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我也來冒充一回高手，談?wù)剬W(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)的一點(diǎn)個(gè)人體會(huì)。由于我是做理論的，所以先著重談?wù)劺碚摗?/p>

記得當(dāng)年大一，剛上本科的時(shí)候，每周六課時(shí)數(shù)學(xué)分析，六課時(shí)高等代數(shù)，天天作業(yè)不斷(那時(shí)是六日工作制)。頗有些同學(xué)驚呼走錯(cuò)了門:咱們這到底念的是什么系？不錯(cuò)，你沒走錯(cuò)門，這就是(當(dāng)時(shí)的)南大計(jì)算機(jī)系。系里的傳統(tǒng)是培養(yǎng)做學(xué)術(shù)研究，尤其是理論研究的人。而計(jì)算機(jī)的理論研究，說到底了就是數(shù)學(xué)，雖然也許是正統(tǒng)數(shù)學(xué)家眼里非主流的數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)分析這個(gè)東東，咱們學(xué)計(jì)算機(jī)的人對(duì)它有很復(fù)雜的感情。愛它在于它是第一門，也是學(xué)分最多的一門數(shù)學(xué)課，又長期為考研課程--94以前可以選考數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)，以后則并軌到著名的所謂“工科數(shù)學(xué)一”。其重要性可見一斑。恨它則在于它好象難得有用到的機(jī)會(huì)，而且思維跟咱們平常做的這些離散/有限的工作截然不同。當(dāng)年出現(xiàn)的怪現(xiàn)象是：計(jì)算機(jī)系學(xué)生的高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在全校數(shù)一數(shù)二(希望沒有冒犯其它系的同學(xué))，教學(xué)課時(shí)數(shù)也僅次于數(shù)學(xué)系，但學(xué)完之后的效果卻幾乎是倒數(shù)第一。其中原因何在，發(fā)人深思。

我個(gè)人的淺見是：計(jì)算機(jī)類的學(xué)生，對(duì)數(shù)學(xué)的要求固然跟數(shù)學(xué)系不同，跟物理類差別則更大。通常非數(shù)學(xué)專業(yè)的所謂“高等數(shù)學(xué)”，無非是把數(shù)學(xué)分析中較困難的理論部分刪去，強(qiáng)調(diào)套用公式計(jì)算而已。而對(duì)計(jì)算機(jī)系來說，數(shù)學(xué)分析里用處最大的恰恰是被刪去的理論部分。說得難聽一點(diǎn)，對(duì)計(jì)算機(jī)系學(xué)生而言，追求算來算去的所謂“工科數(shù)學(xué)一”已經(jīng)徹底地走進(jìn)了魔道。記上一堆曲面積分的公式，難道就能算懂了數(shù)學(xué)分析？

中文的數(shù)學(xué)分析書，一般都認(rèn)為以北大張筑生老師的“數(shù)學(xué)分析新講”為最好。我個(gè)人認(rèn)為南大數(shù)學(xué)系的“數(shù)學(xué)分析教程”也還不錯(cuò)，至少屬于典型的南大風(fēng)格，咱們看著親切。隨便學(xué)通哪一本都行。萬一你的數(shù)學(xué)實(shí)在太好，這兩本書都吃不飽，那就去看菲赫金哥爾茨的“微積分學(xué)教程”好了--但我認(rèn)為沒什么必要，畢竟你不想轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)系去。

吉米多維奇的“數(shù)學(xué)分析習(xí)題集”也基本上是計(jì)算型的東東。如果你打算去考那個(gè)什么“工科數(shù)學(xué)一”，可以做一做。否則，不做也罷。

中國的所謂高等代數(shù)，就等于線性代數(shù)加上一點(diǎn)多項(xiàng)式理論。我以為這有好的一面，因?yàn)榭梢宰寣W(xué)生較早感覺到代數(shù)是一種結(jié)構(gòu)，而非一堆矩陣翻來覆去。當(dāng)年我們用林成森，盛松柏兩位老師編的“高等代數(shù)”，感覺相當(dāng)舒服，我直到現(xiàn)在還保留著教材。此書相當(dāng)全面地包含了關(guān)于多項(xiàng)式和線性代數(shù)的基本初等結(jié)果，同時(shí)還提供了一些有用的比較深的內(nèi)容，如Sturm序列，Shermon-Morrison公式，廣義逆矩陣等等?？梢哉f，作為本科生如能吃透此書，就可以算高手。后來它得以在南大出版社出版，可惜好象并軌以后就沒有再用了。

國內(nèi)較好的高等代數(shù)教材還有清華計(jì)算機(jī)系用的那本，清華出版社出版，書店里多多，一看就知道。特點(diǎn)嘛，跟南大那本差不太多。

但以上兩本書也不能說完美無缺。從抽象代數(shù)的觀點(diǎn)來看，高等代數(shù)里的結(jié)果不過是代數(shù)系統(tǒng)性質(zhì)的一些例子而已。莫宗堅(jiān)先生的“代數(shù)學(xué)”里，對(duì)此進(jìn)行了深刻的討論。然而莫先生的書實(shí)在深得很，作為本科生恐怕難以接受，不妨等到自己以后成熟了一些再讀。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門課很重要，可惜少了些東西。

少了的東西是隨機(jī)過程。到畢業(yè)還沒有聽說過Markov過程，此乃計(jì)算機(jī)系學(xué)生的恥辱。沒有隨機(jī)過程，你怎么分析網(wǎng)絡(luò)和分布式系統(tǒng)？怎么設(shè)計(jì)隨機(jī)化算法和協(xié)議？據(jù)說清華計(jì)算機(jī)系開有“隨機(jī)數(shù)學(xué)”，早就是必修課。人家可是工科學(xué)校，作為自以為“理科計(jì)算機(jī)系”出身的人，我感到慚愧。

另外，離散概率對(duì)計(jì)算機(jī)系學(xué)生來說有特殊的重要性?，F(xiàn)在，美國已經(jīng)有些學(xué)校開設(shè)了單純的“離散概率論”課程，干脆把連續(xù)概率刪去，把離散概率講深些。我們不一定要這么做，但應(yīng)該更加強(qiáng)調(diào)離散概率是沒有疑問的。

計(jì)算方法是最后一門由數(shù)學(xué)系給我們開的課。一般學(xué)生對(duì)這門課的重視程度有限，以為沒什么用。其實(shí)，做圖形圖像可離不開它。而且，在很多科學(xué)工程中的應(yīng)用計(jì)算，都以數(shù)值的為主。

這門課有兩個(gè)極端的講法：一個(gè)是古典的“數(shù)值分析”，完全講數(shù)學(xué)原理和算法；另一個(gè)是現(xiàn)在日趨流行的“科學(xué)與工程計(jì)算”，干脆教學(xué)生用軟件包編程。南大數(shù)學(xué)系的幾位老師做了件大好事，把前者的一本極為經(jīng)典的教材翻譯出版了：德國Stoer的“數(shù)值分析引論”。如果你能學(xué)會(huì)此書中最淺顯的三分之一，就算沒有白上過計(jì)算方法這門課！而后一種講法似乎國內(nèi)還沒有跟上潮流？不過，只要你有機(jī)會(huì)在自己的電腦上裝個(gè)matlab之類，完全可以無師自通。

本系里，通常開一門離散數(shù)學(xué)，包括集合論，圖論，和抽象代數(shù)，另外再單開一門數(shù)理邏輯。這樣安排，主要由于南大的邏輯傳統(tǒng)：系里很多老師都算莫先生的門人，就連孫先生都是邏輯專業(yè)出身(見孫先生自述)。

不過，這么多內(nèi)容擠在離散數(shù)學(xué)一門課里，是否時(shí)間太緊了點(diǎn)？另外，計(jì)算機(jī)系學(xué)生不懂組合和數(shù)論，也是巨大的缺陷。要做理論，不懂組合或者數(shù)論吃虧可就太大了。

從理想的狀態(tài)來看，最好分開六門課：集合，邏輯,圖論，組合，代數(shù)，數(shù)論。這個(gè)當(dāng)然不現(xiàn)實(shí)，因?yàn)闆]那么多課時(shí)。也許將來可以開三門課：集合與邏輯，圖論與組合，代數(shù)與數(shù)論。

不管課怎么開，學(xué)生總一樣要學(xué)。下面分別談?wù)勆厦娴娜M內(nèi)容。

古典集合論，北師大出過一本“基礎(chǔ)集合論”不錯(cuò)。南大出版朱梧(木賈)老師的“集合論導(dǎo)引”也許觀點(diǎn)更高些，但他的書形式化得太厲害，念起來吃力。

數(shù)理邏輯，莫先生的書自然是經(jīng)典。然而我們也不得不承認(rèn)，此書年代久遠(yuǎn)，光讀它恐怕不夠。尤其是命題/謂詞演算本身有好多種不同的講法，多看幾家能大大開闊自己的視野。例如陸鐘萬老師的“面向計(jì)算機(jī)科學(xué)的數(shù)理邏輯”就不錯(cuò)。朱老師也著有“數(shù)理邏輯教程”一書，但也同樣讀起來費(fèi)力些。

總的來說，學(xué)集合/邏輯起手不難，但越往后越感覺深不可測。建議有興趣的同學(xué)讀讀朱老師的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)引論”--此書有點(diǎn)時(shí)間簡史的風(fēng)格，講到精彩處，所謂“天花亂墜，妙雨繽紛”，令人目不暇接。讀完以后，你對(duì)這些數(shù)學(xué)/哲學(xué)中最根本的問題有了個(gè)大概了解，也知道了山有多高，海有多深。

學(xué)完以上各書之后，如果你還有精力興趣進(jìn)一步深究，那么可以試一下GTM系列中的"Introduction to Axiomatic Set Theory"和"A Course of Mathematical Logic"。這兩本都有世界圖書的引進(jìn)版。你如果能搞定這兩本，可以說在邏輯方面真正入了門，也就不用再浪費(fèi)時(shí)間聽我瞎侃了。：)

據(jù)說全中國最多只有三十個(gè)人懂圖論(當(dāng)年上課時(shí)陳道蓄老師轉(zhuǎn)引張克民老師的話)。此言不虛。圖論這東東，技巧性太強(qiáng)，幾乎每題都有一個(gè)獨(dú)特的方法，讓人頭痛。不過這也正是它魅力所在：只要你有創(chuàng)造性，它就能給你成就感。所以學(xué)圖論沒什么好說的，做題吧。

國內(nèi)的圖論書中，王樹禾老師的“圖論及其算法”非常成功。一方面，其內(nèi)容在國內(nèi)教材里算非常全面的。另一方面，其對(duì)算法的強(qiáng)調(diào)非常適合計(jì)算機(jī)系(本來就是科大計(jì)算機(jī)系教材)。有了這本書為主，再參考幾本翻譯的，如Bondy&Murty的“圖論及其應(yīng)用”，郵電出版社翻譯的“圖論和電路網(wǎng)絡(luò)”等等，就馬馬虎虎，對(duì)本科生足夠了。

再進(jìn)一步，世界圖書引進(jìn)有GTM系列的"ModernGraph Theory"。此書確實(shí)經(jīng)典！國內(nèi)好象還有一家出版了個(gè)翻譯版。不過，學(xué)到這個(gè)層次，還是讀原版好。搞定這本書，也標(biāo)志著圖論入了門，呵呵。組合感覺沒有太適合的國產(chǎn)書。還是讀Graham和Knuth 等人合著的經(jīng)典“具體數(shù)學(xué)”吧，有翻譯版，西電出的。

抽象代數(shù)，國內(nèi)經(jīng)典為莫宗堅(jiān)先生的“代數(shù)學(xué)”。此書是北大數(shù)學(xué)系教材，深得好評(píng)。然而對(duì)本科生來說，此書未免太深。可以先學(xué)習(xí)一些其它的教材，然后再回頭來看“代數(shù)學(xué)”。國際上的經(jīng)典可就多了，GTM系列里就有一大堆。推薦一本談不上經(jīng)典，但卻最簡單的，最容易學(xué)的：

http://www.math.miami.edu/~ec/book/

這本“Introduction to Linear and Abstract Algebra"非常通俗易懂，而且把抽象代數(shù)和線性代數(shù)結(jié)合起來，對(duì)初學(xué)者來說非常理想。不過請(qǐng)注意版權(quán)問題，不要違反法律噢。

數(shù)論方面，國內(nèi)有經(jīng)典而且以困難著稱的”初等數(shù)論“(潘氏兄弟著，北大版)。再追溯一點(diǎn)，還有更加經(jīng)典(可以算世界級(jí))并且更加困難的”數(shù)論導(dǎo)引“(華羅庚先生的名著，科學(xué)版，九章書店重印)。把基礎(chǔ)的幾章搞定一個(gè)大概，對(duì)本科生來講足夠了。但這只是初等數(shù)論。本科畢業(yè)后要學(xué)計(jì)算數(shù)論，你必須看英文的書，如Bach的"Introduction to Algorithmic Number Theory"。理論計(jì)算機(jī)的根本，在于算法。現(xiàn)在系里給本科生

開設(shè)算法設(shè)計(jì)與分析，確實(shí)非常正確。環(huán)顧西方世界，大約沒有一個(gè)三流以上計(jì)算機(jī)系不把算法作為必修的。

算法教材目前公認(rèn)以Corman等著的"Introduction to Algorithms"為最優(yōu)。對(duì)入門而言，這一本已經(jīng)足夠，不需要再參考其它書。南大曾翻譯出版此書，中文名為”現(xiàn)代計(jì)算機(jī)常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法“。pie好象提供了網(wǎng)上課程的link，我也就不用廢話。

最后說說形式語言與自動(dòng)機(jī)。我們用過北郵的教材，應(yīng)該說寫的還清楚。但是，有一點(diǎn)要強(qiáng)調(diào)：形式語言和自動(dòng)機(jī)的作用主要在作為計(jì)算模型，而不是用來做編譯。事實(shí)上，編譯前端已經(jīng)是死領(lǐng)域，沒有任何open problem。如果為了這個(gè)，我們完全沒必要去學(xué)形式語言--用用yacc什么的就完了。北郵的那本，在深度上，在跟可計(jì)算性的聯(lián)系上都有較大的局限，現(xiàn)代感也不足。所以建議有興趣的同學(xué)去讀英文書......不過英文書中好的也不多，而且國內(nèi)似乎沒引進(jìn)這方面的教材。

入門以后，把形式語言與自動(dòng)機(jī)中定義的模型，和數(shù)理邏輯中用遞歸函數(shù)定義的模型比較一番，可以說非常有趣?，F(xiàn)在才知道，什么叫”宮室之美，百官之富“！

胡侃學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)--理論之外

如果計(jì)算機(jī)只有理論，那么它不過是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，而不成為一門獨(dú)立的科學(xué)。事實(shí)上，在理論之外，計(jì)算機(jī)科學(xué)還有更廣闊的天空。我一直認(rèn)為，4年根本不夠?qū)W習(xí)計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)知識(shí)，因?yàn)槊嫣珜捔?..... 一個(gè)一流計(jì)算機(jī)系的優(yōu)秀學(xué)生決不該僅僅是一個(gè)編程高手，但他一定首先是一個(gè)編程高手。

我上大學(xué)的時(shí)候，第一門專業(yè)課時(shí)程序設(shè)計(jì)，現(xiàn)在好象改成了計(jì)算機(jī)科學(xué)導(dǎo)論？不管叫什么名字，總之，念計(jì)算機(jī)的人就是靠程序吃飯。

去年在計(jì)算機(jī)系版有過一場爭論，關(guān)于第一程序設(shè)計(jì)語言該用哪一種。我個(gè)人認(rèn)為，用哪種語言屬于末節(jié)，關(guān)鍵在養(yǎng)成良好的編程習(xí)慣。當(dāng)年老師對(duì)我們說，打好基礎(chǔ)后學(xué)一門新語言只要一個(gè)星期?，F(xiàn)在我覺得根本不用一個(gè)星期--前提是先把基礎(chǔ)打好。

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有兩種不同的上法：一種把它當(dāng)成降低要求的初級(jí)算法課，另一種把它當(dāng)成高級(jí)的程序設(shè)計(jì)課?，F(xiàn)在國內(nèi)的課程好象介乎兩者之間，而稍偏向前者。我個(gè)人認(rèn)為，假如已經(jīng)另有必修的算法課，恐怕后一個(gè)目的更重要些。

國內(nèi)流行的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)書也有兩種：北大的紅皮書(許卓群等著，高教版)和清華的綠皮書(嚴(yán)蔚敏等著，清華版)。兩書差距不大。紅皮書在理論上稍深一些，當(dāng)然離嚴(yán)格的算法書還差好遠(yuǎn)。綠皮書更易接受些，而且佩有一本不錯(cuò)的習(xí)題集，但我覺得它讓學(xué)生用偽代碼寫作業(yè)恐怕不見得太好。最好還是把算法都code以后debug一番，才能鍛煉編程能力。

匯編預(yù)言和微機(jī)原理是兩門特?zé)┤说恼n。你的數(shù)學(xué)/理論基礎(chǔ)再好，也占不到什么便宜。這兩門課之間的次序也好比先有雞還是先有蛋，無論你先學(xué)哪門，都會(huì)牽扯另一門課里的東西。所以，只能靜下來慢慢琢磨。這就是典型的工程課，不需要太多的聰明和頓悟，卻需要水滴石穿的漸悟。

有關(guān)這兩門課的書，電腦書店里不難找到。弄幾本最新的，對(duì)照著看吧。

模擬電路這東東，如今不僅計(jì)算機(jī)系學(xué)生搞不定，電子系學(xué)生也多半害怕。如果你真想軟硬件通吃，那么建議你先看看邱關(guān)源的“電路原理”，也許此后再看模擬電路底氣會(huì)足些。

教材：康華光的“電子技術(shù)基礎(chǔ)”還是不錯(cuò)的。有興趣也可以參考童詩白的書。

數(shù)字電路比模擬電路要好懂得多。閻石的書也算一本好教材，遺憾的一點(diǎn)是集成電路講少了些。真有興趣，到東南無線電系去旁聽他們的課。

計(jì)算機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)該怎么教，國際上還在爭論。國內(nèi)能找到的較好教材為Stallings的"Computer Organization and Architecture:Designing for Performance"(清華影印本)。國際上最流行的則是“Computer architecture: a quantitative approach", by Patterson & Hennessy。

操作系統(tǒng)可以隨便選用Tanenbaum的"Operating System Design and Implementation"和"Modern Operating  System" 兩書之一。這兩部都可以算經(jīng)典，唯一缺點(diǎn) 就是理論上不夠嚴(yán)格。不過這領(lǐng)域?qū)儆贖ardcore System, 所以在理論上馬虎一點(diǎn)也情有可原。

如果先把形式語言學(xué)好了，則編譯原理中的前端我看只要學(xué)四個(gè)算法：最容易實(shí)現(xiàn)的遞歸下降；最好的自頂向下算法LL(k)；最好的自底向上算法LR(k)；LR(1)的簡化SLR(也許還有另一簡化LALR?)。后端完全屬于工程性質(zhì)，自然又是another story。

推薦教材： Aho等人的著名的Dragon Book: "Compilers: Principles, Techniques and Tools". 或者Appel的"Modern Compiler Implementation in C".

學(xué)數(shù)據(jù)庫的第一意義是告訴你，會(huì)用VFP編程不等于懂?dāng)?shù)據(jù)庫。(這世界上自以為懂?dāng)?shù)據(jù)庫的人太多了！)數(shù)據(jù)庫設(shè)計(jì)既是科學(xué)又是藝術(shù)，數(shù)據(jù)庫實(shí)現(xiàn)則是典型的工程。

所以從某種意義上講，數(shù)據(jù)庫是最典型的一門計(jì)算機(jī)課--理工結(jié)合，互相滲透。

推薦教材：Silberschatz, et al., "Database System Concepts".
網(wǎng)絡(luò)的標(biāo)準(zhǔn)教材還是來自Tanenbaum:”Computer Networks"(清華影印本)。不過，網(wǎng)絡(luò)也屬于Hardcore System，所以光看書是不夠的。建議多讀RFC，從IP的讀起。等到能掌握10種左右常用協(xié)議，就沒有幾個(gè)人敢小看你了。

必須結(jié)束這篇“胡侃”了，再侃下去非我力所能及。其實(shí)計(jì)算機(jī)還有很多基礎(chǔ)課都值得一侃，如程序設(shè)計(jì)語言原理，圖形圖像處理，人工智能等等。怎奈我造詣?dòng)邢蓿桓以僮寖?nèi)行恥笑。

最后聲明：前后的兩篇“胡侃”只針對(duì)本科階段的學(xué)習(xí)。即使把這些全弄通了，前面的路還長......

理論計(jì)算機(jī)科學(xué)漫談

早就答應(yīng)russel的，今天有點(diǎn)時(shí)間，把欠債還上。

計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)的關(guān)系有點(diǎn)奇怪。二三十年以前，計(jì)算機(jī)科學(xué)基本上還是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。而現(xiàn)在，計(jì)算機(jī)科學(xué)擁有廣泛的研究領(lǐng)域和眾多的研究人員，在很多方面反過來推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展，從某種意義上可以說是孩子長得比媽媽還高了。

但不管怎么樣，這個(gè)孩子身上始終流著母親的血液。這血液是the mathematical underpinning of computer science(計(jì)算機(jī)科學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ))，-- 也就是理論計(jì)算機(jī)科學(xué)。

現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)的另一個(gè)交叉是計(jì)算數(shù)學(xué)/數(shù)值分析/科學(xué)計(jì)算，傳統(tǒng)上不包含在理論計(jì)算機(jī)科學(xué)以內(nèi)。所以本文對(duì)計(jì)算數(shù)學(xué)全部予以忽略。

最常和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)放在一起的一個(gè)詞是什么？ 答：離散數(shù)學(xué)。這兩者的關(guān)系是如此密切，以至于它們?cè)诓簧賵龊舷鲁蔀橥x詞。

傳統(tǒng)上，數(shù)學(xué)是以分析為中心的。數(shù)學(xué)系的同學(xué)要學(xué)習(xí)三四個(gè)學(xué)期的數(shù)學(xué)分析，然后是復(fù)變，實(shí)變，泛函等等。實(shí)變和泛函被很多人認(rèn)為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的入門。在物理，化學(xué)，工程上應(yīng)用的，也以分析為主。

隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的出現(xiàn)，一些以前不太受到重視的數(shù)學(xué)分支突然重要起來。人們發(fā)現(xiàn)，這些分支處理的數(shù)學(xué)對(duì)象與傳統(tǒng)的分析有明顯的區(qū)別：分析研究的對(duì)象是連續(xù)的，因而微分，積分成為基本的運(yùn)算；而這些分支研究的對(duì)象是離散的，因而很少有機(jī)會(huì)進(jìn)行此類的計(jì)算。人們從而稱這些分支為“離散數(shù)學(xué)”。“離散數(shù)學(xué)”的名字越來越響亮，最后導(dǎo)致以分析為中心的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)分支被相對(duì)稱為“連續(xù)數(shù)學(xué)”。

離散數(shù)學(xué)經(jīng)過幾十年發(fā)展，基本上穩(wěn)定下來。一般認(rèn)為，離散數(shù)學(xué)包含以下學(xué)科：
1) 集合論，數(shù)理邏輯與元數(shù)學(xué)。這是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)。
2) 圖論，算法圖論；組合數(shù)學(xué)，組合算法。計(jì)算機(jī)科學(xué)，尤其是理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心是算法，而大量的算法建立在圖和組合的基礎(chǔ)上
3) 抽象代數(shù)。代數(shù)是無所不在的，本來在數(shù)學(xué)中就非常重要。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，人們驚訝地發(fā)現(xiàn)代數(shù)竟然有如此之多的應(yīng)用。

但是，理論計(jì)算機(jī)科學(xué)僅僅就是在數(shù)學(xué)的上面加上“離散”的帽子這么簡單嗎？一直到大約十幾年前，終于有一位大師告訴我們：不是。

D.E.Knuth(他有多偉大，我想不用我廢話了)在Stanford開設(shè)了一門全新的課程Concrete Mathematics。 Concrete這個(gè)詞在這里有兩層含義：

第一，針對(duì)abstract而言。Knuth認(rèn)為，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象過于抽象，導(dǎo)致對(duì)具體的問題關(guān)心不夠。他抱怨說，在研究中他需要的數(shù)學(xué)往往并不存在，所以他只能自己去創(chuàng)造一些數(shù)學(xué)。為了直接面向應(yīng)用的需要，他要提倡“具體”的數(shù)學(xué)。

在這里我做一點(diǎn)簡單的解釋。例如在集合論中，數(shù)學(xué)家關(guān)心的都是最根本的問題--公理系統(tǒng)的各種性質(zhì)之類。而一些具體集合的性質(zhì)，各種常見集合，關(guān)系，映射都是什么樣的，數(shù)學(xué)家覺得并不重要。然而，在計(jì)算機(jī)科學(xué)中應(yīng)用的，恰恰就是這些具體的東西。Knuth能夠首先看到這一點(diǎn)，不愧為當(dāng)世計(jì)算機(jī)第一人。

第二，Concrete是Continuous(連續(xù))加上discrete (離散)。不管連續(xù)數(shù)學(xué)還是離散數(shù)學(xué)，都是有用的數(shù)學(xué)！

前面主要是從數(shù)學(xué)角度來看的。從計(jì)算機(jī)角度來看，理論計(jì)算機(jī)科學(xué)目前主要的研究領(lǐng)域包括：可計(jì)算性理論，算法設(shè)計(jì)與復(fù)雜性分析，密碼學(xué)與信息安全，分布式計(jì)算理論，并行計(jì)算理論，網(wǎng)絡(luò)理論，生物信息計(jì)算，計(jì)算幾何學(xué)，程序語言理論等等。這些領(lǐng)域互相交叉，而且新的課題在不斷提出，所以很難理出一個(gè)頭緒來。下面隨便舉一些例子。

由于應(yīng)用需求的推動(dòng)，密碼學(xué)現(xiàn)在成為研究的熱點(diǎn)。密碼學(xué)建立在數(shù)論(尤其是計(jì)算數(shù)論)，代數(shù)，信息論，概率論和隨機(jī)過程的基礎(chǔ)上，有時(shí)也用到圖論和組合學(xué)等。

很多人以為密碼學(xué)就是加密解密，而加密就是用一個(gè)函數(shù)把數(shù)據(jù)打亂。這就大錯(cuò)特錯(cuò)了。現(xiàn)代密碼學(xué)至少包含以下層次的內(nèi)容：

第一，密碼學(xué)的基礎(chǔ)。例如，分解一個(gè)大數(shù)真的很困難嗎？能否有一般的工具證明協(xié)議正確？
第二，密碼學(xué)的基本課題。例如，比以前更好的單向函數(shù)，簽名協(xié)議等。
第三，密碼學(xué)的高級(jí)問題。例如，零知識(shí)證明的長度，秘密分享的方法。
第四，密碼學(xué)的新應(yīng)用。例如，數(shù)字現(xiàn)金，叛徒追蹤等。

在分布式系統(tǒng)中，也有很多重要的理論問題。例如，進(jìn)程之間的同步，互斥協(xié)議。一個(gè)經(jīng)典的結(jié)果是：在通信信道不可靠時(shí)，沒有確定型算法能實(shí)現(xiàn)進(jìn)程間協(xié)同。所以，改進(jìn)TCP三次握手幾乎沒有意義。例如時(shí)序問題。常用的一種序是因果序，但因果序直到不久前才有一個(gè)理論上的結(jié)果....

例如，死鎖沒有實(shí)用的方法能完美地對(duì)付。

例如,......