•一、模態(tài)和模態(tài)邏輯

•   模態(tài)邏輯的主要目的是基于“必然”、“可能”等模態(tài)詞考慮推理的形式結(jié)構(gòu)是否有效。

•   模態(tài)邏輯研究含有模態(tài)詞的命題的邏輯性及其推理關(guān)系。

•   “模態(tài)”是英文modal的音譯，源于拉丁詞modalis，具有形態(tài)、樣式等意思。具體來(lái)說(shuō)，模態(tài)是指客觀事物或人們認(rèn)識(shí)的存在和發(fā)展的樣式、情狀、趨勢(shì)等。

•   模態(tài)在人們思維中的反映，表現(xiàn)為一定的認(rèn)識(shí)或觀念，這就是模態(tài)概念。對(duì)于不同的模態(tài)會(huì)有不同的模態(tài)概念。 語(yǔ)言中用來(lái)表達(dá)模態(tài)或模態(tài)概念的語(yǔ)詞或符號(hào)稱(chēng)為模態(tài)詞。如漢語(yǔ)中的“必然”、“可能”，英語(yǔ)中的necessity，possibility,符號(hào)“□”、“◊”等。

•   由簡(jiǎn)單模態(tài)詞疊置而成的模態(tài)詞又稱(chēng)疊置模態(tài)詞，相應(yīng)的模態(tài)稱(chēng)為疊置模態(tài)，相應(yīng)的模態(tài)概念稱(chēng)為疊置模態(tài)概念。

二、模態(tài)的種類(lèi)

    1、客觀模態(tài)和主觀模態(tài)

    2、邏輯模態(tài)和非 邏輯模態(tài)

•   邏輯模態(tài)是指邏輯上的必然性和可能性。

•   邏輯上的必然性是指，否定一個(gè)具有必然性的命題，必然會(huì)引起邏輯上的矛盾。

•   邏輯上的可能性是指邏輯上的不矛盾性，一切邏輯上不矛盾的東西都是可能的。

•   非邏輯模態(tài)是指邏輯模態(tài)之外的模態(tài)，包括物理的模態(tài)、生物的模態(tài)、哲學(xué)的模態(tài)等。

•   3、狹義模態(tài)和廣義模態(tài)

•   狹義模態(tài)是關(guān)于必然性和可能性等這類(lèi)性質(zhì)的模態(tài)，又稱(chēng)真性模態(tài)（Alethic  Modality），是關(guān)于真的性質(zhì)的模態(tài)。通常所說(shuō)的模態(tài)邏輯是關(guān)于狹義模態(tài)的模態(tài)邏輯。

•   廣義模態(tài)是關(guān)于應(yīng)該、允許、禁止等的道義模態(tài)，關(guān)于知道、相信等的認(rèn)知模態(tài)，相應(yīng)地有道義邏輯、認(rèn)知邏輯等。

  總的來(lái)說(shuō)，模態(tài)首先可以分為廣義模態(tài)和狹義模態(tài)。廣義模態(tài)包括道義模態(tài)、認(rèn)知模態(tài)、時(shí)間模態(tài)等。狹義模態(tài)包括客觀模態(tài)和主觀模態(tài)?？陀^模態(tài)又分為邏輯的模態(tài)和非邏輯的模態(tài)。

•三、模態(tài)命題及其特性

•   命題是對(duì)事物情況的斷定，如果這個(gè)斷定中還含有模態(tài)的內(nèi)容，那么就是模態(tài)命題，否則就是非模態(tài)命題。

•   從語(yǔ)言形式來(lái)看，模態(tài)命題都含有模態(tài)詞。

•   從內(nèi)容上來(lái)看，模態(tài)命題反映了客觀事物和人們認(rèn)識(shí)的必然性、可能性、確定性和不確定性等。

•   含有模態(tài)詞的命題的真值并不由其中的非模態(tài)命題的真值所完全決定。模態(tài)詞的這一性質(zhì)叫作非真值函項(xiàng)性，或者叫作內(nèi)涵性。

•四、模態(tài)命題形式

•   一般地，對(duì)于任意命題，如果我們考慮到模態(tài)，并在有這部分內(nèi)容時(shí)給出相應(yīng)的形式表達(dá)，那么所得到的命題形式就是命題的模態(tài)形式。通過(guò)這一規(guī)定，由模態(tài)命題得到的命題形式也可以看作是命題的模態(tài)形式，即空模態(tài)形式。所以，模態(tài)命題形式在本質(zhì)上是指命題的模態(tài)形式。

•五、模態(tài)邏輯的范圍

•   模態(tài)有廣義和狹義之分，模態(tài)邏輯相應(yīng)地也有廣義和狹義之別。

•   狹義模態(tài)邏輯也叫真性模態(tài)邏輯，是關(guān)于必然性和可能性的邏輯，或者說(shuō)，是關(guān)于含有模態(tài)詞“必然”、“可能”的命題及其推理的邏輯科學(xué)。通常所說(shuō)的模態(tài)邏輯就是狹義模態(tài)邏輯。廣義模態(tài)邏輯是關(guān)于各種廣義模態(tài)詞的邏輯，具體來(lái)說(shuō)包括道義邏輯、認(rèn)知邏輯、時(shí)態(tài)邏輯等。

•一、基本模態(tài)命題及其符號(hào)化

•  基本模態(tài)命題有四種，即必然肯定命題、必然否定命題、可能肯定命題、可能否定命題。

•  1、必然肯定命題

•  必然肯定命題是斷定事物情況必然存在的命題。

•  其邏輯形式是：必然P。“必然”可以用符號(hào)“□”來(lái)表示。所以必然肯定命題的邏輯形式可以進(jìn)一步寫(xiě)為：□p。

•  2、必然否定命題

•  必然否定命題是斷定事物情況必然不存在的命題。 其邏輯形式是：必然非P。也可以寫(xiě)為：□¬P。

•  3、可能肯定命題

  可能肯定命題是斷定事物情況可能存在的命題。 其邏輯形式是：可能P。“可能”可以用符號(hào)“◊”來(lái)表示。所以可能肯定命題的邏輯形式可以進(jìn)一步寫(xiě)為：◊P。

•  4、可能否定命題

•  可能否定命題是斷定事物情況可能不存在的命題。

•  其邏輯形式是：可能非P。也可以進(jìn)一步寫(xiě)為：◊¬P。

•二、復(fù)合模態(tài)命題和疊置模態(tài)命題

•  模態(tài)詞還可以加在一個(gè)復(fù)合命題之上，而且模態(tài)命題本身也可以用命題聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)起來(lái)，就構(gòu)成了復(fù)合模態(tài)命題。

•  疊置模態(tài)命題是指對(duì)一個(gè)含有模態(tài)詞的命題再加上模態(tài)詞。

•三、基本模態(tài) 命題之間的對(duì)當(dāng)關(guān)系

•   具有相同素材即具有相同命題變項(xiàng)的四種基本模態(tài)命題□P、□¬P、◊P、◊¬P之間存在著必然的制約關(guān)系，即基本模態(tài)命題之間的真假對(duì)當(dāng)關(guān)系。它包括矛盾關(guān)系、反對(duì)關(guān)系、下反對(duì)關(guān)系和從屬關(guān)系。這些關(guān)系可以用一個(gè)正方圖形來(lái)表示，這個(gè)正方圖形叫作模態(tài)方陣。

•   矛盾關(guān)系存在于□P和◊¬P、□¬P和◊P之間。具有矛盾關(guān)系的命題之間不能同真，也不能同假，即當(dāng)一個(gè)命題真時(shí)另一個(gè)命題假，當(dāng)一個(gè)命題假時(shí)另一個(gè)命題真。

•   反對(duì)關(guān)系存在于□P和□¬P之間。二者不能同真，可以同假，即當(dāng)一個(gè)命題真時(shí)另一個(gè)必假，當(dāng)一個(gè)假時(shí)另一個(gè)真假不能確定。

•    下反對(duì)關(guān)系存在于◊P和◊¬P之間。二者不能同假，可以同真，即當(dāng)一個(gè)命題假時(shí)另一個(gè)必真，當(dāng)一個(gè)命題真時(shí)另一個(gè)真假不能確定。

•   從屬關(guān)系存在于□P和◊P、□¬P和◊¬P之間。具有從屬關(guān)系的模態(tài)命題可以同真可以同假，即當(dāng)必然命題真時(shí)可能命題一定真，當(dāng)可能命題真時(shí)必然命題真假不能確定；當(dāng)可能命題假時(shí)必然命題一定假，當(dāng)必然命題假時(shí)可能命題不能確定真假。

  如果再將實(shí)然命題考慮進(jìn)來(lái)，模態(tài)方陣可拓展為六角陣圖。

•四、基本模態(tài)命題推理

•   從模態(tài)方陣和模態(tài)六角陣圖出發(fā)，可以得到一系列直觀上成立的模態(tài)命題推理形式。

•第一，根據(jù)矛盾關(guān)系，可以得到下列等值式：

•      （1）□P↔¬◊¬P

•      （2）□¬P↔¬◊P

•      （3）◊P↔¬□¬P

•      （4）◊¬P↔¬□P

•第二，根據(jù)從屬關(guān)系，可以得到下列推理形式：

•      （5）□→◊P

•      （6）□P→P

•      （7）P→◊P

•      （8）□¬P→◊¬P

•      （9）□¬P→¬P

•      （10）¬P→◊¬P

•      （11）¬◊P→¬□P

•      （12）¬◊¬P→¬□¬P

•第三，根據(jù)反對(duì)關(guān)系，可以得到以下推理形式：

•          （13）□P→¬□¬P

•          （14）□¬P→¬□P

•第四，根據(jù)下反對(duì)關(guān)系，可以得到以下推理形式：

•          （15）¬◊P→◊¬P

•          （16）¬◊¬P→◊P

•   在上述16個(gè)推理形式中，（1）、（3）、（5）、（6）、（7）可以看成是最基本的模態(tài)推理公式。這些公式都被作為現(xiàn)代模態(tài)命題邏輯系統(tǒng)的特征公理或重要定理。

•五、復(fù)合模態(tài)命題推理和疊置模態(tài)命題推理

•六、直言模態(tài)對(duì)當(dāng)關(guān)系推理

•   直言模態(tài)對(duì)當(dāng)關(guān)系推理是指，根據(jù)直言模態(tài)命題之間必然存在的真假對(duì)當(dāng)關(guān)系來(lái)進(jìn)行的推理。

    直言模態(tài)命題是指將“必然”、“可能”等模態(tài)詞加到A、E、I、O等直言命題之上而形成的模態(tài)命題。

•   把模態(tài)詞“必然”加到A、E、I、O等直言命題之上而形成的模態(tài)命題叫直言必然命題。

•   把模態(tài)詞“可能”加到A、E、I、O等直言命題之上而形成的模態(tài)命題叫直言可能命題。

•   前者有四種，后者也有四種，共八種。

•七、模態(tài)命題的真值條件

•   模態(tài)詞是非真值函項(xiàng)，即不能由其中的非模態(tài)命題的真假直接推知模態(tài)命題的真假，因而確定模態(tài)命題的真假就必須通過(guò)建立可能世界語(yǔ)義學(xué)來(lái)加以解決。

•   “可能世界”這個(gè)概念最初是由萊布尼茨提出來(lái)的。在他看來(lái)，凡是不違反邏輯，能夠?yàn)槿藗兯胂蟮那闆r和場(chǎng)合，都是可能世界。

    萊布尼茨用“可能世界”這一概念定義了模態(tài)詞“必然”和“可能”，即：

•   必然就是在所有可能世界中真。

•   可能就是在有些可能世界中真。

•   美國(guó)邏輯學(xué)家克里普克為模態(tài)邏輯建立了一套嚴(yán)格的語(yǔ)義理論，叫作可能世界語(yǔ)義學(xué)，或叫克里普克語(yǔ)義學(xué)。

•   可能世界語(yǔ)義學(xué)對(duì)經(jīng)典邏輯語(yǔ)義理論作了三個(gè)重大推進(jìn)：

•   第一，使命題的真假相對(duì)化，即一個(gè)命題的真假只能是對(duì)一個(gè)相對(duì)可能世界而言的。

•   第二，使必然性和可能性概念相對(duì)化。我們必須說(shuō)，在某一世界的必然性或可能性。

•   第三，使可能世界之間發(fā)生一定的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系叫作可通達(dá)關(guān)系，記作R。

   一般地，可能世界語(yǔ)義學(xué)的核心概念是模型（這里講的模型即標(biāo)準(zhǔn)模型）。一個(gè)模型可看作是一個(gè)三元組<W，R，V>。 其中，W是全部可能世界的集合，W的元素是一個(gè)一個(gè)的可能世界w_i，w_j，…，即W={w_i，w_j，…}。 R是定義在可能世界W上的一個(gè)二元關(guān)系，即可通達(dá)關(guān)系。兩個(gè)世界w_i和w_j具有可通達(dá)關(guān)系，表示為w_iRw_j和R(w_i，w_j)讀作“w_i可通達(dá)到w_j”。 V是一個(gè)賦值，對(duì)于任一模態(tài)公式a，V(a，w_i)=1表示在賦值V下，a在可能世界w_i中真， V(a，w_i)=0表示在賦值V下，a在可能世界w_i中假。對(duì)于任一公式a和任一可能世界w_i，w_i∈W， V(a，w_i)=1 或者V(a，w_i)=0。

  就模態(tài)命題與實(shí)然命題的關(guān)系而言，必然命題蘊(yùn)涵實(shí)然命題，實(shí)然命題蘊(yùn)涵可能命題。因此，必然命題最強(qiáng)，實(shí)然命題次之，可能命題最弱。

•  通常根據(jù)“結(jié)論從弱”原則區(qū)分模態(tài)三段論的有效式和無(wú)效式。

•  所謂結(jié)論從弱原則，就是模態(tài)三段論的結(jié)論不得強(qiáng)于前提中較弱的前提。

•  但結(jié)論從弱原則也有例外情況，當(dāng)前提是由必然命題和實(shí)然命題構(gòu)成時(shí)，就有以下例外情況：

•  1、當(dāng)大前提是必然命題而小前提是肯定的實(shí)然命題時(shí)，結(jié)論仍可以是必然命題。

•  2、當(dāng)小前提是必然否定命題時(shí)，盡管大前提是實(shí)然命題，結(jié)論仍可以是必然命題。

•   一般說(shuō)來(lái)，判定一個(gè)模態(tài)三段論是否有效，通常根據(jù)如下規(guī)則：

•   （1）必須遵守直言三段論的一切規(guī)則。

•   （2）如果兩個(gè)前提都是必然命題，則結(jié)論可以是必然命題。

•   （3）如果前提中有一個(gè)可能命題?；騼蓚€(gè)前提都是可能命題，則結(jié)論只能是可能命題。

•   （4）如果一個(gè)前提是必然命題，一個(gè)前提是實(shí)然命題，結(jié)論一般只能是實(shí)然命題或可能命題；但當(dāng)小前提是肯定命題而大前提是必然命題，或者小前提是必然否定命題時(shí)，結(jié)論可以是必然命題。

•   凡符合上述四條規(guī)則的模態(tài)三段論是有效的，而違反其中任何一條規(guī)則的模態(tài)三段論都是無(wú)效的。

•   不過(guò)，模態(tài)三段論還可以有其他規(guī)則，例如，亞里士多德曾為模態(tài)三段論前提的五種組合的前三個(gè)格分別制定過(guò)規(guī)則。

•一、道義模態(tài)邏輯與基本道義命題

•   道義模態(tài)邏輯主要研究道義模態(tài)命題及其推理。它是一種行動(dòng)邏輯、實(shí)踐邏輯。

•   道義（deontic），又叫義務(wù)、規(guī)范。道義命題是在一定情況下給人的行為提出某種命令或規(guī)定的命題。它包括“必須”、“允許”、“禁止”等道義模態(tài)詞，簡(jiǎn)稱(chēng)道義詞。道義模態(tài)命題是一種用來(lái)約束人們行為的規(guī)范命題，它不同于陳述客觀事實(shí)、事態(tài)的命題。

•   根據(jù)所包含的道義詞的不同，可以把道義命題分為必須命題、允許命題和禁止命題?；镜牡懒x命題有六種：

•    1、必須肯定命題。其命題形式是：必須p。“必須”可以用大寫(xiě)字母“O”（obligation）表示。所以，必須肯定命題可以寫(xiě)為：Op。

•    2、必須否定命題。其命題形式是：必須非p。也可以寫(xiě)為：O¬p。

•    3、允許肯定命題。其命題形式是：允許p。“允許”可以用大寫(xiě)字母“P”（permission）表示。所以允許肯定命題形式可以寫(xiě)為：Pp。

•    4、允許否定命題。其命題形式是：允許非p。也可以寫(xiě)為：P¬p。

•    5、禁止肯定命題。其命題形式是：禁止p。“禁止”可以用大寫(xiě)字母“F”（forbiddance）來(lái)表示。所以禁止肯定命題形式可以寫(xiě)為：Fp。

•    6、禁止否定命題。其命題形式是：禁止非p。也可以寫(xiě)為：F¬p。

•   在上述六種道義命題形式中，禁止命題與必須命題、禁止命題與允許命題之間存在著如下的等價(jià)關(guān)系：

•    Fp↔O¬P

•    F¬p↔Op

•    Fp↔¬Pp

•    F¬p↔¬P¬p

•   因此，六種基本道義命題可以歸結(jié)為四種基本道義命題，即Op、O¬p、Pp、P¬p。

•二、復(fù)合道義命題及其符號(hào)化

•   在基本道義命題的基礎(chǔ)上，我們可以通過(guò)引入復(fù)合道義命題聯(lián)結(jié)詞，構(gòu)成更加復(fù)雜的道義命題。

•   我們還可以通過(guò)把道義命題與模態(tài)命題結(jié)合起來(lái)，從而構(gòu)造出既含道義詞又含模態(tài)詞的復(fù)雜命題。

•三、基本道義命題推理

•   具有相同素材的四種基本道義命題Op、O¬p、Pp、P¬p之間在真假方面存在著必然的制約關(guān)系，即真假對(duì)當(dāng)關(guān)系。這種關(guān)系可用一個(gè)正方圖形來(lái)表示，該圖形叫道義方陣。

•   在上述道義方陣中，Op與P¬p、O¬p與Pp之間存在著矛盾關(guān)系，Op與O¬p之間存在著反對(duì)關(guān)系，Pp與P¬p之間存在著下反對(duì)關(guān)系，Op與Pp之間、O¬p與P¬p之間存在著從屬關(guān)系。

•   依據(jù)上述對(duì)當(dāng)關(guān)系中的矛盾關(guān)系，我們可以得到下列直觀上成立的基本道義命題推理：

•    （1）Op↔¬P¬p

•    （2）O¬p↔¬Pp

•    （3）Pp↔¬O¬p

•    （4）P¬p↔¬Op

•   根據(jù)道義方陣中的反對(duì)關(guān)系，可以進(jìn)行下列推理：

•    （5）Op→¬O¬p

•    （6）O¬p→Op

  •   根據(jù)道義方陣中的下反對(duì)關(guān)系，可以進(jìn)行下列推理：

•    （7）¬Pp→P¬p

•    （8）¬P¬p→Pp

•    根據(jù)道義方陣中的從屬關(guān)系，可以進(jìn)行下列推理：

•    （9）Op→Pp

•    （10）O¬p→P¬p

•    （11）¬Pp→¬Op

•    （12）¬P¬p→¬O¬p

•四、復(fù)合道義命題推理

•五、道義命題的真值條件

•   由于道義模態(tài)詞與真性模態(tài)詞類(lèi)似，因此刻畫(huà)道義模態(tài)命題的真值條件通常也借助于可能世界語(yǔ)義學(xué)，其核心概念依然是模型。

•   道義邏輯語(yǔ)義學(xué)的模型是一個(gè)有序三元組<W，R，V>。

•   W是可能世界的非空集合，其元素是一個(gè)一個(gè)的可能世界w_i，w_j，w_k，…，即W＝{w_i，w_j，w_k，…}。這種可能世界總是與一定的法律體系和道德規(guī)范相聯(lián)系的，在其中活動(dòng)的每一個(gè)人都按照上述法律體系和道德規(guī)范規(guī)定了的活動(dòng)方式活動(dòng)。

_•   R是定義在W上的二元關(guān)系，叫作道義可通達(dá)關(guān)系，或者道義可選擇關(guān)系，表示為w_iRw_j或R(w_i，w_j)，讀作“w_i可選擇w_j”。這里，如果w_i是現(xiàn)實(shí)世界，則w_j就是道義完善的世界或者說(shuō)理想世界。 w_i可選擇w_j的意思是說(shuō)，w_j是w_i的道義選擇，即w_j在道德上或法律上比w_i更為理想，在w_i中應(yīng)該做的事情在w_j中都做了，在w_i中禁止做的事情在w_j中一件也沒(méi)有做。

•   V是一個(gè)賦值，它使每一個(gè)道義公式a（a為任一公式）與W中的元素發(fā)生聯(lián)系，從而使a在這些元素上為真（1）或?yàn)榧伲?），即V(a，w_i)＝1或者V(a，w_i)＝0。

•   這樣，道義命題的真值條件就可以定義如下：

•   Oa在道義可能世界w_i上真，當(dāng)且僅當(dāng)，a在所有比w_i在道德或法律上更為完善或更為理想的可能世界w_j上真。

•   Pa在道義可能世界w_i上真，當(dāng)且僅當(dāng)，a在某些比w_i在道德或法律上更為完善或更為理想的可能世界w_j上真。

•   Fa在道義可能世界w_i上真，當(dāng)且僅當(dāng)，a在所有比w_i在道德或法律上更為完善或更為理想的可能世界w_j上假。

•   道義公式可分為三類(lèi)：有效的、非有效但可滿(mǎn)足的、不可滿(mǎn)足的。