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法尼亞諾問題

意大利數(shù)學(xué)家法尼亞諾(G.C.Fagnano，1682-1766)曾提出這樣一個(gè)問題：給定銳角三角形，周長最小的內(nèi)接三角形是什么三角形？

1900年，匈牙利數(shù)學(xué)家、匈牙利科學(xué)院院士費(fèi)耶爾(L.Fejer，1880—1959)還在柏林大學(xué)讀書時(shí)，就巧妙地運(yùn)用軸對(duì)稱解決了這個(gè)問題，其結(jié)論是：

在銳角三角形ABC的所有內(nèi)接三角形中，周長最短的三角形是它的垂足三角形(銳角三角形三條高的垂足形成的三角形).

費(fèi)耶爾受光行最速原理的啟發(fā)，認(rèn)為內(nèi)接三角形周長最短時(shí)，“入射角”也應(yīng)等于“反射角”.因而，與軸對(duì)稱有關(guān).

1.高階將軍飲馬
在邊BC上任取一點(diǎn)M，作M關(guān)于AB，AC的軸對(duì)稱點(diǎn)M，M，連接MM，分別交AB，AC于點(diǎn)N、P，
易證：△MNP的周長等于線段MM的長，要使△MNP周長最短，就是要使邊MM最短.

2.形狀不變的等腰三角形
由于AM=AM=AM，因此△AMM是等腰三角形，
因?yàn)轫斀恰螹AM=2∠BAC=固定值，所以△AMM的形狀不變，
所以腰長AM越短，底邊MM就越短，
即：AM最短時(shí)，底邊MM就最短，
因此，當(dāng)AM為BC邊上的高時(shí)，△MNP的周長最短.

3.垂足的證明(四點(diǎn)共圓)
連接CM，
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：∠1=∠3=∠4=∠2，∠6=∠7，
根據(jù)“等角的余角相等”可得：∠5=∠6，
所以∠5=∠7，
因?yàn)椤?+∠2+∠6+∠5=180°，
所以∠1+∠2+∠6+∠7=180°，
進(jìn)而證明四邊形MNMC對(duì)角互補(bǔ)，
因?yàn)镸M的垂直平分線和MC的垂直平分線交于AC的中點(diǎn)O，
所以M、N、M、C四點(diǎn)位于以點(diǎn)O為圓心的圓上，
所以∠ANC=90°，即CN是AB邊上的高，
同理可證：BP是AC邊上的高，
所以當(dāng)AM為BC邊上的高時(shí)，△MNP是△ABC的垂足三角形，此時(shí)它的周長最短.

再思考

回顧證明過程，我們發(fā)現(xiàn)△ABC的垂足三角形MNP具備如下特點(diǎn)：
MH平分∠PMN，NH平分∠MNP，PH平分∠NPM，
即：銳角三角形的垂心是它的垂足三角形的內(nèi)心.

整個(gè)過程遵循“光行最速原理”，始終保持入射角等于反射角.