1.已知：如圖，在 △ABC 中，AB = BC = 10，以 AB 為直徑作 ⊙O 分別交 AC，BC 于點(diǎn) D，E，
連接 DE 和 DB，過點(diǎn) E 作 EF⊥AB，垂足為 F，交 BD 于點(diǎn) P．
（1）求證：AD = DE；
（2）若 CE = 2，求線段 CD 的長；
（3）在（2）的條件下，求 △DPE 的面積．
【解析】
（1）解：
∵ AB 是 ⊙O 的直徑，
∴ ∠ADB=90°，即 BD⊥AC，
∵ AB = BC，
∴ △ABD ≌ △CBD，
∴ ∠ABD=∠CBD，
在 ⊙O 中，AD 與 DE 分別是 ∠ABD 與 ∠CBD 所對的弦，
∴ AD = DE；
（2）解：
∵ 四邊形 ABED 內(nèi)接于 ⊙O，
∴ ∠CED = ∠CAB，
∵ ∠C = ∠C，
∴ △CED∽△CAB，
∴ CE / CA = CD / CB，
∵ AB = BC = 10，CE = 2，D 是 AC 的中點(diǎn)，
∴ CD = √10；
（3）解：延長 EF 交 ⊙O 于點(diǎn) M，
在 Rt △ABD 中，AD= √10 ，AB = 10，
∴ BD = 3√10 ，
∵ EM⊥AB，AB 是⊙O 的直徑，
∴ ⌒BE = ⌒BM，
∴ ∠BEP = ∠EDB，
∴ △BPE∽△BED，
∴ BD / BE = BE / BP，
∴ BP = 32√10 / 15 ，
∴ DP = BD - BP = 13√10 / 15，
∴ S△DPE：S△BPE= DP：BP = 13：32，
∵ S△BCD = 1/2 × √10 × 3√10 = 15，S△BDE：S△BCD = BE：BC = 4：5，
∴ S△BDE = 12，
∴ S△DPE = 156/45．
2.如圖，AB 是半圓 O 的直徑，AD 為弦，∠DBC = ∠A．
（1）求證：BC 是半圓 O 的切線；
（2）若 OC∥AD，OC 交 BD 于點(diǎn) E，BD = 6，CE = 4，求 AD 的長．
【解析】
（1）證明：
∵ AB 是半圓 O 的直徑，
∴ ∠D = 90°，
∴ ∠A + ∠DBA = 90°，
∵ ∠DBC = ∠A，
∴ ∠DBC + ∠DBA = 90°，
∴ BC⊥AB，
∴ BC 是半圓 O 的切線；
（2）解：
∵ OC∥AD，O 為 AB 的中點(diǎn)，
∴ ∠BEC = ∠D = 90°，
∵ BD = 6，
∴ BE = DE = 3，
∵ ∠DBC = ∠A，
∴ △BCE∽△BAD，
∴ CE / BD = BE / AD，即 4 / 6 = 3 / AD ,
∴ AD = 4.5 .
3.如圖 1，在正方形 ABCD 中，以 BC 為直徑作半圓 O，AE 切半圓于點(diǎn) F 交 CD 于點(diǎn) E，
連接 OA、OE．
（1）求證：AO⊥EO；
（2）如圖 2，連接 DF 并延長交 BC 于點(diǎn) M，求 DF/FM 的值．
【解析】
（1）證明：
∵ 四邊形 ABCD 為正方形，
∴ ∠B = ∠C = 90°，AB∥CD，
∴ AB 和 CD 為 ⊙O 的切線，
∵ AE 切半圓于點(diǎn) F，
∴ OA 平分 ∠BAE，OE 平分 ∠AEC，而 AB∥CD，
∴ ∠BAE + ∠AEC = 180°，
∴ ∠OAE + ∠OEA = 90°，
∴ ∠AOE = 90°，
∴ OA⊥OE；
（2）解：如圖，作 FH⊥CD 于點(diǎn) H，設(shè)正方形 ABCD 的邊長為 4a，
則 AF = AB = 4a，OB = OC = 2a，
∵ ∠AOE = 90°，
∴ ∠AOB + ∠COE = 90°，
∵ ∠AOB + ∠OAB = 90°，
∴ ∠OAB = ∠EOC，
∴ Rt △ABO ∽ Rt △OCE，
∴ AB：OC = OB：CE，即 4a：2a = 2a：CE，解得 CE = a，
∴ EF = EC = a，
∴ EA = 5a，ED = 3a，
∵ FH∥AD，
∴ △EFH∽△EAD，
∴ FH / AD = EF / EA = EH / ED ，即 FH / 4a = a / 5a = EH / 3a，
∴ FH = 4/5 a，EH = 3/5 a，
∴ DH = 3a﹣3/5 a = 12/5 a，
∴ CH= 4a﹣12/5 a = 8/5 a，
∵ FH∥CM，
∴ DF / FM = DH / CD = 3/2 .
4.如圖，AD 是 ⊙O 的切線，切點(diǎn)為 A，AB 是 ⊙O 的弦．過點(diǎn) B 作 BC∥AD，交 ⊙O 于點(diǎn) C，
連接 AC，過點(diǎn) C 作 CD∥AB，交 AD 于點(diǎn) D．連接 AO 并延長交 BC 于點(diǎn) M，交過點(diǎn) C 的直線于點(diǎn) P，且 ∠BCP = ∠ACD．
（1）判斷直線 PC 與 ⊙O 的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若 AB = 9，BC = 6．求 PC 的長．
【解析】
（1）解：PC 與圓 O 相切，理由為： 如圖，過 C 點(diǎn)作直徑 CE，連接 EB，
∵ CE 為直徑，
∴ ∠EBC = 90°，即 ∠E + ∠BCE = 90°，
∵ AB∥DC，
∴ ∠ACD = ∠BAC，
∵ ∠BAC = ∠E，∠BCP = ∠ACD．
∴ ∠E = ∠BCP，
∴ ∠BCP + ∠BCE = 90°，即 ∠PCE = 90°，
∴ CE⊥PC，
∴ PC 與圓 O 相切；
（2）解：
∵ AD 是 ⊙O 的切線，切點(diǎn)為 A，
∴ OA⊥AD，
∵ BC∥AD，
∴ AM⊥BC，
∴ BM = CM = 1/2 BC = 3，
∴ AC = AB = 9，
在 Rt△AMC 中，
設(shè) ⊙O 的半徑為 r，則 OC = r，OM = AM﹣r = 6√2﹣r，
在 Rt△OCM 中，由勾股定理得：
OM2 + CM2 = OC2 ， 即 （6√2 ﹣r）2 + 3^2 = r2 ，
解得 r = 27√2 / 8 ，
∴ CE = 2r = 27√2 / 4，OM = 6√2﹣27√2 / 8 = 21√2 / 8 ，
∴ BE = 2OM = 21√2 / 4 ，
∵ ∠E = ∠MCP，
∴ Rt△PCM ∽ Rt△CEB，
∴ PC / CE = CM / EB ，
∴ PC = 27 / 7 .
5.如圖，點(diǎn) A 在 ⊙O 上，點(diǎn) P 是 ⊙O 外一點(diǎn)，PA 切 ⊙O 于點(diǎn) A，連接 OP 交 ⊙O 于點(diǎn) D，
作 AB⊥OP 于點(diǎn) C，交 ⊙O 于點(diǎn) B，連接 PB．
（1）求證：PB 是 ⊙O 的切線；
（2）若 PC = 9，AB = 6√3 ，求圖中陰影部分的面積 .
【解析】
（1）證明：如圖1，連接 OB，
∵ OP⊥AB，OP 經(jīng)過圓心 O，
∴ AC = BC，
∴ OP 垂直平分 AB，
∴ AP = BP，
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ △APO ≌ △BPO（SSS），
∴ ∠PAO = ∠PBO，
∵ PA 切 ⊙O 于點(diǎn) A，
∴ AP⊥OA，
∴ ∠PAO = 90°，
∴ ∠PBO = ∠PAO = 90°，
∴ OB⊥BP，
又 ∵ 點(diǎn) B 在 ⊙O 上，
∴ PB 與 ⊙O 相切于點(diǎn) B；
（2）解：如圖1，
∵ OP⊥AB，OP 經(jīng)過圓心 O，
∴ BC = 1/2 AB = 3√3，
∵ ∠PBO = ∠BCO = 90°，
∴ ∠PBC + ∠OBC = ∠OBC + ∠BOC = 90°，
∴ ∠PBC = ∠BOC，
∴ △PBC∽△BOC，
∴ BC / OC = PC / BC ,
∴ OC = BC × BC / PC = 3√3 × 3√3 / 9 = 3 .
∴ 在 Rt△OCB 中，
∴ ∠COB = 60°，
∴ S陰影 = S△OPB﹣S扇DOB = 18√3 ﹣6π .
