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張江教研沙龍|對于幾何極值問題研討

2016.03.08

上海民辦張江集團學校數(shù)學教研沙龍正在推進中，本期主持嘉賓是李磊老師，他給我們帶來的是“幾何極值問題”。

草根我乃是一只勤奮的胖蜜蜂，雖論做題在我校資質(zhì)平平，然愿做學霸、學神之“翻譯”，將“高深”問題消化后惠及大眾，以下就是通過學習、研究，我對于這類問題的認識

典型例題

如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，點P是邊AB上一動點，PQ⊥PC交BC于Q，求線段QC長度的最小值

解法一

如圖，過點Q做QH⊥AB于H，設BH=HQ=a，AP=b

易證：△PHQ∽△APC，則PH:AC=HQ:AP

解法二

如圖，取CQ中點M，過點M做MH⊥AB于H，聯(lián)結PM，設CQ=x

基本思路

代數(shù)方法解決三例

例1：已知△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE＝6，CD＝4，求△ABC的面積的最大值

例2：如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點，BD＝√3，求△ABC的面積最大值

例3：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝60°，直徑DE∥BC，分別交AB、AC于點F、G，若⊙O的半徑為2，求線段FG的長的最大值

幾何解決三例

例1：如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AB邊上的動點，E是AC的中點，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，連接BA′，求BA′ 的最小值

解：BA’≥BE-AE’=√97-5

例2：如圖，⊙O是正方形ABCD的內(nèi)切圓，AB＝4，點P是⊙O上一動點，求AP＋(√2/2)DP的最小值

“

處理本例的關鍵在于轉化(√2/2)DP

解：聯(lián)結AO、OP、OD，取OD中點M，

聯(lián)結PM（如下圖）

例3：點P是正方形ABCD外一點，且PA＝3，PB＝4，求PC的最大值

“

處理本例的關鍵在于聚合線段AP、PB、PC

解：過點B做BE⊥PB，截取BE=PB，聯(lián)結AE、PE

可證△ABE≌△PBC

（通過添加輔助線，實現(xiàn)△PBC繞點B旋轉至△ABE，從而使得分散的條件聚合）

PC=AE≤AP+PE=3+4√2

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