| 論數(shù)學文化與數(shù)學學習 |
| 張維忠1，王芳2 （1.浙江師范大學數(shù)理學院，浙江金華321004；2.浙江義烏中學，浙江義烏322000） 摘要：高中學生的文化認知具有同喻性和不均衡性特點。數(shù)學文化在數(shù)學學習中的表現(xiàn)形態(tài)是：數(shù)學學習的“文化”特征表現(xiàn)為群體的活動性，文化學習的“數(shù)學”課程表現(xiàn)為系統(tǒng)的開放性，數(shù)學文化的“學習”過程表現(xiàn)為知識的默會性。 關(guān)鍵詞：數(shù)學文化；數(shù)學學習；文化認知 中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：C * 本文為全國教育科學“十五”規(guī)劃教育部重點課題“文化傳統(tǒng)與數(shù)學教育現(xiàn)代化”（DHA010276）階段成果。 作者簡介：張維忠（1964—），甘肅秦安人，浙江師范大學數(shù)理學院教授，主要研究方向為數(shù)學課程與教學論；王芳（1969—），女，浙江義烏人，浙江義烏中學一級教師，主要從事數(shù)學教學論的研究。 《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》在基本理念中充分肯定了數(shù)學的文化價值，特別是在“課程實施建議”的“教材編寫建議”中指出，教材可以在適當?shù)牡胤浇榻B有關(guān)的數(shù)學背景知識（數(shù)學家的故事、數(shù)學趣聞與數(shù)學史料）。而《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》則進一步強調(diào)：“數(shù)學課程應適當反映數(shù)學的歷史、應用和發(fā)展趨勢，數(shù)學對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學的社會需求，社會發(fā)展對數(shù)學發(fā)展的推動作用，數(shù)學科學的思想體系，數(shù)學的美學價值，數(shù)學家的創(chuàng)新精神。數(shù)學課程應幫助學生了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學觀。為此，高中數(shù)學課程提倡體現(xiàn)數(shù)學的文化價值，并在適當?shù)膬?nèi)容中提出對‘數(shù)學文化’的學習要求，設(shè)立‘數(shù)學史選講’等專題。”可見，數(shù)學文化已逐步從理念走進中小學數(shù)學課堂。如何使數(shù)學文化真正走進數(shù)學課堂，一個比較現(xiàn)實的做法是使之融入到數(shù)學學習之中。這不僅要重視數(shù)學學科本身的文化價值，還要探討學生的文化認知特點，對文化、數(shù)學、學習三者之間的內(nèi)在聯(lián)系做深入的考察。 一、高中學生的文化認知特點 根據(jù)維果茨基的“文化發(fā)展的一般發(fā)生學原理”：兒童的文化發(fā)展所有機能出現(xiàn)兩次或兩個層面，先是社會層面，接著是心理層面。首先它作為心理間的范疇出現(xiàn)在人們之間，然后作為心理內(nèi)的范疇進入兒童中。[1]可見，從文化的視角剖析數(shù)學學習，至少要采用社會學和心理學的觀點。 （一）同喻性 一個時代文化環(huán)境的形成離不開文化的傳遞機制。美國人類學家瑪格麗特·米德從研究人類社會文化傳遞的差異出發(fā)，將人類的文化變遷劃分為三個部分：后喻文化、同喻文化和前喻文化，其中同喻文化是指學習主要發(fā)生在同輩人之間，其基本特點是以當代流行的行為模式作為自己的行為準則。今天的高中學生帶有同喻文化的特征。 高中學生的同伴影響逐步擴大。我國絕大部分高中學生是獨生子女，在家里缺乏可以溝通的兄弟姐妹。而在多數(shù)中學，一個班級通常有四五十人之多。家庭和學校之間存在著的差異使他們更傾向于在學校群體生活中表達和交流自己的思想，同齡人的觀念、行為對他們產(chǎn)生較大的影響。 中學教師的長輩角色正在淡化。社會的迅猛發(fā)展，使教師再也無法通過施加壓力來傳播舊的文化觀念，原來的自上而下的教育模式已失去了部分魅力，許多青年人通過自己摸索和感受萌生了前人未曾有過的想法和期望。特別是高中學生，由于知識的增長及心理的逐漸成熟，開始比較多地從個體存在與發(fā)展的角度來思考社會與人生，他們已經(jīng)不可能也不必完全照搬前輩的經(jīng)驗去刻畫自己的人生軌跡。那種后喻文化中說教式的思想教育方式，比以往更不容易為學生所接受。 作為文化的數(shù)學正以學生樂于認同的方式被傳播。數(shù)學具備文化獨有的特性：它是延續(xù)人類思想的一種工具，是描述世界圖式的有力助手，精確的形式化、簡潔的符號表征常常被成功地運用到其他科學領(lǐng)域。伴隨著科學技術(shù)在社會生活領(lǐng)域的不斷滲透，學生有更多的機會聯(lián)系數(shù)學。在數(shù)學新課程背景下，一些密切聯(lián)系學生生活的數(shù)學知識進入高中教材。網(wǎng)絡技術(shù)的普及使學生得以快速了解大量知識。不斷拓寬的信息通道，活潑平易的呈現(xiàn)方式，使數(shù)學有機會向?qū)W生展示它人文的一面。 （二）不均衡性 人的認知源于人與大自然、與社會和文化之間的相互作用，其發(fā)展又與個體內(nèi)部的認知因素密切相關(guān)。由于學生的大量知識通過學校習得，他們的認知結(jié)構(gòu)在相當程度上取決于學校所傳授的知識內(nèi)容及其形成過程。聯(lián)系我國目前高中教育的實際情況，學生對“數(shù)學文化”的認知存在如下問題。 1.知識結(jié)構(gòu)的不均衡造成學生對“數(shù)學”的文化感知產(chǎn)生偏差。學校的學科設(shè)置力求體現(xiàn)當代人類知識的主要特征，現(xiàn)代人類知識總體結(jié)構(gòu)中，關(guān)于自然科學與技術(shù)科學的知識部門已大大超過了人文社會科學。人類6 000余種學科中，屬于科技類的知識約占總數(shù)的   2.組織結(jié)構(gòu)的不均衡導致學生對“數(shù)學”的文化認同出現(xiàn)逆差。人們重視科技教育而忽視人文教育，“不只表現(xiàn)在教育規(guī)模、教育結(jié)構(gòu)方面，更表現(xiàn)在課程與教學內(nèi)容和教學方式方法方面，換句話說，科技文化統(tǒng)治著學校教育，科技知識、理性思維廣泛而深入地影響和左右著學校教育教學過程”。[2]造成學生知識結(jié)構(gòu)的組成方式不均衡。在中學界，幾乎所有的教師和學生都相當重視數(shù)學，但他們對待數(shù)學的動機不同，其中不乏出于高考的壓力。由此帶來的負面影響是：教學中存在著重結(jié)果、重應用的現(xiàn)象，忽略數(shù)學知識形成和發(fā)展的過程，知識的生成是快速的，知識之間連接的鏈條被機械地焊接，知識的運用中充斥著大量的習題。在“現(xiàn)成的數(shù)學與做出來的數(shù)學”之間，很難將數(shù)學看成是人類的活動。學生數(shù)學“學”得越多，對文化的認同反而越少。 二、數(shù)學文化在高中數(shù)學學習中的表現(xiàn)形態(tài) 數(shù)學文化與數(shù)學學習融合的過程中，文化、數(shù)學、學習三者之間的內(nèi)在關(guān)系必以某種形態(tài)表現(xiàn)出來，而這些表現(xiàn)形態(tài)又將決定我們采取相應的方式。在分析高中學生文化認知特點的基礎(chǔ)上，筆者將從數(shù)學學習的“文化”特征、文化學習的“數(shù)學”課程以及數(shù)學文化的“學習”過程三個方面探討數(shù)學文化在數(shù)學學習中的表現(xiàn)形態(tài)。 （一）群體的活動性 群體與活動是數(shù)學文化進入數(shù)學教育過程的直接表現(xiàn)。一旦我們以文化的理念開展數(shù)學教育，這種表現(xiàn)形態(tài)便應運而生。 其一，數(shù)學教育的文化觀強調(diào)學生以活動的方式進行數(shù)學學習。 數(shù)學作為人們描述客觀世界的一種量化模式，它當然是人類文化的一個組成部分。在承認這一“客觀性”的基礎(chǔ)上，相對于認識主體而言，數(shù)學對象終究不是物質(zhì)世界中的真實存在，而是抽象思維的產(chǎn)物，它是一種人為約定的規(guī)則系統(tǒng)?？梢?，數(shù)學的文化觀念不僅承認數(shù)學在科學技術(shù)方面的應用，還強調(diào)“人”在數(shù)學文化體系形成過程中的能動作用。美國文化學家克羅伯和克拉克洪在文化的界定中指出：“文化體系一方面可以看作是活動的產(chǎn)物，另一方面是進一步活動的決定因素。”這說明人的主觀能動性主要表現(xiàn)在活動的參與中，通過活動，使知識學習與精神教化自然地結(jié)合起來。并且，數(shù)學文化的滲透性具有內(nèi)在和外顯兩種方式，其內(nèi)在方式表現(xiàn)在數(shù)學的理性精神對人類思維的深刻滲透力。因而，在數(shù)學教育中，教師應當尊重學生的主體地位，通過學生的主動參與，發(fā)揮數(shù)學在精神領(lǐng)域上的教育功效。 其二，文化意義上的數(shù)學教育提倡群體的交流與合作。 文化的概念始終與群體、傳統(tǒng)等密切相關(guān)。在現(xiàn)代人類文化學的研究中，關(guān)于文化的一個較為流行的定義是：“由某種因素（居住地域、民族性、職業(yè)等）聯(lián)系起來的各個群體所特有的行為、觀念和態(tài)度等。”在現(xiàn)代社會中，數(shù)學家顯然構(gòu)成了一個特殊群體──數(shù)學共同體，在數(shù)學共同體內(nèi)，每個數(shù)學家都必然地作為其中的一員從事自己的研究活動，從而也就必然地處在一定的數(shù)學傳統(tǒng)之中，個人的數(shù)學創(chuàng)造最終必須接受社會的裁決。“只有為相應的社會共同體（即數(shù)學共同體）一致接受的數(shù)學概念才能真正成為數(shù)學的成分。”[3]文化意義上的數(shù)學正是關(guān)注到了數(shù)學與整體性文化環(huán)境的關(guān)系，數(shù)學“不應被等同于知識的簡單匯集，而應主要地被看成人類的一種創(chuàng)造性活動，一種以‘數(shù)學共同體’為主體，并在一定環(huán)境中所從事的活動。”[4] 可見，一個富有生命力的數(shù)學知識，蘊涵著一定的“社會性”。教科書上貌似明了的敘述，其實是經(jīng)過歷史蕩滌的精華，承載著復雜的文化背景。在學校教育的條件下，教師與學生自然構(gòu)成了一個“數(shù)學學習共同體”，雖然他們未必能發(fā)明或創(chuàng)造出新的理論，但面對同一個數(shù)學問題，各成員有著不同的行為、觀念和態(tài)度，這些差異常常在相同的時間聚集于同一個環(huán)境。鑒于高中學生文化認知的同喻性，某個學生的見解需要接受共同體的評價才能被承認，教師的教學內(nèi)容同樣需要經(jīng)過共同體的認同才有可能真正被學生內(nèi)化。因此，從文化的角度來看，學校中的數(shù)學學習實質(zhì)上是一種微觀的數(shù)學文化。 由于學生主要通過在教室中獲得數(shù)學知識，所以，數(shù)學文化教育的中心場所應在教室。已有的國內(nèi)外研究表明，教師和學生所具有的各種與數(shù)學教學直接相關(guān)的觀點、信念等是影響數(shù)學教室文化的重要因素，彼此的數(shù)學交流與合作是構(gòu)建教室文化的主體部分。近幾年來，現(xiàn)代教育學正將這種相互交換想法的學習（即互惠性學習reciprocal learning）當做未來學習的模式，作為建構(gòu)新的教室文化的指標。 （二）系統(tǒng)的開放性 群體的活動顯然可以貼切地表現(xiàn)數(shù)學學習的“文化”特性，但這些活動始終在“數(shù)學”范疇內(nèi)展開。我們有必要探究高中數(shù)學課程的特點。 從文化傳承上看，高中數(shù)學課程具有組織構(gòu)成的開放性，主要表現(xiàn)為它與社會生活及現(xiàn)代數(shù)學的動態(tài)聯(lián)系。作為人類文化的一個子系統(tǒng)，數(shù)學并不是一個完全封閉的系統(tǒng)，外部力量對于數(shù)學發(fā)展也起著決定性作用。例如，二次世界大戰(zhàn)就曾促進了系統(tǒng)分析、博弈論、運籌學和信息論等學科的研究。雖然高中數(shù)學課程有別于一般意義上的數(shù)學，出于教育的目的對數(shù)學知識進行了重新整合，但這種“教育加工”仍然要盡量地展示數(shù)學科學的原貌，以達到文化傳承的目的。我們可以看到現(xiàn)代數(shù)學的一些分支等正逐步地進入高中教材。雖然外部力量對基礎(chǔ)教育階段的中學數(shù)學課程沒有如此巨大的影響，但它們表明了數(shù)學的廣泛應用價值，從而為高中數(shù)學課程結(jié)構(gòu)的開放性給出了有力的證明。例如，教材中的有限與無限、隨機與確定、結(jié)構(gòu)與算法等都與現(xiàn)代科學技術(shù)有聯(lián)系，而數(shù)列、線性規(guī)劃等直接地涉及學生的社會生活。 從文化傳播上看，高中數(shù)學課程具有觀念整合的開放性，通過課程的活化促進文化增殖。數(shù)學課程中內(nèi)容的選擇、編寫乃至實踐，不可避免地受到各種社會、文化與觀念等要素的影響，從而在傳播的過程中產(chǎn)生文化的擴展和延伸。課程作為文化傳播的一種手段，并不是簡單地復制，更主要的是通過文化增殖起到一種強烈的活化作用。在中學階段，雖然各位教師面對的是同一本教材，但教師總是要根據(jù)具體教學過程的需要進行具體的再加工，而這種加工的過程又必然會溶進每個教師特有的個性因素，滲透著教師本人的世界觀，體現(xiàn)他的精神面貌并以此對學習者產(chǎn)生影響。同時，由于學生個體素質(zhì)的多樣性，即使是由同一位教師傳遞并且傳遞的文化實質(zhì)完全相同，對每個學習者來說，文化信息的接受也存在著差異。[3] 從文化傳遞上看，高中數(shù)學課程具有整體效能的開放性，通過系統(tǒng)屬性的聯(lián)合作用，發(fā)揮出“整體大于部分和”的功效。在高中數(shù)學課程內(nèi)部，各子系統(tǒng)既保持著縱向的知識序，又維系著橫向的方法序。例如，從指數(shù)函數(shù)到對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)到反三角函數(shù)，這些知識被有序地排列著，它們之間借助反函數(shù)融為一體，利用數(shù)形結(jié)合的方法，生動地刻畫出函數(shù)的性質(zhì)。在其外部，高中數(shù)學課程以工具性學科的地位與其他中學“友鄰”課程形成協(xié)同關(guān)系。“數(shù)學課程向‘友鄰’課程提供知識和智能方面的儲備工具，又從‘友鄰’課程那里獲得需求信息、實證材料、強化運用數(shù)學智能的場所。”[5]例如，函數(shù)與物理的勢能、立體幾何與化學的分子結(jié)構(gòu)、排列組合與生物的基因分析、對稱與語文的對偶等。 文化與課程的關(guān)系表明，高中數(shù)學課程是一個開放的文化體系。作為中學數(shù)學教師，要在教學中體現(xiàn)數(shù)學的文化價值，要對“數(shù)學”有正確的認識，那就是：是整體的數(shù)學，而不是分散、孤立的各個分支；是廣泛應用的數(shù)學，而不僅是象牙塔里的嚴密體系；是與其他科學密切聯(lián)系的數(shù)學，而不是純而又純的抽象理念。 （三）知識的默會性 對群體活動與數(shù)學課程的考察，有助于我們把握數(shù)學文化表現(xiàn)形態(tài)的總體脈絡，但數(shù)學文化必須通過學習才能被學生領(lǐng)悟。由于文化由外顯的和內(nèi)隱的行為模式構(gòu)成，作為文化的數(shù)學與作為科學的數(shù)學在學習過程中也有所不同。 科學的數(shù)學追求完全確定的知識、精確的運算與嚴密的推理，追求用簡單且抽象的語言來描述客觀世界的規(guī)律。在客觀主義知識觀、科學觀的支配下，人們過多地強調(diào)知識的客觀性、非個體性、完全的明確性等等，出現(xiàn)了“人的隱退”現(xiàn)象。 其實，知識并不是孤立的、靜態(tài)的、純形式邏輯的，而是常常與人休戚相關(guān)的。“自然科學與人文科學一樣，充滿著人性因素，科學實質(zhì)上是一種人性化的科學。”[6]在國際哲學界以創(chuàng)立意會認知理論（Tacit Knowing）而聞名的英國物理化學家和哲學家波蘭尼從“我們所知道的要比我們所能言傳的多”出發(fā)，把人類的知識分為明言知識與默會知識。明言知識指以書面、圖表和數(shù)學公式加以表述的知識，默會知識是指未被表述的、我們知道但難以言傳的知識，例如，我們在做某事的行動中所擁有的知識。波蘭尼認為：“在非言傳的‘意會’認知層面，科學與人文是相通的。”[7] 既然這種默會知識藏于內(nèi)心，無法用明確的規(guī)則來表達，那么該怎樣學習傳授呢？波蘭尼指出：“通過了解同樣活動的全過程，我們才能了解另一個人的內(nèi)心東西。”基于高中學生的文化認知特點和數(shù)學學習的實際情況，我們可以通過以下方式突出數(shù)學知識中的“人性”。 1.客觀對象“數(shù)學化”。弗賴登塔爾曾言：“我們的教育應當為青年人創(chuàng)造機會，讓他們通過自己的活動來獲得文化遺產(chǎn)。”對學生而言，“學一個活動的最好方法是做。”[8]通過“做”數(shù)學，“學生和學生之間的相互作用真實地反映了在數(shù)學課堂中形成的文化：具體的教師、具體的學生以及正在形成的具體的‘數(shù)學化’。” 2.數(shù)學解題“擬人化”。從文化的角度審視數(shù)學解題過程，它是策略創(chuàng)造與邏輯材料、技巧性與程式化的有機結(jié)合，是一個有序結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一體，它與數(shù)學的特征相一致，隱含著數(shù)學家的思維方式，從而使解題超越了數(shù)學思維活動本身的范圍，進一步延伸到文化道德、思想修養(yǎng)的素質(zhì)范疇。G·波利亞的《怎樣解題》中包含了程序化的解題系統(tǒng)、啟發(fā)式的過程分析、開放型的念頭誘發(fā)及探索性的問題轉(zhuǎn)換等，字里行間不時地涌現(xiàn)出諸如“如果你有一個念頭，你是夠幸運的了”“好的題目和某種蘑菇有點相似，它們都成串生長”“呆頭呆腦地干等著某個念頭的降臨”這些平和的話語，使讀者不知不覺間置身其中，一些解題外的感受也油然而生。優(yōu)秀學生對解題感興趣，更多時候像在做游戲，說明數(shù)學習題中蘊涵著很多人性化的品質(zhì)──題中尋趣，在于換個角度看問題。 參考文獻： ［1］萊斯利·P·斯特弗，杰里·蓋爾.教育中的建構(gòu)主義［M］.上海：華東師范大學出版社，2002.120. ［2］劉振天，楊雅文.當代知識發(fā)展的不平衡與教育的戰(zhàn)略選擇［J］.現(xiàn)代大學教育，2001，（4）：15. ［3］孫小禮，鄧東皋.數(shù)學與文化［M］.北京：北京大學出版社，1990.149. ［4］鄭毓信，王憲昌，蔡仲.數(shù)學文化學［M］.成都：四川教育出版社，2001.5. ［5］張永春.數(shù)學課程論［M］.南寧：廣西教育出版社，1996.184. ［6］錢振華.默會理論的SSK意蘊［J］.自然辯證法研究，2003，（9）：32. ［7］Michcal Polanyi.Study of Man［M］.Chicago:The University of Chicago Press,1958.12. ［8］〔荷蘭〕弗賴登塔爾.作為教育任務的數(shù)學［M］.上海：上海教育出版社，1995.103. |
