2013中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)15
二次函數(shù)有關(guān)四邊形的問題
一、知識要點(diǎn)：
1、熟悉特殊四邊形的性質(zhì)和判定，把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為邊、角之間的關(guān)系，主意要保證條件充分；
2、合理選擇方法，如相似、勾股定理、三線合一等，往往能使過程變得簡單；
3、解題過程往往要用到分類討論，理解題意要準(zhǔn)確、分析問題要到位。
二、例題分析：
例1、如圖，拋物線
與y軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（3，0）.
（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動點(diǎn)P在線段OC上，從原點(diǎn)O出發(fā)以每鈔一個(gè)單位的速度向C移動，過點(diǎn)P作⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，拋物線于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P移動的時(shí)間為t秒，MN的長為s個(gè)單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）設(shè)（2）的條件下（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況），連接CM，BN，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t的值，平行四邊形BCMN
是否為菱形？說明理由.
分析：第（1）根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法易得。
第（2）s即為線段MN的長度，因P在OC上移動，
所以點(diǎn)N必在M的上方，所以s就是N點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M點(diǎn)
的縱坐標(biāo)。
第（3）要四邊形BCMN為平行四邊形，因BC∥MN，
只要BC∥MN即可；平行四邊形BCMN
是否為菱形，只要把
所求t的值代入，看鄰邊是否相等。
例2、如圖，已知拋物線y＝a(x－1)2＋
(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(－2，0)，拋物線的頂點(diǎn)為D，過O作射線OM∥AD．過頂點(diǎn)D平行于
軸的直線交射線OM于點(diǎn)C，B在
軸正半軸上，連結(jié)BC．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)長度單位的速度沿射線OM運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t（s）．問：當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC＝OB，動點(diǎn)P和動點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)長度單位和2個(gè)長度單位的速度沿OC和BO運(yùn)動，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)它們的運(yùn)動的時(shí)間為t（s），連接PQ，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCPQ的面積最??？并求出最小值及此時(shí)PQ的長．
分析：（2）關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化為相應(yīng)線段之間的關(guān)系；（3）把不規(guī)則最值
圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，利用二次函數(shù)求最值。
例3、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的解析式是y =
+1，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為(–4，0)，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A，B在拋物線上，
AB與y軸交于點(diǎn)M，已知點(diǎn)Q(x，y)在拋物線上，點(diǎn)P(t，0)在x軸上.
(1) 寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(2) 當(dāng)四邊形CMQP是以MQ，PC為腰的梯形時(shí).
① 求t關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；
② 當(dāng)梯形CMQP的兩底的長度之比為1：2時(shí)，求t的值.
分析：
分析：（2）有兩邊平行的四邊形并不一定是平行四邊形，要把這兩條邊重合及另兩邊也平行的情況排除掉；
（3）因兩邊大小不定，要進(jìn)行分類討論，
鞏固練習(xí)
1、如圖，已知二次函數(shù)y＝x 2－2x－1的圖象的頂點(diǎn)為A，二次函數(shù)y＝ax 2＋bx的圖象與x軸交于原點(diǎn)O及另一點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)B在函數(shù)y＝x 2－2x－1的圖象的對稱軸上．
（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)四邊形AOBC為菱形時(shí)，求函數(shù)y＝ax 2＋bx的關(guān)系式．
2、如圖，拋物線
與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，－1），且對釉軸x=1．
(1)求出拋物線的解析式及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積為3．若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由(使用圖1)；
(3)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)(使用圖2)．
圖1 圖2
3、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，正方形OABC的邊長為2cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線
經(jīng)過點(diǎn)A、B和D（4，
）。
（1）求拋物線的表達(dá)式。
（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊以1cm/s
的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動。設(shè)S=PQ2（cm2）。
①試求出S與運(yùn)動時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
②當(dāng)S取
時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以點(diǎn)P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。
（3）在拋物線的對稱軸上求點(diǎn)M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。
4、已知頂點(diǎn)為A(1,5)的拋物線
經(jīng)過點(diǎn)B(5,1).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖(15.1),設(shè)C,D分別是x軸、y軸上的兩個(gè)動點(diǎn)，求四邊形ABCD周長的最小值
（3）在（2）中，當(dāng)四邊形ABCD的周長最小時(shí)，作直線CD.設(shè)點(diǎn)P(x,y)(x>0)是直線y=x上的一個(gè)動點(diǎn)，Q是OP的中點(diǎn)，以PQ為斜邊按圖（15.2）所示構(gòu)造等腰直角三角形PRQ.
①當(dāng)△PBR與直線CD有公共點(diǎn)時(shí),求x的取值范圍；
②在①的條件下，記△PBR與△COD的公共部分的面積為S.求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值。
5、已知拋物線
與y軸交于點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)C、D。若點(diǎn)A、B、C、D中任何三點(diǎn)都不在一直線上，則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形，直線AB為拋物線的伴隨直線。
（1）如圖1，求拋物線
的伴隨直線的解析式；
（2）如圖2，若
（m>0）的伴隨直線是y=x－3，伴隨四邊形的面積為12，求此拋物線的解析式；
（3）如圖3，若拋物線
的伴隨直線是y=－2x+b（b>0），且伴隨四邊形ABCD是矩形。
① 用含b的代數(shù)式表示m,n的值；
② 在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD是一個(gè)等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含b的代數(shù)式）；若不存在，請說明理由。
5、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C(0，12) 兩點(diǎn)，且對稱軸為直線x=4. 設(shè)頂點(diǎn)為
點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.
（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)M是線段OP上的一個(gè)動點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒
個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O 運(yùn)動，過點(diǎn)M作直線MN∥x軸，交PB于點(diǎn)N. 將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN. 在動點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動時(shí)間為t秒. 求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.
6、已知二次函數(shù)y=a（x2-6x+8）（a>0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).
（1）如圖①，連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)O′恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）如圖②，在正方形EFGH中，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（4,4）、（4,3），邊HG位于邊EF的右側(cè).小林同學(xué)經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)一個(gè)正確的命題：“若點(diǎn)P是邊EH或邊HG上的任意一點(diǎn)，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個(gè)平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等（即這四條線段不能構(gòu)成平行四邊形）.”若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，剛才的結(jié)論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程；
（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對稱軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t是大于3的常數(shù)，試問：是否存在一個(gè)正數(shù)a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等（即這四條線段能夠成平行四邊形）？請說明理由.
參考答案
例1：解（1）把x=0代入
，得
把x=3代入
，得
，
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別（0，1）、（3，
）
設(shè)直線AB的解析式為
，代入A、B的坐標(biāo)，得
，解得
所以，
（2）把x=t分別代入到
和
分別得到點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)為
和
∴MN=
-（
）=
即
∵點(diǎn)P在線段OC上移動，
∴0≤t≤3.
(3)在四邊形BCMN中，∵BC∥MN
∴當(dāng)BC=MN時(shí)，四邊形BCMN即為平行四邊形
由
，得
即當(dāng)
時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形
當(dāng)
時(shí)，PC=2，PM=
，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=
,
此時(shí)BC=CM=MN=BN，平行四邊形BCMN為菱形；
當(dāng)
時(shí)，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=
,
此時(shí)BC≠CM，平行四邊形BCMN不是菱形；
所以，當(dāng)
時(shí)，平行四邊形BCMN為菱形．
例2：解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋
，得0＝a(－2－1)2＋
．
∴a＝－
∴該拋物線的解析式為y＝－
(x－1)2＋
即y＝－
x 2＋
x＋
．
（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(xD，yD)，由于D為拋物線的頂點(diǎn)
∴xD＝－
＝1，yD＝－
×1 2＋
×1＋
＝
．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，
)．
如圖，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于N，則DN＝
，AN＝3，∴AD＝
＝6．
∴∠DAO＝60°
∵OM∥AD
①當(dāng)AD＝OP時(shí)，四邊形DAOP為平行四邊形．
∴OP＝6
∴t＝6（s）
②當(dāng)DP⊥OM時(shí)，四邊形DAOP為直角梯形．
過點(diǎn)O作OE⊥AD軸于E．
在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．
（注：也可通過Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）
∵四邊形DEOP為矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．
∴t＝5（s）
③當(dāng)PD＝OA時(shí)，四邊形DAOP為等腰梯形，此時(shí)OP＝AD－2AE＝6－2＝4．
∴t＝4（s）
綜上所述，當(dāng)t＝6s、5s、4s時(shí)，四邊形DAOP分別為平行四邊形、直角梯形、等腰梯形．
（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．
又∵OC＝OB，∴△COB是等邊三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．
∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）
過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，則PF＝
t．
∴S四邊形BCPQ ＝S△COB －S△POQ
＝
×6×
－
×(6－2t)×
t
＝
(t－
)2＋
∴當(dāng)t＝
（s）時(shí)，S四邊形BCPQ的最小值為
．
此時(shí)OQ＝6－2t＝6－2×
＝3，OP＝
，OF＝
，∴QF＝3－
＝
，PF＝
．
∴PQ＝
＝
＝
例3：解(1) ∵OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，
∵A，B在拋物線上，y軸是拋物線的對稱軸，
∴ A，B的橫坐標(biāo)分別是2和– 2，
代入y =
+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，
∴M (0，2)，
(2) ① 過點(diǎn)Q作QH ^ x軸，設(shè)垂足為H， 則HQ = y ，HP = x–t ，
由△HQP∽△OMC，得：
, 即： t = x – 2y ,
∵ Q(x,y) 在y =
+1上， ∴ t = –
+ x –2.
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，梯形不存在，此時(shí)，t = – 4，解得x = 1±
,
當(dāng)Q與B或A重合時(shí)，四邊形為平行四邊形，此時(shí)，x = ± 2
∴x的取值范圍是x 1 1±
, 且x1± 2的所有實(shí)數(shù).
② 分兩種情況討論：
1）當(dāng)CM > PQ時(shí)，則點(diǎn)P在線段OC上，
∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，
∴點(diǎn)M縱坐標(biāo)為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的2倍，即2 = 2(
+1)，解得x = 0 ，
∴t = –
+ 0 –2 = –2 .
2）當(dāng)CM < PQ時(shí)，則點(diǎn)P在OC的延長線上，
∵CM∥PQ，CM =
PQ，
∴點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為點(diǎn)M縱坐標(biāo)的2倍，即
+1=2′2，解得： x = ±
.
當(dāng)x = –
時(shí)，得t = –
–
–2 = –8 –
, 當(dāng)x =
時(shí)， 得t =
–8.
習(xí)題答案
1、解：（1）∵y＝x 2－2x－1＝(x－1)2－2∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，－2)．
∵二次函數(shù)y＝ax 2＋bx的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且它的頂點(diǎn)B在二次函數(shù)y＝x 2－2x－1圖象的對稱軸上．
∴點(diǎn)C與點(diǎn)O關(guān)于對稱軸對稱．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，0)．
（2）∵四邊形AOBC為菱形，∴點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線OC對稱．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，2)．
∵二次函數(shù)y＝ax 2＋bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(1，2)，C(2，0)．
∴
解得
∴二次函數(shù)y＝ax 2＋bx的關(guān)系式為y＝－2x 2＋4x
2、（1）由
得
，又
，所以拋物線的解析式為
由
得x=－1或x=3，所以A（－1，0），B（3，0）
（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)D，設(shè)D（x，
）
作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則OE=x，DE=
，BE=3－x，得
化簡得，
解得x=1或x=2
故存在符合條件的點(diǎn)D，為D（1，
）或D（2，－1）
（3）當(dāng)PQ平行等于AB時(shí)，PQ=4，當(dāng)P在y軸右側(cè)時(shí)，P的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)P在y軸左側(cè)時(shí)，P的橫坐標(biāo)為－4；當(dāng)PQ與AB互相平分時(shí)，PQ過AB的中點(diǎn)（1，0），可得P的橫坐標(biāo)為2故P的坐標(biāo)為（4，
）或（－4，7）或（2，－1）
3、（1）由題意得A（0，－2），B（2，－2），拋物線
過A、B、D三點(diǎn)得
解得
拋物線的表達(dá)式為
（2）①S=PQ2=
（0≤t≤1）
②由
解得t=
或t=
（不合題意，舍去）
此時(shí)，P（1，－2），B（2，－2），Q（2，
）
若以點(diǎn)P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則R（3，
）或（1，－
）或（1，
）
經(jīng)代入拋物線表達(dá)式檢驗(yàn)，只有點(diǎn)R（3，
）在拋物線上
所以拋物線上存在點(diǎn)R（3，
）使得以點(diǎn)P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形。
（3）過B、D的直線交拋物線對稱軸于點(diǎn)M，則該點(diǎn)即為所求。因?yàn)槿缭趯ΨQ軸上另取一點(diǎn)N，則
ND－NA=ND－NB<BD，而MD－MA=MD－MB=BD，故點(diǎn)M到D、A的距離之差最大。
由B（2，－2）、D（4，
）求得直線BD的解析式為
時(shí)，
，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，
）
4、解：⑴.設(shè)以A(1,5)為頂點(diǎn)的二次函數(shù)解析式為
∵
的圖像經(jīng)過了點(diǎn)B(5,5) ∴
解得
∴
即：
⑵.
如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱點(diǎn)
,與y軸交與點(diǎn)D,作點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)
,與x軸交與點(diǎn)
C,連接AD,AC,CB,BA.四邊形ABCD的周長最小。
∵A(1,5),B(5,1)∴
∴
⑶.①如圖
∵
∴直線AB的解析式為
∴直線
與直線
的交點(diǎn)
∵
，點(diǎn)Q為OP的中點(diǎn)∴
∵△PBR與直線CD有公共點(diǎn)，
∴
，即
5、解：(1)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b.由題意，得:A(0，5)，B(2，1)
∴
∴k=-2 ,b=5
∴直線AB的解析式為y=-2x+5
(2) 由伴隨直線是y=x－3，得：A(0，-3)，C(0，3) ∴ AC=6
由伴隨四邊形的面積為12，得：△ABC的面積為6=
∴m=±2 ∵m>0 ∴m=2
當(dāng)m=2時(shí)，y=-1，頂點(diǎn)為（2，-1）， 且過點(diǎn)C（0，3）
∴拋物線的解析式為y=
。
(3) ① 如圖，作BE⊥x軸，
由題意，得：A（0,b）,C (0,-b)
∵拋物線的頂點(diǎn)B（m,n）在y=－2x+b（b>0）上，
∴n=-2m+b B(m, -2m+b)
在矩形ABCD中，OC=OB ∴OC2=OB2
即：
∴m(5m-4b)=0∴m1=0(舍去)，m2=
∴n=-2m+b=
∴
,
；
② 存在，有4個(gè)點(diǎn)：(
，
),(
，
),(
，
),(
，
)
5、（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c
由題意得
解得
∴二次函數(shù)的解析式為y= x2－8x+12，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，－4）
（2）存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形. 理由如下：
當(dāng)y=0時(shí)，x2-8x+12=0 ∴x1=2 ， x2=6，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）
設(shè)直線BP的解析式為y=kx+m
則
解得
∴直線BP的解析式為y=2x－1，∴直線OD∥BP
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)P（4， －4） ∴ OP=4
設(shè)D(x，2x) 則BD2=（2x）2+(6－x)2
當(dāng)BD=OP時(shí)，（2x）2+(6－x)2=32，解得：x1=
，x 2=2
當(dāng)x2=2時(shí)，OD=BP=
，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去
∴當(dāng)x=
時(shí)四邊形OPBD為等腰梯形
∴當(dāng)D(
，
)時(shí)，四邊形OPBD為等腰梯形
（3）① 當(dāng)0＜t≤2時(shí)，
∵運(yùn)動速度為每秒
個(gè)單位長度，運(yùn)動時(shí)間為t秒，
則MP=
t ∴PH=t，MH=t，HN=
t ∴MN=
t
∴S=
t·t·
=
t2
② 當(dāng)2＜t＜4時(shí)，P1G=2t－4，P1H=t
∵M(jìn)N∥OB ∴
∽
∴
∴
∴
=3t2－12t+12
∴S=
t2－(3t2－12t+12)= －
t2+12t－12
∴ 當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S=
t2，當(dāng)2＜t＜4時(shí)，S=－
t2+12t－12 。
6、解：（1）令y=0，由a（x2-6x+8）=0解得x1=2，x2=4；
令x=0，解得y=8a.
∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（2,0）、（4,0）、（0,8a），
該拋物線對稱軸為直線x=3.
∴OA=2，
如圖①，設(shè)拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)為M，則AM=1.
由題意得O′A=OA=2.
∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°.
∴∠OAC=∠ O′AC=60°.
∴OC=
·AO=2
，即8a=2
，∴a=
.
（2）若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，結(jié)果同樣成立.
（I）如圖②，設(shè)P是邊EF上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），連接PM.
∵點(diǎn)E（4,4）、F（4,3）與點(diǎn)B（4,0）在一直線上，點(diǎn)C在y軸上，
∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB.
又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形.
（II）設(shè)P是邊FG上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)G重合），
點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4,3）點(diǎn)G的坐標(biāo)是（5,3）.
∴FB=3，GB=
，∴3≤PB＜
，
∵PC≥4，∴PC＞PB.
又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形.
（3）存在一個(gè)正數(shù)a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等（即這四條線段能夠成平行四邊形）.
如圖③，∵點(diǎn)A、B是拋物線與x軸交點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，
∴PA=PB.
∴當(dāng)PC=PD時(shí)，線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成平行四邊形.
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0,8a），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，-a），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，t），
∴PC2=32+（t-8a）2，PD2=（t+a）2，
由PC=PD得PC2=PD2，∴32+（t-8a）2=（t+a）2，
整理得7a2-2ta+1=0，∴△=4t2-28.
∵t是大于3的常數(shù)，∴△=4t2-28＞0，
∴方程7a2-2ta+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根a=
=
，
顯然，a=
＞0，滿足題意.
∴當(dāng)t是一個(gè)大于3的常數(shù)時(shí)，存在一個(gè)正數(shù)a=
，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成平行四邊形.
