2021年廣東中考數(shù)學(xué)試題，據(jù)說(shuō)不僅考哭了一片，還難得上了熱搜。
相信這張圖片反映了不少考生的心情：
有網(wǎng)友表示這份卷有些題目超綱，第10題就是其中一道。
還有網(wǎng)友提出了用高中知識(shí)解決這道題的做法：
這道題真的超綱了嗎？
先說(shuō)說(shuō)用初中知識(shí)可以怎么做。
題目沒(méi)圖，所以要畫個(gè)圖。不過(guò)這里的畫圖不用講究精確，只要符合題意，便于分析即可。
①畫“拋物線y=x2”，先畫一個(gè)直角坐標(biāo)系，然后把握好開(kāi)口方向、頂點(diǎn)和對(duì)稱軸就行。
②畫“OA⊥OB”，先在拋物線左側(cè)任意選一點(diǎn)，記為A，連結(jié)OA，接著借助三角板，過(guò)點(diǎn)O畫一條垂線與拋物線相交，交點(diǎn)記為B，標(biāo)記直角，然后連結(jié)AB，搞定。
③畫“連接AB”和“OC⊥AB”，這個(gè)不難，用三角板就能搞定。
有了圖，下一步就是分析：
先從問(wèn)題出發(fā)，題目要求的是“點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值”，“距離”意味著垂線段，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸與E，我們要求的，就是垂線段CD的最大值。
CD的長(zhǎng)度怎么求呢？由CD⊥y軸可知，CD可以通過(guò)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)得到。那點(diǎn)C的坐標(biāo)又怎么求呢？題目似乎沒(méi)有什么明顯的線索。
怎么辦？換個(gè)方向，從條件出發(fā)，看看還能得到什么線索。
從“A、B為拋物線y=x2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)”和“OA⊥OB”可知，△AOB是直角三角形。由直角三角形，你想到什么知識(shí)點(diǎn)？最常用的，應(yīng)該是勾股定理，于是有OA2+OB2=AB2。
可是OA、OB和AB的長(zhǎng)度從哪來(lái)呢？從坐標(biāo)來(lái)。我們可以設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，n2），結(jié)合距離公式可知，OA2=m2+(m2)2，OB2=n2+(n2)2，AB2=(m-n)2+(m2-n2)2。這樣一來(lái)，由OA2+OB2=AB2可得
m2+(m2)2+n2+(n2)2=(m-n)2+(m2-n2)2
m2+m^4+n2+n^4= m2-2mn+ n2+ m^4-2m2n2+n^4
0= -2mn -2m2n2
0= -2mn(1+mn)
∵ m≠0，n≠0，
∴ 1+mn=0，即 mn=—1
這個(gè)“mn=—1”是我們得到的一個(gè)新的線索，至于它有什么用，目前還不知道，沒(méi)關(guān)系，反正線索越多，思路越容易出來(lái)。
如果你對(duì)“一線三等角”模型比較熟悉的話，就能想到，過(guò)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N。這時(shí)由A（m，m2）和B（n，n2）可知OM= —m，AM=m2，ON= n，BN=n2；由“一線三等角”模型易證△AMO∽△0NB，從而有AM：ON=OM：BN，即m2：n=(—m)：n2，交叉相乘可得m2n2 = —mn，同樣能得到 mn=—1。
思考繼續(xù)?！癿n=—1”反映的是點(diǎn)A橫坐標(biāo)與點(diǎn)B橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，我們還能對(duì)點(diǎn)A和點(diǎn)B做什么呢？從圖中看，AB是一條線段，而且點(diǎn)C就在AB上。由線段和坐標(biāo)系結(jié)合，你想到什么知識(shí)點(diǎn)？是的，一次函數(shù)！
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將A（m，m2）和B（n，n2）分別代入得：
m2 = km+b ①
n2 = kn+b ②
①-②得：
m2 - n2 = km - kn
(m+n)(m - n) = k(m - n)
∵m - n ≠0，
∴ k=(m+n)
把k=(m+n)代入①得：b=1.
∴直線AB解析式為y=(m+n)x+1.
算到這里，你有什么發(fā)現(xiàn)？對(duì)，“y=(m+n)x+1”的常數(shù)項(xiàng)是1。這意味著什么？線段AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，1)，而且是個(gè)定點(diǎn)！
不妨設(shè)AB與y軸的交點(diǎn)為E，則OE=1。結(jié)合“OC⊥AB”，你想到什么？動(dòng)點(diǎn)C的軌跡就是以O(shè)E為直徑的圓！
剩下的事情就簡(jiǎn)單了，既然是圓，而且半徑在y軸上，那么點(diǎn)C與y軸距離的最大值，就是半徑?，答案選A。
回顧一下，整個(gè)思考過(guò)程涉及到的知識(shí)，有點(diǎn)到直線的距離、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、距離公式、解方程、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的概念和性質(zhì)等等。能有超綱嫌疑的，或許就是距離公式，以及解帶參數(shù)的二元一次方程組了。
距離公式超綱了嗎？沒(méi)有，它本質(zhì)上是勾股定理。
解帶參數(shù)的二元一次方程組超綱了嗎？我特地翻了一下《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，發(fā)現(xiàn)也沒(méi)有。
因此，這道題的確有點(diǎn)難度，但沒(méi)有超綱。
有的人可能覺(jué)得，不超綱又怎么樣，考試才90分鐘，這道題要想做出來(lái)，得耗多少時(shí)間，學(xué)生哪里做得完！
的確，和往年相比，今年這套卷對(duì)學(xué)生的思維和速度都提出了更大的挑戰(zhàn)。希望今年中考的學(xué)子能夠調(diào)整好心態(tài)，相信自己的實(shí)力，畢竟到最后比的是排名，而不是分?jǐn)?shù)。
那么下一年中考的學(xué)子，該如何應(yīng)對(duì)這樣的挑戰(zhàn)呢？
我想與你分享一個(gè)解題框架：
1.把握兩個(gè)方向
一道數(shù)學(xué)題，有的同學(xué)讀完題目后，不知道從何入手。這時(shí)不妨從兩個(gè)方向考慮，一個(gè)是從問(wèn)題出發(fā)，嘗試找到解題的切入點(diǎn)；另一個(gè)是從條件出發(fā)，嘗試得到更多的線索。
2.緊扣關(guān)鍵詞
確定了方向，下一步就是緊扣題目中的關(guān)鍵詞來(lái)思考，怎么做的？選擇一個(gè)或幾個(gè)關(guān)鍵詞，想想能聯(lián)系什么知識(shí)點(diǎn)來(lái)處理，能得到什么結(jié)論。
這兩個(gè)步驟能幫助你在有限的時(shí)間內(nèi)，快速有條理地找到解題思路。但知道不等于做到，用好這兩步有兩個(gè)前提：
第一，把基礎(chǔ)知識(shí)和技能練扎實(shí)，沒(méi)有這些基本功，什么套路都沒(méi)用。
第二，總結(jié)并積累關(guān)鍵詞的處理方式，數(shù)學(xué)題的變化千千萬(wàn)，關(guān)鍵詞的處理就幾樣。
具體的做法，不妨參考我之前寫的一篇文章，叫《想突破初中數(shù)學(xué)壓軸題？做好三件事情，每天20分鐘就夠了》，里面有更詳細(xì)的說(shuō)明。
最后，祝今年中考的學(xué)子能不負(fù)眾望！
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