角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
三角形的角平分線分對邊兩段之比等于夾這個角的兩邊對應之比.
已知:AD是△ABC的角平分線，
求證:=.
面積法
證明:作DE⊥AB于點E，作DF⊥AC于點F，作AG⊥BC于點G，
∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴==，
∵==，
∴=.
知二推一法
(角平分線+等腰三角形?平行線)
證明:延長BA至點E，使AE=AC，連接CE，
∴∠E=∠1，
∴∠BAC=∠E+∠1=2∠1，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAC=2∠2，
∴∠1=∠2，
∴AD∥EC，
∴==，
∴=.
同類作法(右圖)
延長CA至點E，使AE=AB，連接BE.
知二推一法
(角平分線+平行線?等腰三角形)
過點C作CE∥AB，交AD的延長線于點E，
∴∠E=∠1，=，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠E，
∴AC=EC，
∴==，
∴=.
同類作法(右圖)
過點B作BE∥AC，交AD的延長線于點E.
知二推一法
(角平分線+平行線?等腰三角形)
過點C作CE∥AD，交BA的延長線于點E，
∴∠E=∠1，∠2=∠3，=，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2，
∴∠E=∠3，
∴AC=AE，
∴==，
∴=.
同類作法(右圖)
過點B作BE∥AD，交CA的延長線于點E.
已知:在△ABC中，點D是邊BC上一點，=，
求證:AD是△ABC的角平分線.
該命題為真命題，逆向思考進行證明即可.
已知:AD是△ABC的外角平分線，點D在邊BC的延長線上，
求證:=.
該命題為真命題，可參考上文進行證明.
篇幅有限，
思維無限.
