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試題內(nèi)容

在△ABC中，AB＝AC，D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC=180°.
(1)如圖1，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，連接BE，交AC于點(diǎn)F.若BE平分∠ABC，BD=2,求AF的長(zhǎng)；
(2)如圖2，連接BE，取BE的中點(diǎn)G，連接AG.猜想AG與CD存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
(3)如圖3，在(2)的條件下，連接DG，CE.若∠BAC=120°，當(dāng)BD>CD，∠AEC=150°時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值.

解法分析(1)方法1

手拉手全等→直角三角形

1.由題意得：△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
2.根據(jù)SAS證明△ABD?△ACE，進(jìn)而證明∠BCE=90°；

22.5°→等腰三角形

∠CFE=∠CEF=67.5°，進(jìn)而證明CF=CE=2；

角平分線的性質(zhì)→方程

1.作FH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)AF=FH=，則CF=，
2.列方程：=2，解得：=，即AF=.

解法分析(1)方法2

手拉手全等→直角三角形

1.由題意得：△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
2.根據(jù)SAS證明△ABD?△ACE，進(jìn)而證明∠BCE=90°；

22.5°→等腰直角三角形

1.在BC上取點(diǎn)G，使BG=EG，證明△EGC是等腰直角三角形，
2.根據(jù)勾股定理得：BG=EG=2，進(jìn)而求得：BC=2+2，AC=2+；

角平分線的性質(zhì)→方程

1.作FH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)AF=FH=，則CF=，
2.列方程：+=2+，解得：=，即AF=.

解法分析(2)

同角的補(bǔ)角相等→全等三角形

1.如左圖，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F，使AF=AB=AC，連接FE，
2.根據(jù)“同角的補(bǔ)角相等”證明∠DAE=∠CAF，
3.根據(jù)SAS證明△ADC?△AEF，所以FE=CD；

中位線定理

在△BEF中，證明AG為中位線，進(jìn)而證明：AG=FE=CD.

如右圖，延長(zhǎng)EA至點(diǎn)F，使AF=AD=AE，
連接FB，同理亦可證明.

解法分析(3)

四點(diǎn)共圓

根據(jù)∠ABC+∠AEC=30°+150°=180°，
證明點(diǎn)A、B、C、E四點(diǎn)共圓.

等邊三角形

根據(jù)∠DAE=180°-∠BAC=60°，AD=AE，
證明△DAE是等邊三角形.

垂直平分線

根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，
證明∠AEB=∠ACB=30°，
進(jìn)而證明∠ANE=90°，
根據(jù)“三線合一”證明BE垂直平分AD，
所以AB=DB，AG=DG.

等腰直角三角形

在△ABD中，根據(jù)“三線合一”，
證明∠ABE=(1/2)∠ABC=15°，
根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，
證明∠ACE=∠ABE=15°，
進(jìn)而證明∠ECD=45°，
又因?yàn)椤螪EC=∠AEC-∠AED=90°，
所以△DEC是等腰直角三角形.

計(jì)算部分

設(shè)AB=BD=，則BC=，CD=-，
CE==，
由(2)得，AG=CD=，
所以=
=.