一種思維方法．猜想往往依據(jù)直覺來獲得，而恰當(dāng)?shù)臍w納推理可以使猜想更準(zhǔn)確．在進行歸納推理與猜想時，要善于從變化的特殊性中尋找出不變的本質(zhì)和規(guī)律．
為此要求我們能在一定的背景或特定的條件（已知條件或所提供的若干個特例）下，通過觀察、分析、比較、概括、歸納和猜想，從中發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的某種規(guī)律或不變性的結(jié)論和數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)容，進而利用這個規(guī)律或結(jié)論進一步解決相關(guān)的實際問題。它體現(xiàn)了“從特殊到一般”及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，一般的解題思路是通過觀察，進而尋找規(guī)律，猜想出相關(guān)的結(jié)論并加以驗證。出現(xiàn)的形式可能以填空、選擇或解答為主．現(xiàn)結(jié)合近年的中考試題來說明規(guī)律猜想題的醞釀與發(fā)現(xiàn)，希望能給大家?guī)硪欢ǖ膯⑹九c幫助．
一、在函數(shù)圖象中醞釀與發(fā)現(xiàn)
例1： (福州)如圖，直線，點A1坐標(biāo)為（1，0），過點A1作x軸的垂線交直線于點B1，以原點O為圓心，OB1長為半徑畫弧交x軸于點A2；再過點A2作x軸的垂線交直線于點B2，以原點O為圓心，OB2長為半徑畫弧交x軸于點A3，…，按此做法進行下去，點A5的坐標(biāo)為 ．
思路點撥與解析：由直線，可知，得到
，得到
，可知
的坐標(biāo)為（２,０）,同理可知的坐標(biāo)為（４,０）…，的坐標(biāo)為（，０）
點評：先探討某種情境中簡單情況下存在的某個結(jié)論，然后進一步推廣到一般情況下，這是探究問題的一種經(jīng)驗或一種模式，這種思維方式或者說解題方法應(yīng)引起我們的關(guān)注與重視．解題的關(guān)鍵是如何選擇切入點及由特殊到一般或由簡單到復(fù)雜的思維模式，利用類比的數(shù)學(xué)思想解決問題，這些本質(zhì)相同的問題解決辦法是都進行列舉與歸納推理，即從列舉對象的一切特殊情形的前提中，推出關(guān)于全部對象的一般結(jié)論的推理方法．
二、在生活圖景中醞釀與發(fā)現(xiàn)
例2：（湖北省恩施州）(1)計算:如圖①,直徑為的三等圓⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，切點分別為A、B、C ，求OA的長（用含的代數(shù)式表示）.
（２）探索:若干個直徑為的圓圈分別按如圖②所示的方案一和如圖③所示的方案二的方式排放，探索并求出這兩種方案中層圓圈的高度和（用含、的代數(shù)式表示）.
②
（3）應(yīng)用:現(xiàn)有長方體集裝箱，其內(nèi)空長為5米，寬為3.1米，高為3.1米.用這樣的集裝箱裝運長為5米，底面直徑（橫截面的外圓直徑）為0.1米的圓柱形鋼管，你認(rèn)為采用（2）中的哪種方案在該集裝箱中裝運鋼管數(shù)最多？并求出一個這樣的集裝箱最多能裝運多少根鋼管？（≈1.73）
思路點撥：有關(guān)兩圓相切的問題，常作圓心距，在圖①，通過添加輔助線構(gòu)造等邊三角形，OA恰好為等邊三角形的高，借助勾股定理便可求解；在圖③中，一層的高度恰好為，兩層的高度恰好為+，三層的高度恰好為+ ，四層的高度恰好為+ ，層圓圈的高度＝+ 。
解析：(1)∵⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切， ∴OO=OO=OO=a， 又∵OA= OA
∴OA⊥OO ， ∴OA= = ，
（2） = ， =，
(3) 方案二裝運鋼管最多。即：按圖10③的方式排放鋼管，放置根數(shù)最多.
根據(jù)題意，第一層排放31根，第二層排放30根，
設(shè)鋼管的放置層數(shù)為n,可得
解得， ∵ 為正整數(shù) ，∴=35
鋼管放置的最多根數(shù)為：31×18+30×17=1068（根）
點評：解這類問題的關(guān)鍵弄清題意，結(jié)合圖形，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從整體上把握圓形堆放的高度與層數(shù)之間的變化規(guī)律或趨勢及不變量，根據(jù)層數(shù)的特征選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式或等式進行準(zhǔn)確表示。運用空間思維和想象，進行大膽的猜想，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并用以解決問題．
三、在圖形的疊加中醞釀與發(fā)現(xiàn)
例3：（湖南衡陽）如下圖是一組有規(guī)律的圖案，第1個 圖案由4個基礎(chǔ)圖形組成，第2個圖案由7個基礎(chǔ)圖形組成，……，第n(n是正整數(shù))個圖案中由 個基礎(chǔ)圖形組成．
思路點撥與解析：從前三個圖形可找出規(guī)律，第1個圖案基本圖形的個數(shù)為：4=1×3+1；第2個圖案基本圖形的個數(shù)為：7=2×3+1；第3個圖案基本圖形的個數(shù)為：10=3×3+1；… …，所以第n個圖案基本圖形的個數(shù)為：n×3+1=3n+1.
點評：解這類問題的關(guān)鍵在于從簡單的情形入手，逐個觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納圖形中的變化規(guī)律、變化趨勢及不變化的量，尋找出內(nèi)在的規(guī)律與圖案疊加個數(shù)之間關(guān)系式構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，主要是考查我們的觀察能力、發(fā)現(xiàn)能力、分析判斷能力、邏輯推理能力和猜想規(guī)律能力．
四、在數(shù)列或等式中醞釀與發(fā)現(xiàn)
例4：（廣東中山）閱讀下列材料：
，
，
，
由以上三個等式相加，可得
讀完以上材料，請你計算下列各題：
（1）（寫出過程）；
（2）= ；
（3）= ．
思路點撥與解析：在所給的一系列等式中，既要觀察橫向的變化規(guī)律，也要觀察縱向的變化規(guī)律：等式左邊的第一列數(shù)比第二列數(shù)?。?，等式右邊的第一列數(shù)為常量，括號內(nèi)的列數(shù)也依次遞增１。（1）
=++…+
==440．
（2）
（3）
=+
+…+==1260
點評：解這類問題的關(guān)鍵在于既要從整體上把握數(shù)列的橫向的變化規(guī)律或趨勢及不變量，又要從整體上把握數(shù)列的縱向的變化規(guī)律或趨勢及不變量，根據(jù)數(shù)列的特征選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式或等式進行準(zhǔn)確表示．
五、在幾何圖形中醞釀與發(fā)現(xiàn)
例5：(嘉興)如圖，已知⊙O的半徑為1，PQ是⊙O的直徑，n個相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關(guān)于PQ對稱，其中第一個△A1B1C1的頂點A1與點P重合，第二個△A2B2C2的頂點A2是B1C1與PQ的交點，…，最后一個△AnBnCn的頂點Bn、Cn在圓上．
（1）如圖1，當(dāng)n＝1時，求正三角形的邊長
（2）如圖2，當(dāng)n＝2時，求正三角形的邊長
（3）如題圖，求正三角形的邊長 （用含n的代數(shù)式表示）．
思路點撥：因所有正三角形都關(guān)于直徑PQ對稱，構(gòu)建垂徑定理即始終被直徑ＰＱ垂直平分，連接構(gòu)造直角三角形運用勾股定理列成方程便可求解，
解析： （1）在圖２中，與交于點D，連結(jié)，則，在中，，即，解得．
（2）在圖３中，設(shè)與交于點E，連結(jié)，則，
在中，即，解得．
（3）在圖１中，設(shè)與交于點F，連結(jié)，則，
在中，即，解得．
點評：解這類問題的關(guān)鍵在于從簡單問題入手，通過觀察、分析、推理、發(fā)現(xiàn)與猜想，注意把握相關(guān)圖形的性質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系，進而尋找出解題方法與技巧，逐步進行推廣、拓展與應(yīng)用，化特殊為一般，借助圓的軸對稱性，構(gòu)建垂徑定理，是所有與圓有關(guān)性質(zhì)的核心與基礎(chǔ)，進而利用圓的半徑、弦心距、弦長的一半借助勾股定理構(gòu)建方程進行求解，這是一種常用的方法與技巧；解決本題還應(yīng)注意如何用正三角形的邊長表示弦心距ＯＤ的長及正三角形的高．
六、在流程圖中醞釀與發(fā)現(xiàn)
例6：如圖所示的運算程序中，若開始輸入的值為48，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為24，第2次輸出的結(jié)果為12，……第2011次輸出的結(jié)果為___________．
思路點撥與解析：這是一道分類考慮的程序流程題，解題的關(guān)鍵是確定輸入的數(shù)據(jù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，再按要求選擇相應(yīng)的代數(shù)式將傎代入求解，通過計算，會發(fā)現(xiàn)從第3次開始，這個程序輸出的將以6、3、6、3循環(huán)，每兩次一循環(huán)，由此20011-2=2009=1004×2+1，從而判斷出第2011次輸出的結(jié)果為6.
點評：這是一道以數(shù)字轉(zhuǎn)換循環(huán)計算為背景的代入求傎的程序題，解題的關(guān)鍵是弄清流程圖所表示的含義，要注意確定代入的數(shù)根據(jù)奇、偶性選擇相應(yīng)的代數(shù)式徨計算．
七、在表格中醞釀與發(fā)現(xiàn)
例7：（貴州遵義）小明玩一種的游戲,每次挪動珠子的顆數(shù)與對應(yīng)所得的分?jǐn)?shù)如下表:
挪動珠子數(shù)(顆) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | …… |
對應(yīng)所得分?jǐn)?shù)(分) | 2 | 6 | 12 | 20 | 30 | …… |
當(dāng)對應(yīng)所得分?jǐn)?shù)為132分時,則挪動的珠子數(shù)為 顆.
思路點撥與解析：觀察表格可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，挪動珠子數(shù)n+1顆，則對應(yīng)所得分?jǐn)?shù)為n(n+1)分。由此可建立方程得n(n+1)=132，解得n=11，故挪動的珠子數(shù)為12顆
點評：這類以表格為載體，需要從中獲取解題信息。解這類問題的關(guān)鍵在于結(jié)合表格中所給數(shù)據(jù)，分析、發(fā)現(xiàn)出表格中橫行與縱列各個數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從特殊到一般，并用與表格相關(guān)的序列、數(shù)字、相應(yīng)的字母、代數(shù)式等表示出表格中數(shù)列橫向與縱向的變化趨勢或規(guī)律．
八 在變換操作中醞釀
例8:（江西）課題：兩個重疊的正多邊型，其中一個繞某一頂點旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問題．
實驗與論證
設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠A1A0B1=α（α< A1A0A2）， θ3，θ4，θ5，θ6，所表示的角如圖所示．
（1） 用含α的式子表示角的度數(shù)：θ3=___________θ4=_____________θ5=____________
（2）圖1－圖4中，連接A0H時，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請選擇期中的一個圖給出證明；若不存在，請說明理由；
歸納與猜想
設(shè)正n邊形A0A1A2…An－1與正n邊形A0B1B2…Bn－1重合（其中，A1與B1重合），現(xiàn)將正n邊形A0B1B2…Bn－1繞頂點A0逆時針旋轉(zhuǎn)α（）．
（3）設(shè)θn與上述“θ3，θ4，…”的意義一樣，請直接寫出θn的度數(shù)；
（4）試猜想在正n邊形的情形下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請將這條線段用相應(yīng)的頂點字母表示出來（不要求證明）；若不存在，請說明理由．
思路點撥：（1）要求的度數(shù)，應(yīng)從旋轉(zhuǎn)中有關(guān)角度的變與不變上突破；（２）結(jié)合圖形比較容易得到被垂直平分的線段，在證明時要充分利用背景中正多邊形及旋轉(zhuǎn)中的角度；（３）要探究的度數(shù)，要注意區(qū)分正偶數(shù)邊形及正奇數(shù)邊形兩種情形去思考與求解度數(shù)的表達(dá)式；（４）要探究正ｎ邊形中被垂直平分的線段，只要觀察圖形的對稱性就可以找到解題的途徑．也應(yīng)注意區(qū)分正偶數(shù)邊形及正奇數(shù)邊形兩種情形去思考與突破；
解析：（１）．
（２）答案不唯一，選圖１，圖１中有直線垂直平分．
證明：∵與是全等的等邊三角形，∴，∴，∴，∴點在線段的垂直平分線上，所以直線垂直平分．
（３）當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，．
（４）存在，當(dāng)為奇數(shù)時，直線垂直平分．
當(dāng)為偶數(shù)時，直線垂直平分．
點評：本題以課題學(xué)習(xí)為背景及方式呈現(xiàn)，通過 “兩個重疊的正多邊形，其中的一個繞某一頂點旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問題”的探討．是研究一個由特殊到一般結(jié)論的數(shù)學(xué)問題，先從簡單特殊的幾種正多邊形入手，再推廣到正n邊形情形下規(guī)律的探究，在試驗論證歸納的過程中所涉及的，要考查的初中知識點并不多，主要考查學(xué)生的思維能力、探究問題的能力和歸納推理能力．試題呈現(xiàn)形式，設(shè)問角度有所創(chuàng)新，數(shù)學(xué)問題研究模式以及題中蘊含的豐富的數(shù)學(xué)思想方法和深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，為學(xué)生、廣大教師后期學(xué)習(xí)和教學(xué)有著很大的啟發(fā)作用，并能運用這種探究思路和類比遷移的數(shù)學(xué)思想，去觀察發(fā)現(xiàn)錯綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)世界．體現(xiàn)了從特殊到一般，從簡單到復(fù)雜，從“提出基本事實→解決具體問題→歸納整合方法→實現(xiàn)思維升華”的完整思維過程，在解答本題過程中可以充分體驗與領(lǐng)悟到從“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，這也正是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)乃至認(rèn)識一切事物的重要方式之一（同化與演繹）．
作者簡介：曹經(jīng)富，男，中學(xué)高級教師，數(shù)學(xué)教研組長，立足課堂教學(xué)，潛心鉆研中考及解題研究，發(fā)表文章200余篇，主編書稿4本。
實戰(zhàn)演練（請讀者根據(jù)需要選用）
1.（江蘇常州）如圖，圓圈內(nèi)分別標(biāo)有0，1，2，3，4，…，11這12個數(shù)字。電子跳蚤每跳一次，可以從一個圓圈跳到相鄰的圓圈，現(xiàn)在，一只電子跳蚤從標(biāo)有數(shù)字“0”的圓圈開始，按逆時針方向跳了2010次后，落在一個圓圈中，該圓圈所標(biāo)的數(shù)字是 。
2.（2010 四川成都）已知是正整數(shù)，是反比例函數(shù)圖象上的一列點，其中．記，，若（是非零常數(shù)），則A1·A2·…·An的值是________________________（用含和的代數(shù)式表示）．
3.（湖北孝感）用“O”擺出如圖所示的圖案，若按照同樣的方式構(gòu)造圖案，則第10個圖案需要 個“O”。
4.（四川樂山）勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，其中蘊含著豐富的科學(xué)知識和人文價值．如圖是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定規(guī)律長成的勾股樹，樹主干自下而上第一個正方形和第一個直角三角形的面積之和為S1，第二個正方形和第二個直角三角形的面積之和為S2，…，第n個正方形和第n個直角三角形的面積之和為Sn．設(shè)第一個正方形的邊長為1．
請解答下列問題：
（1）S1＝__________；
（2）通過探究，用含n的代數(shù)式表示Sn，則Sn＝__________．
5.（廣東中山）如圖（1），已知小正方形ABCD的面積為1，把它的各邊延長一倍得到新正方形；把正方形邊長按原法延長一倍得到正方形（如圖（2））；以此下去，則正方形的面積為 ．
6.（安徽）下面兩個多位數(shù)1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：將第一位數(shù)字乘以2，若積為一位數(shù)，將其寫在第2位上，若積為兩位數(shù)，則將其個位數(shù)字寫在第2位．對第2位數(shù)字再進行如上操作得到第3位數(shù)字……，后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進行如上操作得到的．當(dāng)?shù)?/span>1位數(shù)字是3時，仍按如上操作得到一個多位數(shù)，則這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是……………（ ）
A．495 B．497 C．501 D．503
7.（貴州貴陽）標(biāo)系中，已知點的坐標(biāo)為（1,0），將線段繞原點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45，再將其延長到，使得，得到線段；又將線段繞原點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45，再將其延長到，使得，得到線段，如此下去，得到線段，，…，．
（1）寫出點M5的坐標(biāo)；
（2）求的周長；
（3）我們規(guī)定：把點（0,1,2,3…）
的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都取絕對值后得到的新坐標(biāo)
稱之為點的“絕對坐標(biāo)”．根據(jù)圖中點
的分布規(guī)律，請你猜想點的“絕對坐標(biāo)”，并寫出來．
8.（順義）如圖，直線：平行于直線，且與直線：相交于點．
（1）求直線、的解析式；
（2）直線與y軸交于點A．一動點從點A出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運動，到達(dá)直線上的點處后，改為垂直于x軸的方向運動，到達(dá)直線上的點處后，再沿平行于x軸的方向運動，到達(dá)直線上的點處后，又改為垂直于x軸的方向運動，到達(dá)直線上的點處后，仍沿平行于x軸的方向運動，……
照此規(guī)律運動，動點依次經(jīng)過點，，，，，，…，，，…
①求點，，，的坐標(biāo)；
②請你通過歸納得出點、的坐標(biāo)；并求當(dāng)動點到達(dá)處時，運動的總路徑的長．
9.（山東省德州） ●探究 (1) 在圖1中，已知線段AB，CD，其中點分別為E，F．
①若A (-1，0)， B (3，0)，則E點坐標(biāo)為__________；
②若C (-2，2)， D (-2，-1)，則F點坐標(biāo)為__________；
(2)在圖2中，已知線段AB的端點坐標(biāo)為A(a，b) ，B(c，d)，
求出圖中AB中點D的坐標(biāo)（用含a，b，c，d的
代數(shù)式表示），并給出求解過程．
●歸納 無論線段AB處于直角坐標(biāo)系中的哪個位置，
當(dāng)其端點坐標(biāo)為A(a，b)，B(c，d)， AB中點為D(x，y) 時，
x=_________，y=___________．（不必證明）
●運用 在圖2中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)
的圖象交點為A，B．
①求出交點A，B的坐標(biāo)；
②若以A，O，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形，
請利用上面的結(jié)論求出頂點P的坐標(biāo)．
參考答案
1. 6 2. 3. 181 4. 1＋；(1＋)·()n -1(n為整數(shù)) 5. 625 7. A
7.：M5（―4，―4）
（2）由規(guī)律可知，,，
∴的周長是
（3）由題意知，旋轉(zhuǎn)8次之后回到軸的正半軸，在這8次旋轉(zhuǎn)中，點分別落在坐標(biāo)象限的分角線上或軸或軸上，但各點“絕對坐標(biāo)”的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，因此，點的“絕對坐標(biāo)”可分三類情況：
令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為
① 當(dāng)點M在x軸上時: M0（），M4（），M8（），M12（）,…，
即：點的“絕對坐標(biāo)”為（）。
② 當(dāng)點M在y軸上時: M2，M6，M10，M14,……，
即：點的“絕對坐標(biāo)”為。
③ 當(dāng)點M在各象限的分角線上時：M1，M3，M5，M7,……，即：的“絕對坐標(biāo)”為。
8．解：（1）由題意，得 解得
∴直線的解析式為 ．
∵點在直線上，
∴．
∴．
∴直線的解析式為 ．
（2）① A點坐標(biāo)為 （0，1），
則點的縱坐標(biāo)為1，設(shè)，
∴．
∴．
∴點的坐標(biāo)為 ．
則點的橫坐標(biāo)為1，設(shè)
∴．
∴點的坐標(biāo)為 ．
同理，可得 ，．
②經(jīng)過歸納得 ，．
當(dāng)動點到達(dá)處時，運動的總路徑的長為點的橫縱坐標(biāo)之和再減去1，
即 ．
9.解： 探究 (1)①(1，0)；②(-2，)；
(2)過點A，D，B三點分別作x軸的垂線，垂足分別為
，， ，則∥∥．
∵D為AB中點，由平行線分線段成比例定理得
=．
∴O=．
即D點的橫坐標(biāo)是
同理可得D點的縱坐標(biāo)是．
∴AB中點D的坐標(biāo)為(，)．
歸納：，．
運用①由題意得解得或．∴即交點的坐標(biāo)為A(-1，-3)，B(3，1) ．
②以AB為對角線時，由上面的結(jié)論知AB中點M的坐標(biāo)為(1，-1) ．∵平行四邊形對角線互相平分，∴OM=OP，即M為OP的中點．∴P點坐標(biāo)為(2，-2) ．同理可得分別以OA，OB為對角線時，點P坐標(biāo)分別為(4，4) ，(-4，-4) ．
∴滿足條件的點P有三個，坐標(biāo)分別是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) ．
