高中數(shù)學可粗略分為兩大主流：代數(shù)、幾何，當我們在解題時，若使用單一思路而陷入困境時，經(jīng)常會換到一個思維，就是“數(shù)形結(jié)合”。
用代數(shù)的視角解題，同時，借用幾何視角思考問題，反之亦然，轉(zhuǎn)換思路之間，瞬時豁然開朗。
今天，就來花點時間來聊下它，感受一下數(shù)形結(jié)合的巧妙之處。
從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到斜率公式，將函數(shù)最值問題，轉(zhuǎn)化為求斜率范圍問題，本來應(yīng)該是代數(shù)方法求解，化為幾何法，轉(zhuǎn)換思維之后，直觀、易懂。例2、求函數(shù) 的值域。
與上一題同理，通過聯(lián)想兩點間距離公式，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，使之化為初中的將軍飲馬模型，既是初中幾何，已然相當熟悉，就沒必要用GIF動圖演示，直接在腦海中想象即可。通過條件提供的方程，不難看出，它所代表的幾何圖形是橢圓，求解的問題涉及到 與 的一次式最值，即為一條直線方程，則此問題可化為直線與橢圓位置關(guān)系問題。只有當直線與橢圓相切時，才能取得最值。例4、函數(shù) 有四個不同的零點，求實數(shù) 的取值范圍。
通過分離變量，將參數(shù) 與 分離，零點個數(shù)問題即轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點個數(shù)問題，恰好函數(shù) 的圖象不難畫出，通過研究兩函數(shù)圖象位置關(guān)系，可快速得出參數(shù) 的范圍。例5、當 時，函數(shù) 的最大值為 ，求 的值。
此題將數(shù)形結(jié)合與分類討論結(jié)合考察，通過研究對稱軸與區(qū)間的相對位置，結(jié)合函數(shù)圖象分析，得知在不同狀態(tài)下的最大值不同，即可得出答案，看似有點難，實則不難。以上的五道題，均為數(shù)形結(jié)合的典型例題，通過研究代數(shù)結(jié)構(gòu)，運用斜率、兩點間距離公式、兩函數(shù)圖象交點問題等具有幾何意義的代數(shù)公式或概念，來完成數(shù)形結(jié)合的思維轉(zhuǎn)化，化抽象為具體。通常來說，當我們用數(shù)形結(jié)合解決問題時，需要運用動態(tài)思維思考問題，特別是考慮臨界情況，這一點在求值域或最值問題時會經(jīng)常出現(xiàn)，就如同例1-例4。其實，你若善于觀察，在高中物理也會經(jīng)常遇到，考慮物體運動狀態(tài)的臨界情況，它們的底層原理是相通的。對了，今天是大年三十，確實該放松一下，祝大家新春快樂，學習進步！如果認同這篇文章，別忘了點個在看，或轉(zhuǎn)發(fā)朋友圈。
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